三角函数最值问题

三角函数最值问题 例谈中的三角函数最值问题 摘要:高中三角函数求解最值问题是高中数学的重要内容之一,本文主要从近三年的高考题入手用常见的的方法来解决三角函数的最值问题. 关键词:高考;最值;求解:策略 1 前言 三角函数最值问题是新教材例习题中涉及的问题，更是历年高考考察的内容之一，它是函数最值的一个重要组成部分，不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数，解不等式，基本不等式的应用以及某些几何知识都密切相关，由于题型的变化多样，因而常常使学生深感困难，无从下手.因此我们应该掌握相应求解三角函数最值的方法.本文从近三年出现的高考试题出发，对高考试题中出现的三角函数最值问题进行分类，，讨论其解法.希望今后在对学生进行本章的复习指导时有所帮助. 2 对近年出现的三角函数最值问题分布情况列及分析 年份 省份 题号 分值 要考查内容 贵州(理) 17(2) 7 最大值 北京(文) 15(1) 5 最大值 陕西(文) 16(2) 7 最值 2013 天津(文) 6 5 最小值 天津(理) 15(2) 7 最值 山东(文) 18(2) 7 最大值 天津(理) 15(2) 7 最值 江西(理) 15(1) 5 最值 新课标全国卷 14 5 最大值 2014 江苏(理) 14 5 最大值 黑龙江(理) 14 5 最大值 广西(文) 14 5 最大值 安徽(文) 16(2) 7 最值 北京(文) 15(2) 7 最小值 北京(理) 15(12) 7 最小值 2015 天津(理) 12(2) 7 最值 浙江(理) 11 5 最小值 重庆(文) 18(1) 5 最小值 从上表可以看出，三角函数最值问题在全国各省高考试卷中均有涉及，命题形式有填空题和解答题.分值占各省高考总分数的4%左右，主要考查的方法有法，换元法，利用三角函数的有界性法，引入辅助角法，函数在区间内的单调性法，但是近几年来考察三角函数的最值问题往往是以函数为载体作为考察的对象.下文将用以下的5种方法来对三角函数的最值问题进行讨论. 3 经典试题分析 3.1 配方法 理论依据;根据给出的三角函数，看是否能将三角函数拆分，分解再组合形成新的三角函数.但在拆分和分解的过程中涉及到半角公式，诱导公式，正余弦定理等灵活运用. y,cos2x，2sinx例1 (2014年广西(文)第11题5分)函数的最大值____. y,cos2x，2sinx分析:根据题意所给出的三角函数式，此题运用配方法应用到倍角公式化成同类同角的三角函数再运用一元二次函数求解最值方法求解即可. 222cos2x,cosx,sinx,1,2sinx 解:因为 , y,cos2x,2sinx 所以 2,1,2sinx，2sinx . 1322212sin2sin2(sin)y,,x，x,,x,，所以 , 22 31y,sinx,max所以当时. 22 小结:本题属于容易题，此题主要考查学生对三角函数倍角公式的运用和对 一元二次函数对称轴，顶点及最值的考查，解决此类题型的关键是对是如何对三角函数进行适当的变形及配方. 3.2 换元法 理论依据:根据给出的三角函数看是否能把三角函数式转化为同类同角的三角函数，然后用一个元素来代替这个三角函数，用解决一元二次函数的最值的方法解答即可. 例2 (2010年北京(理)第13题第二小问7分)已知函数 2 f(x),2cos2x，sinx,4cosx ,f()(1)求得值; 3 (2)求f(x)的最大值和最小值， 分析:对于本题我们只讨论第二小问，根据题意所给出的三角函数式，此题运用换元法应用到倍角公式化成同类同角的三角函数，运用一元二次函数求解最值方法求解即可. 2()2cos2sin4cosfx,x，x,x 解:因为 222(2cos1)(1cos)4cos,x,，,x,x 23cos4cos1,x,x, 272 3(cos),x,, 33 ,,t,,1,1cosx,t 令 , 272fx,t,,()3() 所以 . 33 27t,,1fx,,()t,f(x),6 因此当 时，;当 ，. minmax33 小结:本题属于容易题，此题主要考查学生对三角函数倍角公式的运用和对一元二次函数对称轴，顶点及最值的考查，解决此类题型的关键是对一元二次函数的了解和运用. 3.3 引入辅助角法 理论依据;对于此类问题常通过合理的拆分或组合.通常此类问题的形式为 22y,asinx，bsinx,cosx，ccosx的三角函数最值问题，它可通过降次化整为 y,asinx，bsinx型来求解. 例3 (2015年浙江卷(理)第11题第2问3分)函数 2f(x),sinx，sinxcosx，1的最小正周期____，最小值____. 分析:本题不讨论周期问题，根据题意所给出的三角函数式 2f(x),sinx，sinxcosx，1，首先想到三角函数式中的倍角公式 2cos2x,1,2sinxsin2x,2sinxcosx，，然后再将函数式组合 ()sinsincos1fx,x，xx，sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,,从而求出最小值. 1112解:因为 cos2sin21,,x，x， 222 113 sin2cos2,x,x， 222 3 ,sin(2),x,， 42 3232,() 则 . minfx,,,222 小结:本题属于容易题，主要考查学生对三角公式中倍角公式和两角和差公 式的灵活运用. f(x),sin(x，,),2sin,cosx例4 (2014新课标全国卷?第14题5分)函数 的最大值___. sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,分析:根据题意我们首先想到两角和差公式再 将其组合. f(x),sin(,x，),2,sincosx 解:因为 ,sinxcos,，cosxsin,,2sin,cosx ,sinxcos,,sin,cosx ,sin(x,,) f(x),1 所以 . max 小结:本题属于简单题型，主要就是考查学生对两角和差公式的灵活运用及基本的运算能力. 