内容
1. 怎样利用极限存在准则证明极限;
2. 利用两个重要极限求极限
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或
注: 代
相同的表达式
思考与
填空
;_____
sin
lim.1
x
x
x
;____
1
sinlim.2
x
x
x
;____
1
sinlim.3
0
x
x
x
;____)
1
1(lim.4
n
n n
0 1
0
1
e
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练习 求 x
x x
x
I
1
0 21
21
lim
解法一: I
22
1
0
21lim
x
x
x
)2(2
1
0
21lim
x
x
x
2
2
e
e 4e
解法二:
x
x x
x
I
1
0 21
4
1lim
xx
x
x x
x 21
4
4
21
0 21
4
1lim
xxe 21
4
lim
0 4e
1
第一章
,0时x xxx sin,,3 2 都是无穷小,
第七节
引例 .
x
x
x 3
lim
2
0
,0
20
sin
lim
x
x
x
,
x
x
x 3
sin
lim
0
,
3
1
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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无穷小的比较
,0lim C
k
定义.
,0lim
若 则称 是比 高阶的无穷小,
)( o
,lim
若
若
若
,1lim
若
~
~
,0lim C
或
,设 是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称 是比 低阶的无穷小;
则称 是 的同阶无穷小;
则称 是关于 的 k 阶无穷小;
则称 是 的等价无穷小, 记作
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例如 , 当
)(o ~
0x 时
3x 26x xsin; x xtan; ~ x
xarcsin ~ x
20
cos1
lim
x
x
x
2
2
0
sin2
lim
x
x
又如 ,
2
2
)(4 x 2
1
故 时 是关于 x 的二阶无穷小,
xcos1
2
2
1 x~
且
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例1. 证明: 当 时, ~
证:
~
nn ba )( ba
1( na ban 2 )1 nb
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~
~
定理1. )( o
证: 1lim
,0)1lim(
0lim
即
,)( o 即 )( o
例如, ,0 时x ~ ,tan xx~ 故
,0 时x )(tan xoxx
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定理2 . 设 且 存在 , 则
lim
证:
lim
lim
lim
lim
lim
lim
例如, x
x
x 5sin
2tan
lim
0 x
x
x 5
2
lim
0
5
2
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此定理称为等价无穷小的替代定理
.
sintan
lim
30 x
xx
x
30
lim
x
xx
x
原式
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xx
xx
xx cos
1
limlim
03
2
2
1
0
例1. 求
解: 原式
例2. 求 .
1cos
1)1(
lim
3
1
2
0
x
x
x
解:
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例3. 求
解
内容小结
0
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且
是 的高阶无穷小
是 的低阶无穷小
是 的同阶无穷小
是 的等价无穷小
是 的 k 阶无穷小
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2. 等价无穷小替换定理
~ ~ ~
~ ~
思考与练习
Th 2
P59 题1 , 2
作业
P59 4
常用等价无穷小 :
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)1ln( x ~ 1xe ~
例4 8
2
lim
23
2
x
baxx
I
x
试确定 a , b .
