高二理科数学

高二理科数学 河北辛集中学2010--2011学年度第二学期高二期末考试 数 学 试 卷 命题教师:张中尧 一、选择题(每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确的 序号填涂在答题卡上) 1,i1(已知i是虚数单位，复数的虚部为 1，i A(-1 B(1 C(i D(-i 2. 若aR，则a=2是(a-1)(a-2)=0的 , A.充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 ,23((1+cosx)dx等于 ,,,2 A.π B.2 C.π-2 D.π+2 4. 若x,y具有相关关系，且得到一组散点图大致分布在一条直线附近，则所得的回归直线是指 A.经过散点图上两点的直线; B.经过散点图上最多的点的直线; C.与个散点的偏差和绝对值最小的直线; D.与各个散点的偏差的平方和最小的直线。 25. 已知ξ,N(0,δ)且P(-2?ξ?0)=0.4,则P(ξ,2)的值为 A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4 22xyFFFF6(已知椭圆+=1的焦点分别是、，是椭圆上一点，若连结、、三点恰 PP12122516 好能构成直角三角形，则点到y轴的距离是 P 251616A( B(3 C( D( 533 101027(若多项式x= a + a(x-1)+ a(x-1)+„+ a(x-1)，则a的值为 100128A(10 B(45 C(-9 D( -45 1 高二理科数学 第 页 (共 4 页) n*8. 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?„?(n+n)=2?1?3?„?(,,，,)(,?,);从“, 到,，,”左端需增乘的代数式为 ,.,,，, ,.,(,,，,) 21k，23k，,. ,. k，1k，1 9. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 5253191A B C D 216216216216 5,sin3cos,,32，，,10.设函数f(x)= ，，，其中θ?0,，则导数f(1)的取值范tan,xx,,1232，， 围是 ，，，，，，2,33,22,2A B C D ,2,2,,，，，，，， m13,，，xx11.已知函数y=的最大值为M，最小值为m，则的值为 M 2311A B C D 2242 12.四面体的一个顶点为A,从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同 的取法有 A 30种 B 33种 C 36种 D 39种 二、填空题(每题5分，共30分，注意将答案写在答题纸上) 33233323333213. 观察下列等式:1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，根据上述规律，第五个等式 是 。 14. 在极坐标系中(ρ，θ)(0?θ<2π)中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标 为 。 215(已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA?平面ABC，AB?BC， SA=2,AB=BC=，则 球O的表面积为_______( 16. 已知正三棱柱中，，M为CC的中点，则直线BM与平面 1 所成角的正弦值是________. 17. 双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上—点， __________ PF与圆切于点G,且G为的中点，则该双曲线的离心率e,2 2 高二理科数学 第 页 (共 4 页) 1218. 方程x+x-1=0的解可视为函数y=x+的图像与函数y=的图像交点的横坐标,若 22x 44x+ax-4=0的各个实根x,x,„,x(k?4)所对应的点(x，)(i=1,2,„,k)均在直线y=x的同侧, 12ki xi 则实数a的取值范围是 . 三、解答题(本大题共5个小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 19. (本小题满分10分)以平面直角坐标系xoy的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极xO ,C坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 cos()20，，,l,,14 x,，24cos,,,(是参数) ,,1y,，sin,,,2 1CC(1)若把曲线上的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线， 214 C在直角坐标系下的方程 求曲线2 C(2)在第(1)问的条件下，判断曲线与直线的位置关系，并说明理由; l2 ,20((本小题满分l2分)在ABC中，角A、B、C的对边长分别是a、b、c，若 bcosC，(2a，c)cosB,0. (1)求内角B的大小; ,(2)若b=2，求ABC面积的最大值( 3 高二理科数学 第 页 (共 4 页) 21. (12本小题满分分)一项试验有两套，每套方案试验成功的概率都是，试验不成功的概率都是，甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次 . 实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套 1 ()求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率; (2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X,求X的分布列和期望 Ex ()。 22xy,:，,1(a,b,0)F、FF22. (本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点为，过点12122 ab 斜率为正数的直线交两点，且成等差数列。 AB,AF,AF、AB、BF,与A、B222 ,(1)求的离心率; ,(2)若直线y=kx(k<0)与交于C、D两点，求使四边形ACBD面积S最大时k的值。 1423. (本题满分分)已知函数 (1) 求曲线在点A(0，)处的切线方程; (2) 讨论函数的单调性; (3) 是否存在实数，使当时恒成立,若存在，求出实数 a;若不存在，请说明理由. 4 高二理科数学 第 页 (共 4 页) AADDA ABBDD CB 63,33333321+2+3+4+5+6=21 (,) 8π 5 (-?,-6)?(6,+?) 