3.4 利用三角函数的有界性 理论依据;在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法. ,a,(3sinx,sinx)例5 (2013年辽宁(文)第17题第二问6分)设向量，,,x,(0,)b,(cosx,sinx)，. 2 a,b(1) 若，求x的值; f(x)f(x),a,b(2)，求的最大值. 分析:对于此题我们只对第二小问进行分析,这个题就属于简单的题型，在这个题中穿插了向量的问题所以解决这个题要牢记向量之间的内积关系对于解决这个题是十分重要的. b,(cosx,sinx)a,(3sinx,sinx)解:因为 ， 3sincossin,xx，xf(x),a,b所以 112 3sincoscos2,xx,x， 22 311 sin2cos2,x,x， 222 1 ,sin(2),x,， 62 ,,x,(0,)(0,) 又因为而正弦函数在是有界的，最大值只能取到1最小值只22 能取到0， 131f(x),，,所以. max22 小结:本题属于难度较低的题型，对于这种在三角函数中穿插向量的的题型 我们只要时刻记住向量的内积该怎样计算对于解决这样的题型是很重要的～但是在解决这种题型时记住三角函数的基本性质(有界性，周期性，单调性)对于解决此类题型同样是十分重要的. 1a,(cosx,,)例6(2013陕西(文)第16题第2小问7分)已知，2b,(3,cos2x)f(x),a,b，设 f(x)(1)求最小正周期， ,(0,)f(x)(2)求在上的最大值和最小值. 2 分析:对于此题我们只讨论第二小问，解决此题我们只要牢记两向量之间的内积关系在联系两角和差公式和三角函数基本性质便可解决此题. f(x),a,b 解:因为 1,cosx,3sinx,cos2x 2 31 ,sin2x,cos2x 22 ,,sin(2x,) 6 ,,x,(0,)(0,) 又因为而正弦函数在是有界的且最大值只能取到1最小值22 只能取0， f(x),0f(x),1 所以 ， . minmax 小结:此题属于简单题型，解决此类题型就要联系到向量的内积关系和两角的和差公式解决此类题是很重要的. 3.5利用三角函数的在区间内的单调性 理论依据:一般对于可化为y,Asin(ax，,)型(或化为余弦函数的形式)的三角函数，在自变量的范围限制在某个区间的情况下，函数最值问题通常通过三角恒等变换将已知函数式直接转化为一个角的三角函数的形式，将异名三角函数转化为同名的三角函数，然后运用三角函数的单调性求解. 例7 (2015年天津(理)第15题第二问7分)已知函数 ,22f(x),sinx,sin(x,)x,R， 6 f(x)(1)求最小正周期; ,,f(x)(2)求在区间(,,)的最大值和最小值. 34 分析:本题我们只分析第二小问，此类题型属于简单题型，本小题主要考查两角和差的正弦公式和余弦公式，二倍角的正弦公式和余弦公式和三角函数的单调性还有最基本的运算能力. ,22f(x),sinx,sin(x,)解:因为 6, 1,cos(2x,)1,cos2x2,, 22 1131 ,(cos2x，sin2x),cos2x2222 31,sin2x,cos2x 44 ,1 ,sin(2x,)26 ,,,,(,,,)f(x)(,,) 由于在区间上是减函数,在区间上是增函数, 3664 ,1,1,3f(,),,f(,),,f(), 所以, , . 346244 13fx,,()fx,() 所以 , . minmax24 小结:对于解决此类题型，我们只要记住两角和差的正弦公式和余弦公式二倍角的正弦公式和余弦公式对于解决此类题型是有帮助的，当然了解三角函数在某区间的单调性对于解决此类题型是十分重要的. 4 总结 通过对三角函数最值问题的讨论可以看出，解决三角函数最值问题的关键还 y,asinx，bcosx，c是函数式子，如果所给的三角函数式子是我们就可以考虑用配方法，如果是较为特殊的式子还可以用换元法的来解决，如果所给的式子是含 有多个三角函数的式子我们应该先转化为只含有一个三角函数在考虑用利用三角函数的有界性，在区间内的单调性等;通过对三角函数最值问题的研究，不但加强了我对三角函数，一元二次函数和向量有关知识的理解和掌握，而且还使我明白了在今后的教学过程中要加强对知识内部的联系，通过加强知识的内在联系可以使我们再研究某些复杂问题通过转化使之简单化和明了化. 参考文献 [1]饶祥明.普通初中课程标准实验教科.九年级数学下册[M].北京:人民教育出版社,2007;2-32 [2]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书.数学4(必修)[M].北京:人民教育出版社,2007;74-117 ,[3] 宁广祥.陈旭.三角函数最值求法探究[J].牡丹江教育学院学报2006年04期 ,[4]武岩.李静.数形结合巧解三角题[J].高中数理化2002年03期 ,[5]倪尔景.三角函数最值的求法探究[J].新课程学习(基础教育)2010年08期 ,[6]田定福.三角函数最值问题的解决技巧[J].甘肃教育2007年24期 [7] 高玉凤.关于三角函数的最值问题——利用正余弦函数的有界性求最值[J].数理化解题 ,研究(高中版)2008年06期 ,[8]杨海英.对于三角函数最值问题的几点思考[J].考试周刊2007年48期 ,[9]李凡金.关注三角函数的有界性[J].中学生数学2006年07期 ,[10]黄爱民.三角函数实际应用问题大盘点[J].中学生数学2007年05期 ,[11] 周旭薇.三角函数最值问题的求解策略[J].成才之路2010年18期 [12]何伟军.例谈高考三角函数最值求解策略[J].试题与研究:高考理科综合2013第20期10-13 [13]徐其明.浅谈高考三角函数知识的复习[J].快乐阅读:上旬刊2013第五期105-105