数值计算方法试题一

数值计算方法试题一、填空题(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程x3x40在区间［1,2］内的根精确到三位小数，需对分()次。2、迭代格式xk1xk(xk2)局部收敛的充分条件是取值在()XS(x)132・/1)-(x1)a(x1)b(x3、已知2a=：()，b=()，c=(4、l0(X),h(X),」n(X)是以整数点X0,X1,,Xnlk(x)nXkj(xk)k0()k0()，当【n7425、设f(x)6x2x3x1和节点xk0x1c1x3是三次样条函数，则)。为节点的Lagrange插值基函数，则n42(XkXk3)lk(x)2时k0()2,k0,1,2,,则认,洛，凡］7r和f0，5个节点的求积公式6、5个节点的牛顿-柯特最高代数精度为7、k(x)k°是区间［叩］上权函数(x)x的最高项系数为1的正交多项式族，其中10(x)1,则0x4(x)dx。%ax2b]8、给定方程组ax1x2b，a为实数，当a满足，且02时,SOR迭代法收敛。yf(x,y)9、解初值问题y(x0)y。的改进欧拉法阶方法。yn1[0]yn1ynhf(Xn,yn)yn2[f(xn,yn)f(xn1,yn0]1)]曰是A10a01a10、设aa1当a()时，必有分解式ALLt，其中L为下三角阵，当其对角线兀素1ii(i1,2,3)满足()条件时，这种分解是唯一的。二、选择题(每题2分)(k1)f(k)1、解方程组Axb的简单迭代格式xBxg收敛的充要条件是()f（x）dx（ba）G（n）f（Xj）5）2、在牛顿-柯特斯求积公式：ai0中，当系数Ci是负值时,公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）n8，（2）n7，（3）n10，（4）n6,3、有下列数X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次hh4、若用二阶中点公式yn1ynhf（Xn2，yn；f（Xn,yn））求解初值问题y2y,y（0）1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为（）。（1）0h2,（2）0h2,（3）0h2,（4）0h22三、1、（8分）用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.32、（15分）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算oedx时,（1）试用余项估计其误差。（2）用n8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。四、1、（15分）方程x3x10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价TOC\o"1-5"\h\z———x11形式（1）xVx1对应迭代格式xn1Vxn1；（2）\x对应迭代格式Xn1J丄3勺xn；（3）xx31对应迭代格式xn1Xn1。判断迭代格式在x01-5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8分）已知方程组AXf，其中24301424(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法dyy1dx五、1、(15分)取步长h0.1，求解初值问题y(°)1用改进的欧拉法求y(0-1)的值；用经典的四阶龙格一库塔法求y©1)的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式P(x)使它满足p(x°)f(x°)p(X1)f(X1)p(x°)f(x°)p(X1)f(X1)p(X2)f(X2)JJJJ六、(下列2题任选一题，4分)1、数值积分公式形如(1)试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；(2)设f(x)C[0,1]，推1导余项公式R(X)0Xf(X)dXS(X)，并估计误差。2、用二步法yf(x,y)求解常微分方程的初值问题y(X0)yo时，如何选择参数0,仆使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：(共16分，每小题2分)1、若A是nn阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L和上三角阵U，使ALU唯一成立。()3、形如bf(x)dxa11Aif(Xi)i1的咼斯(Gauss)型求积公式具有最咼代数精确度的次数为2n1。()210A1114、矩阵012的2—范数A2=9。()2aa0A0a0b都是病态的。(用5、设00a，则对任意实数a0，方程组Ax()6、设ARnnQRnn，且有qTqi(单位阵)，则有‘^2QA2(2、当n8时，Newton—cotes型求积公式会产生数值不稳定性。