解: 此题分母的极限为0, 当 2x 时
)(lim 23
2
baxx
x
048 ba 84 ab
8412 a
2
)4()8(
lim
23
2
x
xax
I
x
)42)2((lim 2
2
axax
x
1a 4b
可见分子的极限一定为0,则有
二、 函数的间断点
一、 函数连续性的定义
第八节
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函数的连续性与间断点
第一章
函数的增量: 设变量 u从 ,终值变到初始值 21 uu
就称为变量 1uu 在 的增量,通常用符号 u 表示,
21
21
12
0
0
uu
uu
uuu -即 其值可正可负
一、 函数的连续性
x 0 x0
f (x0)
y=f (x)
xx 0
)( 0 xxf
)()( 0 xfxxfy
0lim
0
y
x
12 uu -
定义: 在 的某邻域内有定义 ,
则称函数 .)( 0 连续在点xxf
设函数 且
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设 xxx 0 则 ,0时x .0xx
)()( 00 xfxxfy )()( 0xfxf
即 yxfxf )()( 0
可见,当 )()(,0 0xfxfx 时
(1)
因此,(1)式等价于
)()( 0lim
0
xfxf
xx
可见 , 函数 在点 0x
定义' : 在 的某邻域内有定义 ,
则称函数 .)( 0 连续在xxf
(1) 在点 即
(2) 极限
(3)
设函数
连续必须具备下列条件:
存在 ;
且
有定义 , 存在 ;
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)()(lim 0
0
xfxf
xx
)()(lim 00
0
xfxxf
x
0lim
0
y
x
)()()( 000
xfxfxf
左连续 右连续
,0 ,0 当 xxx 0 时, 有
yxfxf )()( 0
函数 在点 连续有下列等价命题:
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continue )()(lim,),( 00
0
xPxPx
xx
若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
.],[ baC
例如,
在 上连续 .
( 有理整函数 )
又如, 有理分式函数
在其定义域内连续.
在闭区间 上的连续函数的集合记作
只要 ,0)( 0 xQ 都有 )()(lim 0
0
xRxR
xx
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例1. 证明函数 在 内连续 .
证: ),( x
xxxy sin)sin(
)cos(sin2
22
xx
xy
x
0x
即
这说明 在 内连续 .
同样可证: 函数 在 内连续 .
0
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21
1
10
1)(
2
x
x
x
xa
bx
xf
处连续=取何值时在、当 1xba
解: bbxf
x
2
1
lim)01(1)1( f
1)(lim)01(
1
axaf
x
处连续在)时==当 1(1,2 xxfba
11 ab
例2:问函数
在
在
二、 函数的间断点
(1) 函数
(2) 函数 不存在;
(3) 函数 存在 , 但
)()(lim 0
0
xfxf
xx
不连续 :
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
这样的点
之一函数 f (x) 在点
虽有定义 , 但
虽有定义 , 且
称为间断点 .
在 无定义 ;
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间断点分类:
第一类间断点: 及 均存在.
若 称
0x
若 称
0x
第二类间断点: 及 中至少一个不存在。
称
0x
若其中有一个为振荡 , 称 0x
若其中有一个为 ,
为可去间断点 .
为跳跃间断点 .
为无穷间断点 .
为振荡间断点 .
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2
x 为其无穷间断点 .
0x 为其振荡间断点 .
例如:
xy tan
2
x
y
o
x
y
x
y
1
sin
0
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1
1
lim
2
1
x
x
x
2 1f
则在 1x 处间断。
作新函数
12
1
x
xxf
xF
12
1
1
12
x
x
x
x
xF 在 1x 处连续。
xo
y
1
1x 为其可去间断点 .
1
)1(1)(lim
1
fxf
x
显然
1x 为其可去间断点 .
1,
1,
)(
2
1 x
xx
xfy(4)
xo
y
2
1
1
(5)
0,1
0,0
0,1
)(
xx
x
xx
xfy
x
y
o
1
1
,1)0( f 1)0(
f
0x 为其跳跃间断点 .
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x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
例1. 讨论函数
解
2,1 x 为间断点
xf
x 1
lim
2
1
lim
1
x
x
x
2 xf
x 2
lim
例2 确定函数 间断点的类型.
x
x
e
xf
11
1
)(
解: 间断点 1,0 xx
)(lim
0
xf
x
, 0 x 为第二类中的
无穷间断点;
,1 时当 x
x
x
1
, 0)( xf
,1 时当 x
x
x
1
, 1)( xf
故 1x 为第一类中的跳跃间断点.
,1,0 处在 x .)( 连续xf
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内容小结
左连续 右连续
第一类间断点
可去间断点
跳跃间断点 左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一
个不存在
在点 间断的类型
在点 连续的等价形式
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作业
P65 23(1)、(4); 3
P65 题5 提示:
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