椭圆焦点三角形面积公式
22xy定理 在椭圆,,1(,,0)中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,bFaF2122ab
y ,2,则tan. ,FPF,,S,b,FPF1212P 2P
证明:记,由椭圆的第一定义得 |PF|,r,|PF|,r1122
O F x F1222 r,r,2a,?(r,r),4a.1212
222在?中,由余弦定理得: r,r,2rrcos,,(2c).FPF121212
22配方得: (r,r),2rr,2rrcos,,4c.121212
22即 4a,2rr(1,cos,),4c.12
222a,cb2()2?rr,,. 12,,,,1cos1cos
由任意三角形的面积公式得:
,,2sincos1sin,,22222S,rrsin,b,,b,,b,tan. ,,FPF1212,21cos2,,22cos2
,2 ?S,btan.,FPF122
22yx,,1同理可证,在椭圆(,b,0)中,公式仍然成立. a22ab
22xy,,1例 若P是椭圆上的一点,、是其焦点,且,求 F,FPF,60:F212110064
?的面积. FPF12
22xya,10,b,8,c,6,,,1,,60:.解法一:在椭圆中,而记 |PF|,r,|PF|,r.112210064
点P在椭圆上, ?
由椭圆的第一定义得: r,r,2a,20.?12
222在?中,由余弦定理得: r,r,2rrcos,,(2c).FPF121212
2配方,得: (r,r),3rr,144.1212
1
256从而 ?400,3rr,144.rr,.12123
112563643S,rrsin,,,,,. ,FPF121222323
22xy2b,64,,1解法二:在椭圆中,,而 ,,60:.10064
643,2?S,btan,64tan30:,. ,FPF1223
解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现~
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