()(7、8、A对矩阵A作如下的Doolittle分解：2231002234772100b12451a1006，则a,b的值分别为a2,区间a,b上关于权函数W(x)的直交多项式是存在的，且唯b2。())))二、填空题：(共20分，每小题2分)8421、设f(x)9x3x21x10，则均差f[20,21,,28],f[30,31,,39]。2、设函数f(x)于区间a,b上有足够阶连续导数，Pa,b为f(x)的一个m重零xk1点，Newton迭代公式xkf(xk)f'(xk)的收敛阶至少是3、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到阶的连续导数。TA4、向量X(1,2),矩阵|AXL，cond(A)121，则5、为使两点的数值求积公式：则其求积基点应为6、设ARnn，AT于、等于)214X11f(x)dxf(x。)心)具有最高的代数精确度,，X2A，则(A)(谱半径)O.A20(此处填小于、大7、设三、简答题：方程x42x在区间1>2内有唯一根x*，若用迭代公式：xk1ln(4xQ/ln2(k0,1,2,)，则其产生的序列xk是否收敛于x*?说明理由。使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？1cosxf(x)2—x01、2、3、四、设x(10分)h0f(x)dx(9分)42x在区间1>2内有唯一根0.001，试选择较好的算法计算函数值已知数值积分公式为：h2''-[f(0)f(h)]h[f(0)f(h)]2，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、(8分)已知求a(a0)证明：对一切k12,,xk从而迭代过程收敛。的迭代公式为：a，且序列Xk是单调递减的,330f(x)dx2[f⑴f(2)]是否为插值型求积公式？为什六、(9分)数值求积公式么？其代数精度是多少？七、(9分)设线性代数方程组AXb中系数矩阵A非奇异，X为精确解，b0，若向量X是AXb的一个近似解，残向量rbAX,证明估计式：XXIIlJcond(A)|lXb(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。Xi(i1,2,,n,n1)为n1(x)的零点，li(x)(i1,2,,n,n1)是以人为基点的拉格朗日n1Akf(Xk)k1(Lagrange)插值基函数,bf(x)w(x)dxa(1)(2)当°blk(x)lj(x)w(x)dxak,jn,k为高斯型求积公式，证明:n1Aik(xi)j(xi)j时，i1°(kj)n1b2alk(x)w(x)dxak1(3)十、(选做题8分)若f(x)Xi(i0,1,nl(x)(xx°)(x，n)互异，求baW(X)dXXi)(xXn)f[x°,xi,,Xp]的值，其中p八、(10分)设函数f(x)在区间°，3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H(x)，并导出其余项。°12°12-1133九、(9分)设n(x)是区间［a,b］上关于权函数w(x)的直交多项式序列,数值计算方法试题三、(24分)填空题(1)(2分)改变函数f(x)X1X(X1)的形式，使计算结果较精确o(2)(2分)若用二分法求方程fx°在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数,则需要对分次。fx(2分)设22X-!X2X1X2，则f'XSx(3分)设a==,c=2x3,032xaxx1bxc,1x2是3次样条函数，则1eXdx（3分）若用复化梯形公式计算0,要求误差不超过106，利用余项公式估计,⑺(8)(9)至少用个求积节点。x-!1.6x210.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为（6分）写出求解方程组此迭代法是否收敛(10)A(4分)设CondA(11)（2分）若用则步长h的取值范围为.（64分）Euler法求解初值问题y'10y,y01，为保证算法的绝对稳定,(1)（6分）写出求方程4xcosxdx在区间［0,1］的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算0x的近似值，要求误差限为的近似值，并利用余项估计误差。(10Xe在区间［0,1］上的1次最佳平方逼近多项式。I分）用复化Simpson公式计算积分(101sinx0.5105。(10分）用Gauss列主元消去法解方程组:X2（8分）求方程组521的最小二乘解。X14x22x3243捲X25x3342捲6x2X327（8）（8分）已知常微分方程的初值问题：dydxxy,1x1.2（9）y（i）2（10）用改进的Euler方法计算y（12）的近似值，取步长h0.2.