[精彩]已知抛物线s的顶点在坐标原点,核心在x轴上, 的三个顶点都在抛物线上,且 的重心为抛物线的核心,若bc地点

[精彩]已知抛物线s的顶点在坐标原点,核心在x轴上, 的三个顶点都在抛物线上,且 的重心为抛物线的核心,若bc地点 ,ABC1 . 已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛 ,ABCl物线上，且的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线的方程为4200.xy，,, (I)求抛物线S的方程; (II)若O是坐标原点，P、Q是抛物线S上的两动点，且满足.试说POOQ,明动直线PQ是否过定点. 4200,xy，,,,22解:(I) 设抛物线S的方程为 由 可得 ypx,2.2200.ypyp，,,,2ypx,2,, ,,0由，有，或 p,0p,,160. p设yy，,,,则 BxyCxy(,),(,),1211222 yyyy，p1212？，,,，,,,,，xx(5)(5)1010. 124448 xxxyyy，，，，pp123123,ABCF(,0),,,,0设，由的重心为则，Axy(,)332323 211pppp11,,？,,,xy10,. ?点A在抛物线S上，? ?,,2(10),p33,,8228,, p,8. 2?抛物线S的方程为 yx,16. (II)?当动直线的斜率存在时，设动直线方程为，显然 PQPQykxb,，kb,,0,0. PxyQxy(,)(,)kk,,,1.设，?，? POOQ,OPOQPPQQ yyQPxxyy，,0.1,? ? ,,,PQPQxxPQ 16b2yy,.将ykxb,，代入抛物线方程，得?kyyb,，,16160,PQk 2222yy,bb16bPQ，,0.,从而? xx,,PQ222kk16k ?，??动直线方程为，kb,,0,0bk,,16,ykxkkx,,,,16(16) 此时动直线PQ过定点 (16,0). ?当PQ的斜率不存在时，显然轴，又，?为等腰直角三角形.PQx,POOQ, POQ 22,,yx,16,yx,16,由 得到，此时直线PQ亦过点. PQ(16,16),(16,16),(16,0),,yx,,yx,,,,, 综上所述，动直线PQ过定点. M(16,0)