复习一元二次方程与正反比例函数

教 案 学生 姓名 学校 8年级 授课 教师 授课 科目 次数 课时 授课时间 教务签名及日期 课 题 方程&函数&证明 教学目标 掌握一元二次方程的四种解法； 掌握正反比例函数的概念，借助图像的直观，查看它们的基本性质，解决简单的实际问题； 用理性的思维、采用逻辑推理方法，推理论证。 重点、难点 正反比例函数的概念； 几何证明 考点及考试要求 1、一元二次方程的解法，2正反比例函数的概念，3.几何证明，线段的垂直平分线，角的角平分线 教 学 过 程 与 内 容 教学步骤 1. 检查学生上节课的作业 2. 复习上节课的重点知识：证明； 3. 新课讲解 4. 课后作业 教学内容 复习一元二次方程 1、一元二次方程的定义： 2、一元二次方程的常用解法有： 配方法的一般过程是怎样的？ 3、一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。 4、利用方程解决实际问题的关键是 。 在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明。 【例1】填空 1、当m 时，关于x的方程(m－1) +5+mx=0是一元二次方程. 2、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0，当m 时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程. 例2、解下列一元二次方程 (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) 9－x2=2x2－6x(用分解因式法解) (3) (x＋1)(2－x)=1 (选择适当的方法解) 例3、1、新竹文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支.现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？ 2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°， AC=6m，BC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？ SHAPE \* MERGEFORMAT 复习正比例函数、反比例函数 复习回顾 1、若正比例函数 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式是 。 2、已知点P（1， ）在反比例函数 （ ≠0）的图像上，其中 （ 为实数），则这个函数的图像在第 象限。 3、如图，正比例函数 （ ＞0）与反比例函数 的图像交于A、C两点，AB⊥ 轴于B，CD⊥ 轴于D，则 ＝ 。 【例2】如图，直线 （ ＞0）与双曲线 （ ＞0）在第一象限的一支相交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，P是双曲线上一点，且 。 （1）试用 、 示C、P两点的坐标； （2）若△POD的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式； （3）若△OAB的面积等于 ，试求△COA与△BOD的面积之和。 【解】（1）C（0， ），D（ ，0） ∵PO＝PD ∴ ， ∴P（ ， ） （2）∵ ，有 ，化简得： ＝1 ∴ （ ＞0） （3）设A（ ， ），B（ ， ），由 得： ，又 得 ，即 得 ，再由 得 ，从而 ， ，从而推出 ，所以 。 故 思考 【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和 轴、 轴分别交于点A和点B，且OA＝OB＝1。这条曲线是函数 的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（ 、 ），由点P向 轴、 轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F。 （1）分别求出点E、F的坐标（用 的代数式表示点E的坐标，用 的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）； （2）求△OEF的面积（结果用含 、 的代数式表示）； （3）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明。如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。 （4）当点P在曲线 上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。 【解】（1）点E（ ， ），点F（ ， ） （2） ＝ ＝ （3）△AOF与△BOE一定相似，下面给出证明 ∵OA＝OB＝1 ∴∠FAO＝∠EBO BE＝ AF＝ ∵点P（ ， ）是曲线 上一点 ∴ ，即AF·BE＝OB·OA＝1 ∴ ∴△AOF∽△BOE （4）当点P在曲线 上移动时，△OEF中∠EOF一定等于450，由（3）知，∠AFO＝∠BOE，于是由∠AFO＝∠B＋∠BOF及∠BOE＝∠BOF＋∠EOF ∴∠EOF＝∠B＝450 评注：此题第（3）（4）问均为探索性问题，（4）以（3）为基础，在肯定（3）的结论后，（4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了点P（ ， ）在双曲线 上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。 1 附件 复习几何证明 1 .（2011山西，25，9分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F， （1）求证：CE＝CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜:BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． SHAPE \* MERGEFORMAT 2.（2011陕西，18，6分）如图，在正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，连接AG，过B、D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E、F两点．求证：△ADF≌△BAE． 3. （2011新疆乌鲁木齐，18，？）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D． 求证：△DEC≌△CDA． 4.（2011重庆江津区，22，分）在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； （2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数． . （2011重庆綦江，24，10分）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP＝CQ＝5，若BC＝8时，求PQ的长． 6. （2011湖北潜江，23，10分）两个大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如图①摆放，使直角顶点重合．将图①中△DEC绕点C逆时针旋转30°得到图②，点F、G分别是CD、DE与AB的交点，点H是DE与AC的交点． （1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF全等的三角形； （2）将图②中的△DEC绕点C逆时针旋转45°得△D1E1C，点F、G、H的对应点分别为F1、G1、H1，如图③．探究线段D1F1与AH1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D1E1与CE交于点I，求证：G1I＝CI． 7. 、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长． 8. （2011•广东汕头）已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB，∠D=∠B． 求证：AE=CF． 9. （2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O． （1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H； （2）在（1）的图中，找出一个与△BHF全等的三角形，并证明你的结论． 