（12分，在下列5个题中至多选做3个题）（1）（6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：（2）p115,p'120,p''130,p257,p'272（3）（6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:A1f11xfxdx101A11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭0.05，取特征向量的初始近似值为0（6分）用幕法求矩阵代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于1,0T1O（6分）推导求解常微分方程初值问题y'xfx,yx,axb,yay°(8)的形式为yi1yih0fi1fi1,i=1,2,…,N(9)的公式，使其精度尽量高，其中fXi,yi,Xiaih,i=0,1,…,n,(10)(11)(12)（6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y''pxy'qxyrx0,axby'a0,yb0填空题（每空1、(10)2所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一1分，共17分）22,0)(0,弓)a=(34、（1）、（Xj)、x4x23)57、0_8选择题1、（⑵）2、a（每题、（（1））〔9、_2_2分）310)，b=(3)，c=(1爭9454236.25±2<22,2）、（lii0((1))4、（（3））2三、1、（8分）解：span{1,x}解方程组atacATyata43391其中33913529603ATy173.6179980.7C解得：0.92555770.05010252、(15分)解：⑷所以詈h2f（0.9255577,0.05010251121a2eQ17680.001302四、1、（15分）解：（1）11(x)3(x1)(1.5)0.181，故收敛;(x)2x2(2)（3）选择（X）(1)：3x21.5X。X5Steffensen计算结果:2、（8分）11x，(1.5)(1.5)0.17故收敛;X11.32476Xk1迭代：1.5，为Xq解:JacobiGauss-Seidel迭代法:31.521，故发散。1.3572x21.3309x61.32472X31.3259x41.3249Xk2((Xk)Xk)((Xk))2(Xk)Xk1.324899迭代法:X1(kx2k1}x3k1)141)，X2(kX1k1)1.324718有加速效果。1}丄(243x2k))4丄(303x1k)x3k))41)丄(244£(24x2k))40,1,2,3,3x2k)(303x1k1}1-(2440,1,2,3,x2kBj1D(LU)0340(Bj)x3k))(或二。)0.7905694x1k1)(1)x1(k)—(243x2k))4x(k1)2(1)x2k)—(30(k1)(k)、3X1X3)4(kX3°(1)x3k)-(424x2k1))SOR迭代法：k0,1,2,3,五、1、（15分）解:改进的欧拉法：(0)yn1ynhf(xn,yn)0.9yn0.1hyn1yn2[f(Xn，yn)f(X…曲)]°.9°5yn0.095所以y（0.1）yi1；经典的四阶龙格一库塔法:1yn6[k12k22k3k1f(Xn,yn)k2f(Xnh2’yn2k1)k3f(Xnh2,yn2k2)k4f(Xnh,ynhk3)ynk4]2、（8分）解：设H3（x）为满足条件则P（x）六、（下列k1k2k3k40，所以y(0.1)y1KxJf(xj出以)f(xji0,11、解:H3(x)k(xx°)2(xxj22题任选一题，4分)23将f(x)1,x,x,x构造Hermite插值多项式则有:2、解:1xH03(x)dxS(x)1125.3hy王项：12所以2(Xn)的Hermite插值多项式,代入条件P（x2）f（x2）得：371亠A——，B——，B——，D分布代入公式得：202030出化)f(x)Kx)f(x)(4)H3（x）满足f(x)H3(x)i0,1其中x°4严2“1)2该方法是二阶的。数值计算方法试题二答案判断题：（共10分，每小题2分）1200*11、(X)2、(V)3、(X)4、(V)5、(X)6、(v)7、(X)8、(X)二、填空题：(共10分，每小题2分)1、98!、02、二—3、__二4、__16、90__5、\3\\36，=7、0三、—简答题：(15分)1、解：迭代函数为(X)ln(4x)/ln2(k)2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素akk全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使det(A)0，则消元过程将无法(k)进行；其次，即使主元素不为0,但若主元素akk的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元(k)_(k)素akk=0或akk很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、解：四、解：f(x)1显然精确成立;hh2h2f(X)X时,xdx02尹h]h[11].h2,h3hshh3…2fx2dx-[0h2]2[02h]-2hf(X)X时，03223rh3.xdxh4-[0h3]1h2[03h2]f(X)X时，04212h4,h5hs1h54fx4dx[0h4]h2[04h3]f(X)X时，052126；所以，其代数精确度为3。Xk1E(Xk旦)12Xka■■-ak0,1,2五、证明：2Xk2Xk故对一切k1,2,,Xk■-a0cosx21x-2!4X4!(1)n2nX(2n!)xk11a1亠7(1-2)7(11)1又xk2Xk212；所以Xk1Xk，即序列Xk是单调递减有下界,从而迭代过程收敛。六、f(x)在基点12处的插值多项式为f(2)f⑵］x2P(x)f(1)12330p(x)dx-[f(1)七、证明：由题意知：AXb,AXbr又AXbbAXAX1|Ax—biia|a所以X八、解：设H(x)N2(x)||A||ax(x1)(x2)12xx(x1)21a—H(x)1所以ax(x1)(x2)由H(0)3得：4H(x)^x35x23x1所以44令R(x)f(x)H(x)，作辅助函数g(t)f(t)则g(t)在[0,3]上也具有4阶连续导数且至少有J，(反复利用罗尔定理可得：k(x)2所以R(x)f(x)H(x)k(x)x(x1)(x2)2H(t)k(x)t(t1)(t2)4个零点：tx，0,1,g(4)()0)(4)()2x(x1)(x2)4!n1Akf(Xk)k1的高斯(Gauss)型求积公式具有它对f(x)取所有次数不超过2n+1次的多项式均bf(x)w(x)dxa证明：形如最高代数精度2n+1次,精确成立九、1)n1Aik(xi)j(xi)k(x)j(x)w(x)dx2)li(Xj)因为li(x)是n次多项式，且有bn1alk(x)lj(x)w(x)dxAilk(xJj(xj所以aji1j22取f(x)li(x)，代入求积公式：因为li(x)是2n次多项式,bn12ali(x)w(x)dxAj[li(Xj)]A所以j1故结论成立。十、解：3)数值计算方法试题三答案⑴（2分）⑵（2分）10⑶（2分）2x1X22x2(4)(3分)3-31(5)(3分)477⑹（6分）分）9分）k1%k1X21.6x2k0.4x1k,k0,1,01.600.64收敛⑺(4二.(6491(8)(2分)h<0.2(1)(6Xn114cosxn,n=0,1,2,…⑵(12115^Sinx4•••对任意的初值X。[0,1],迭代公式都收敛。分）用Newton插值方法：差分表:1001012111144120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555(3)(10分)设xc11xc22xc1c2x1,11,2C1f,111dx11,20xdx002,12,2C2f,21,1121112,2xdx03,f,10exp(x)dxe1f,20xexp(x)dx1112C1e1Ci0.87311213C21C21.690xJ0.87311.690xx4e10186ex=0.873127+1.69031x⑷（10分）12,68或利用余项:sinxba5~42880n2x3!4x5!x7!x9!528805nS23.00000.00000.00003.00000.00000.00001.00005.00003.66670.33335.3333-2.33331.00005.00005.3333-2.33330.00001.937534.000012.66674.333334.00004.33339.6875Xi1.3333⑹(8分)若用Householder变换,最小二乘解：⑺(8分)ATAxATb614贝U:，2.00000)(-1.33333X2202.0000k1fXo,y°0.5k2fX1,y°hk11.120.20.50.5238095三.(12分)(1)差分表:151515575720204272152230其他方法：设1520x115x1x1axbp257P'272,求出a和b取f(x)=1,x，令公式准确成立，得:A。A1A1f(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x•••公式的代数精度=23时，公式左=1/5,公式右=5/24U1⑶①Av°10(1)1U1,V°10.00V1U1U10.99500.09950U2②Av110.051.095U20.9941U2,v110.108U20.10830.110.05U3③Av210.051.102(3)1V3U30.99400.1090iio.iiXi0.99400.i090⑷局部截断误差=ytiiyiiyXiXih'h2"hy'Xiy''Xi20hy'XiOh3ihy'Xiihy'12Xiih2ih2y''为yiiyi3fi局部截断误差=12—h3y'''人(ba).NXiaihyiyXi,i=0..N2yiyiiPi2hyii3y''XiOhXiOh3i=0,1,2,Oh4PiyipXiqiriqXirirXii=i..N-ih尹yiih2qiyiPiyih2ri,i=i..N-i(i)3yo4yiy2与⑴取i=i的方程联立消去y2得22piy02h2qi2hpiyih2r1yN0，与(i)取i=N-i的方程联立消去yN得hi2Pn2yN2222hqniyNih「Ni所求三对角方程组：方程⑵，方程组(i)(i=i..N-2)(3)，方程(3)