244 112219. (1)曲线的轨迹是 --------------5分 C(x,)，(y,),1222(2)直线为 圆心到直线的距离是 所以直线和圆相离--10分 d,2,1x,y，2,0 20.(本小题满分12分) 解:(I)解法一: ?，由正弦定理得: bcosC，(2a，c)cosB,0 ， sinBcosC，sinCcosB,,2sinAcosB即.„„„„„„2分 sin(B，C),,2sinAcosB 在中，， ?ABCB，C,π,A ?，„„„„„„4分 sinA,,2sinAcosBsinA,0 2π1?，?.„„„„„„6分 B,cosB,,23 解法二: 222222abcacb，,，,bac，，,(2)0因为，由余弦定理， bcosC，(2a，c)cosB,022abac 222化简得，„„„„„2分 aaccb，，, 222又余弦定理,„„„„„4分 acacBb，,,2cos 12所以,又,有.„„„„„6分 B,,(0,)cosB,,B,,23(II)解法一: 22222?，?，„„„„„6分 bacacB,，,2cos4,，，acac . ,，,23acacac 4?，„„„„„„8分 ac,3 11433SacB,,，，,sin?(„„„„„„10分 ,ABC22323 5 高二理科数学 第 页 (共 4 页) 23当且仅当时取得等号(„„„„„„„„12分 ac,,3 cb解法二:由正弦定理知:， ,sinCsinB π2,sin(,A)bsinC43π3.„„„„„„6分 c,,,sin(,A)2πsinB33sin3 143ππS?sin(,A)sinA(0,A,), ,bcsinA,?ABC3332 4331232,(cosA,sinA)sinA,2sinAcosA,sinA 3223 333,sin2A，cos2A,,sin2A,(1,cos2A) 333 23π3,sin(2A，),，„„„„„„8分 363 ππ5ππ?，?,2A，,， 0,A,3666 ππ?，„„„„„„10分 sin(2A，),sin,162 23π33sin(2A，),,?， 3633 3S即的面积的最大值是.„„„„„„12分 ?ABC?ABC3 (21)解:记事件“一次试验中，选择第i套方案并试验成功”为A，i,1，2，则 i 2 11 P(A),×,( 1iC332 (?)3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率 33 1 1 2P,P(A?A?A，A?A?A),()，(),(„„„„„„„„„„„„4分 1112223327 1 (?)X的可能值为0，1，2，3，则X,B(3，)， 3 6 高二理科数学 第 页 (共 4 页) ,k3k 1 2 kP(X,k),C()()，k,0，1，2，3(„„„„„„„„„„„„„„„8分 333 X的分布列为 X 0 1 2 3 8 4 2 1P 279927 „10分 1 EX,3×,1(„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 3 解:(?)根据椭圆定义及已知条件，有 .22 |AF|，|AB|，|BF|,4a， ? 22 |AF|，|BF|,2|AB|， ? 22222|AF|，|AB|,|BF|， ?„3分 22 4 5 由?、?、?，解得|AF|,a，|AB|,|,a，|BFa， 2233 2 c 2所以点A为短轴端点，b,c,a，Γ的离心率e,,(„„„„„„„5分 2a2 222(?)由(?)，Γ的方程为x，2y,a( 不妨设C(x，y)、D(x，y)(x,x)， 112212 222,x，2y,a，,则C、D坐标满足 y,kx(, aa由此得x,,，x,( 12221，2k1，2k 2设C、D两点到直线AB:x,y，a,0的距离分别为d、d， 122 因C、D两点在直线AB的异侧，则 2222x,y，ax,y，a(x,y，a),(x,y， a)11221122||||||2222d，d,，, 12222 (x,x),(y,y)(1,k)(x,x)2(1,k)a212121,,,(„„„„„„„„„8分 2221，2k 22(1,k)a1,k 1 1 4 22a?S,，d),,( |AB|( d?a??122222331，2k1，2k 22(1,k)t1设t,1,k，则t,1，,， ,22 4 31，2k2t,4t，32,，2tt 7 高二理科数学 第 页 (共 4 页) 2(1,k) 1 2 1 当最大，进而S有最大值(„„„„„„„„12分 ,，即k,,时，2t321，2k 212ax23(解 (1)? a,0，， f(x),(x,x，)eaa 221ax2ax,? f(x),(2x,)e，(x,x，),a,eaaa 2a2,2ax2ax=， „„„„„ 2分 (2xax2x1)e(ax)e,，,，,，aa a,21,于是，f(0),，所以曲线y = f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程为f(0),aa 1a,2，即(a,2)x,ay + 1 = 0( „ 4分 y,,(x,0)aa a2,ax2(2)? a,0，e,0，? 只需讨论的符号( „„„„ 5分 ax，a a2,2?)当a,2时，,0，这时f ′(x),0，所以函数f(x)在(,?，+?)ax，a 上为增函数( 22x = 2时， ′()= 2?0，函数()在(,?，+?)上为增函数( ?)当afxxefx „„„„„„ 6分 2,a2,a?)当0,a,2时，令f ′(x)= 0，解得，( x,x,,12aa当x变化时， f '(x)和f(x)的变化情况如下表: 2,a2,a2,a2,a2,a2,ax ,(,,,,)(,,)(,，,)aaaaaa 'f+ 0 , 0 + (x) f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 2,a2,a2,a2,a? f(x)在，为增函数，f(x)在为减函(,,,,)(,，,)(,,)aaaa数( „„ 9分 2,a2,a(3)当a?(1，2)时，?(0，1)(由(2)知f(x)在上是减函数，(0,)aa 2,a22,a2,a在上是增函数，故当x?(0，1)时，，所(,1)f(x),f(),(1,2,a)emin2aaa 22,a以当x?(0，1)时恒成立，等价于恒成立(当a?(1，2)时，f(x),(1,2,a)e,12a ttttt,2,a,(0,1)g(t),(1,t)e,t,(0,1)g(t),e,e,te,,te,0，设，则，表明g(t) 在(0，1) 8 高二理科数学 第 页 (共 4 页) 2,a上单调递减，于是可得，即a?(1，2)时恒成立，因此，符合g(t),(0,1)(1,2,a)e,1 条件的实数a不存在( „ 14分 9 高二理科数学 第 页 (共 4 页)