10.（2011•贺州）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF． 11. （2011•柳州）如图，AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：△AFB≌△AEC． 12. （2011•湘西州）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC． 13.（2011•德州，19，8分）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O． （1）求证AD=AE； （2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由． 14. （2011山东菏泽，15，10分） （2）已知：如图，∠ABC=∠DCB，BD．CA分别是∠ABC．∠DCB的平分线．求证：AB=DC． 15. （2011山东青岛，21，8分）在▱ABCD中，E、F分别是AB．CD的中点，连接AF、CE． （1）求证：△BEC≌△DFA； （2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论． 16. （2011泰安，29，10分）已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点． （1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG； （2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明． 17.（2011山东烟台，24，10分） 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2． （1）求证：AB＝BC； （2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD． 18. （2011•山西）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． 19..如图， 是平行四边形 的对角线 上的点， ，请你猜想：线段 与线段 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明. SHAPE \* MERGEFORMAT 复习线段的垂直平分线及角平分线 作业 见附件 附件 练习1 一、选择题： 1、下列命题中： ①函数 （2≤ ≤5）的图像是一条直线； ②若 与 成反比例， 与 成正比例，则 与 成反比例； ③如果一条双曲线经过点（ ， ），那么它一定同时经过点（ ， ）； ④如果P1（ ， ），P2（ ， ），是双曲线 同一分支上的两点，那么当 ＞ 时， ＞ 。 正确的个数有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、已知M是反比例函数 （ ≠0）图像上一点，MA⊥ 轴于A，若 ，则这个反比例函数的解析式是（ ） A、 B、 C、 或 D、 或 3、在同一坐标系中函数 和 的大致图像必是（ ） A B C D 4、在反比例函数 的图像上有三点（ ， ），（ ， ），（ ， ）若 ＞ ＞0＞ ，则下列各式正确的是（ ） A、 ＞ ＞ B、 ＞ ＞ C、 ＞ ＞ D、 ＞ ＞ 5、在同一坐标系内，两个反比例函数 的图像与反比例函数 的图像（ 为常数）具有以下对称性：既关于 轴，又关于 轴成轴对称，那么 的值是（ ） A、3 B、2 C、1 D、0 二、填空题： 1、若反比例函数 在每一个象限内， 随 的增大而增大，则 ＝ 。 2、A、B两点关于 轴对称，A在双曲线 上，点B在直线 上，则A点坐标是 。 3、已知双曲线 上有一点A（ ， ），且 、 是方程 的两根，则 ＝ ，点A到原点的距离是 。 4、已知直线 与双曲线 相交于点（ ，2），那么它们的另一个交点为 。 5、如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数 的图像与反比例函数 的图像在第二象限的交点，且 ，则A点坐标是 。 三、解答题： 1、如图，直线 交 轴、 轴于点A、B，与反比例函数的图像交于C、D两点，如果A（2，0），点C、D分别在一、三象限，且OA＝OB＝AC＝BD，求反比例函数的解析式。 2、已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，当 ＝－1时， ＝3；当 ＝2时， ＝－3， （1）求 与 之间的函数关系式； （2）当 时，求 的值。 3、如图，反比例函数 与一次函数 的图像交于A、B两点。 （1）求A、B两点的坐标； （2）求△AOB的面积。 4、如图，已知双曲线 （ ＞0）与经过点A（1，0），B（0，1）的直线交于P、Q两点，连结OP、OQ。 （1）求证：△OAQ≌△OBP； （2）若C是OA上不与O、A重合的任意一点，CA＝ EMBED Equation.3 ，CD⊥AB于D，DE⊥OB于E。① 为何值时，CE＝AC？②线段OA上是否存在点C，使CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C的坐标；若不存在，请说明理由。 C B P Q A A B C D E B C D E F A 11 _1234567953.unknown _1234567985.unknown _1234568017.unknown _1234568033.unknown _1234568049.unknown _1234568057.unknown _1234568065.unknown _1234568069.unknown _1234568073.unknown _1234568075.unknown _1234568077.unknown _1234568078.unknown _1234568076.unknown _1234568074.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568059.unknown _1234568060.unknown _1234568058.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown _1234568047.unknown _1234568048.unknown _1234568046.unknown _1234568043.unknown _1234568044.unknown _1234568042.unknown _1234568037.unknown _1234568039.unknown _1234568040.unknown _1234568038.unknown _1234568035.unknown _1234568036.unknown _1234568034.unknown _1234568025.unknown _1234568029.unknown _1234568031.unknown _1234568032.unknown _1234568030.unknown _1234568027.unknown _1234568028.unknown _1234568026.unknown _1234568021.unknown _1234568023.unknown _1234568024.unknown _1234568022.unknown _1234568019.unknown _1234568020.unknown _1234568018.unknown _1234568001.unknown _1234568009.unknown _1234568013.unknown _1234568015.unknown _1234568016.unknown _1234568014.unknown _1234568011.unknown _1234568012.unknown _1234568010.unknown _1234568005.unknown _1234568007.unknown _1234568008.unknown _1234568006.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567969.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567921.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown