球的体积和
面积
?1.3.2 球的体积和表面积
一. 教学目标
,( 知识与技能
?通过对球的体积和面积公式的推导,了解推导过程中所用的基本数学思想方法:“分
割——求和——化为准确和”,有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 ?能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
?培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
,( 过程与方法
43通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球体积公式,,πR和面积32公式,,,πR的方法,即“分割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法,体现了极限思想。
,( 情感与价值观
通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点
重点:引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点:推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
,( 学法:学生通过阅读教材,发挥空间想象能力,了解并初步掌握“分割、求近似值 的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
,( 教学用具:投影仪
四.
(一) 创设情景
?教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢,引导学生进行思考。
?教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面积,激发学生推导球的体积和面积公式。
(二) 探究新知
1(球的体积:
如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片”,“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状,所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积,因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。
步骤:
第一步:分割
如图:把半球的垂直于底面的半径,,作n等分,过这些
等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”,
R“小圆片”厚度近似为,底面是“小圆片”的底面。 n
如图:
3RRi,1,22V,,r,,[1,()] (i,1、,??n)得 ,iinnn
第二步:求和
11(1,)(2,)3nn,,v,v,v,?,v,,R[1,] 123n半球6
第三步:化为准确的和
1 当n??时, ?0 (同学们讨论得出) n
122,33R(1)R,,,,,,所以 半球6343R得到定理:半径是,的球的体积 ,,,球3
3练习:一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm) 2(球的表面积:
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的
数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。
思考:推导过程是以什么量作为等量变换的,
2 半径为R的球的表面积为 ,,,πR
练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5,是它的八个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 。 (
50元)
(三) 典例
课本P 例4和P例5 4729
(四) 巩固深化、反馈矫正
?正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比为 。
(答案: ; 3 :1) 33:1
22?在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm和400πcm,
2求球的表面积。 (答案:2500πcm)
分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性 质求球的半径
(五) 课堂小结
本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解题方法。 (六) 评价设计
作业 P 练习1、3 ,B(1) 30