【word】 变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移

【】 变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移 变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转 移 第25卷第3期 2007年9月 飞行力学 FlAGHTDYNAMICS V01.25No.3 Sep.2007 变比冲发动机作用下共面 燃料最优轨道转移 梁新刚,杨涤 (哈尔滨工业大学航天学院,黑龙江哈尔滨150001) 摘要:以国外目前正在研制中的变比冲磁等离子体火箭发动机(VASIMR)为背景,研究了变比冲发动机 作用下的同平面燃料最优轨道转移.推力方向角和比冲为控制变量,发动机总功率为常值,发动机可多次开关 机.采用经典最优控制理论,运用庞德里亚金最小值原理将问题转化为两点边值问题,并通过非线性算法 求解,得到了受精确开关函数控制的最优比冲时间历程.给出的VASIMR发动机应用算例结果表明,采用VA— SIMR发动机有益于提高航天器有效载荷所占比例. 关键词:变比冲发动机;有限推力;轨道转移;非线性规划 中图分类号:V412文献标识码:A文章编号:1002—0853(2007)03-0053—05 引言 美国宇航局约翰逊空间中心正在研制一种称为 变比冲磁等离子体火箭发动机(VariableSpecificIm— pulseMagnetoplasmaRocket,VASIMR)的新一代航 天器电推进系统.VASIMR发动机是一种比冲可变 火箭发动机,其比冲可在3000—30000S之间调节. VASIMR应用前景非常广泛.可用于通讯卫星 和其他地球轨道航天器的轨道提升,回收和维修高 轨道航天器,大有效载荷智能航天器的快速行星际 飞行以及太阳系外星际空间探测.当前VASIMR最 大的潜在应用是载人火星飞行任务.目前,l0kw的 VASIMR演示样机已经完成,据NASA预计,200Mw 的VASIMR发动机有望于2050年之前研制成功. 目前已有一些相关文献对变比冲轨道转移技术 及VASIMR发动机的应用进行了研究.文献[1,2] 分别对变比冲与常比冲转移作了比较.文献[3]使 用变比冲技术研究了限制性三体问题轨道转移及相 关导引问题.文献[4—6]对VASIMR发动机在轨 道转移与行星际飞行中的应用进行了研究.文献 [7]研究了应用VASIMR发动机拦截对地球有碰撞 威胁的物体. 本文以VASIMR发动机为背景,研究了VA— SIMR发动机作用下的同平面燃料最优轨道转移问 题.把比冲也认为是控制量,使用最小值原理得到 两点边值问题,之后通过非线性规划求解.本文的 一 个特点是得到了最优的开关函数,从而得到受开 关函数控制的发动机开关机逻辑与比冲时间历程, 不同于有些文献中使用的先人为指定开关机序列, 再将开关机时刻作为未知参数去优化求解的方法. 1VASIMR发动机模型 VASIMR发动机在常功率下输出连续可变的推 力.功率输出保持常值,这样,推力与比冲成反比关 系.设发动机效率为60%,则发动机推力与秒消耗 量可由功率与比冲表达为: T:2 , Pr!. (1) 1g0 式中,为发动机推力;P为发动机功率;77为发动机 效率;L为发动机比冲;g.为海平面处地球重力加 速度. 质量变化率为: 虎:一:一mA01(2)m一一z g ‘2) 式中,为发动机排气速度. 收稿日期:2006—06-27;修订日期:2007—04—16 作者简介:梁新刚(1979一),男,山西太谷人,博士研究生,研究方向为 航天器轨道优化设计; 杨涤(1937一),男,辽宁沈阳人,教授/博导,研究方向为航天器动力学 与控制. 54飞行力学第25卷 2轨道运动方程 本节简单引用平面极坐标轨道运动方程.如图 1所示,极坐标形式的同平面轨道运动方程为: : r :一+ )卫in rr’』mgo 一+cos . 2PT1 2 m— g2 (3) 式中,r为航天器矢径大小;0为航天器角位置;为 航天器径向速度;为航天器切向速度;为推力方 向角;m为航天器质量;tx为地球引力常数,tx: 3.986×10km/s. 图1同平面轨道运动极坐标系 3最优控制问题 由方程(3)应用庞德里亚金最小值原理,可将 VASIMR发动机作用下的轨道转移问题转化为数学 上的两点边值问题. 性能指标为燃料最优,即 J:西=一m(,,)rain(4) 系统哈密顿方程为: ,, u+人?+ A(孚一+sin)+ A(一+cos)(一嚣) (5) 协状态方程组为: + 孚一一rrrr =0 =_Ar+竽 一一 + = (Asin+Ac.s) m (6) 式中,A,A,A,A和A分别为对应于r,0,,和 m的协状态变量. 控制变量为和,由最小值原理知,和应 使哈密顿函数取最小.不受约束,则应满足: 对一阶导数等于零且对二阶导数大于零. 由此得到: . A SIn=一——=二===== ?A+A A COS:一—?,二二=== ?A+A (7) 受上下界约束,不能根据对一阶导数等于零 得到.H中含的项是关于l的二次多项式,经 过可得: =k(<k<且A<0) J,J(k?J且A<0) I,],proi(k?,sPi且A<0) ,i(A?0) 其中: , 2mA go?A+A 令开关函数.s为: :一 JAu2+A~2 mlIpgo 则VASIMR发动机功率为: P=0(S>0)1 P=P(S<0)J 正则化以后的初始条件为: 终端约束为: r(t0):1 0(t0):0 M(t0):0 (t0)=1 m(t0)=1 (8) (9) (10) (12) 第3期梁薪刚等.变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移55 ? r(ti)=ri 不足的终端边界条件由横截条件 m)=【韭ax(tf )+ONT] J1) [… o , 6万+】…, J ,… ,L(ti(15) 则由正则方程组,以及边界条件就构成了数学上的 两点边值问题. 终端时刻0未知,由下式确定: 筹=H(tI)=0(16) 4非线性规划求解两点边值问题 本节使用非线性规划方法求解得到的两点边值 问题. 非线性规划问题(NLP)的一般表述为:在满足 约束 『1 f?l,()I?(17) AX 的前提下使得优化目标 J=fo()(18) 最小.式中()为要优化的标量目标函数;为 待优化参数矢量;,()为非线性约束函数矢量;Ax 为线性约束函数矢量;f为约束下界矢量;U为约束 上界矢量. 具体到本文的变比冲燃料最优轨道转移问题, 待优化参数为5个协状态初值A(),A(), A(t.),A(t.),A(t.)和终端时刻0.转化后的非 线性规划问题表述如下. 优化目标: J=一m()一min(19) 需要满足的约束: ? (0)一 (0)一 Ap(0)一0 A(,)+1 日(,) ?(20) 待优化参数需要满足的约束: 一 ? 一 ? 一 ? 一 ? 一 ? 0 ? A(t0) A(t0) A(t0) A(t0) A(t0) t, ? +? +? +? +? +? 某一合理上界 (21) 至此,已将前节得到的两点边值问题转化为可 用非线性规划求解的参数优化问题,选择合适的非 线性规划算法即可对其进行求解. 5数值仿真算例 设航天器初始位于500km高度的低轨道,用 VASIMR发动机将其提升到地球同步轨道(轨道半 径42164km).比冲可调范围与文献[7]中相同, 为3000—30000S.令长度单位1DU=6878km,时 间单位1TU,?6878.s,质量单位1MU=航天器 初始质量m.(DU,TU,MU分别表示DistanceUnit, TimeUnit,MassUnit).各有单位量用上述单位进 行正则化处理,正则化以后的初始与终端边界如表 1所示. 表1初始与终端边界条件 本算例中VASIMR发动机功率P与航天器初始 质量m之比取得较大,正则化后的值为0.5,相当 于初始质量为1kg的航天器,需要VASIMR发动机 功率为32.072kw,按NASA预计可实现的200Mw 考虑,可将初始质量6236kg(燃料约占2.1%,见图 8)的航天器从低轨道送入同步轨道. 计算结果如下:总飞行时间48.9272TU,约为 12h16min,燃料消耗2.1%. 图2为开关函数随时间变化曲线,由于开关函 数在最后40—50Tu之间数值很小,图3对其进行 局部放大,通过图2,图3与式(11),可以确定整个 轨道提升过程由首尾两个开机弧段与一个中间惯性 飞行段组成. 56飞行力学第25卷 I?U 图3开关函数局部放大 图4为整个轨道提升过程中航天器飞行轨迹. 正如图2所示,飞行轨迹由两个推力弧与一个零推 力弧组成.图中,虚线表示零推力弧,实线表示推力 弧,实线上面的短细线表示飞行过程中的推力方向. 图4VASIMR作用下燃料最优飞行轨迹 图5为比冲随时间变化曲线.图中,虚线表示 发动机关机弧段,比冲变化不考虑. 图5比冲时间历程 随着比冲的变化,由式(1)可得到推力随时间 及比冲的变化曲线,如图6所示.图中推力为正则 单位. , I ? 口 ? 兰 \ 图6推力时间历程 图7为推力方向角的变化规律.图中虚线表 示关机弧段,无意义. 图7推力方向角时间历程 图8为航天器质量变化曲线.很明显关机弧段 质量保持不变. 6结束语 图8质量变化历程 本文以先进的VASIMR发动机为背景,研究了 变比冲发动机作用下的燃料最优轨道转移,给出了 受精确开关函数控制的最优比冲变化曲线.采用 VASIMR发动机可以提高航天器有效载荷所占比 例.例如对于本仿真算例,有效载荷占97.9%,燃 料仅占2.1%.本文所用方法可以推广到三维轨道 转移. 参考文献: [1]KlueverCA.GeostationaryOrbitTransfemUsingSolarE— lectricPropulsionwithSpecificImpulseModulation[J]. JournalofSpacecraftandRockets,2004,41(3):461-466. 『2]RoccaSimone,ManenteMarco,PavarinDaniele,eta1.Op- timalLow.ThrustTrajectoryAnalysisforConstantand 第3期梁新刚等.变比冲发动机作用下共面燃料最优轨道转移57 VariableSpecificImpulseThrustersGeneratedbyMulti. ObjectiveEvolutionaryAlgorithmsandNonlinearProgram— ming[J].AdvancesintheAstronauticalSciences,2005, 119:2587-2598. SenentJuan,OcampoCesar,CapellaAntonio.Low—Thrust Variable.Specific.ImpulseTransfersandGuidancetoUn. stablePeriodicOrbits[J].JournalofGuidance,Contml, andDynamics,2005,28(2):280-290. SeywaldHans,RoithmayrCarlosM,TmutmanPatrickA. Fue1.Optima/OrbitalTransfersforVanableSpec/ticIm pulsePoweredSpacecraft[J].AdvancesintheAstronauti. calSciences,2003,114:347-364. SeywaldHans,RoithmayrCarlosM,TroutmanPatrickA, eta1.Fue1.OptimalTransfersbetweenCoplanarCircular OrbitsUsingVariable?Specific?ImpulseEngines[J].Jour- nalofGuidance,Control,andDynamics,2005,28(4): 795-8oo. SagdeevRoald,KaravasilisKonstantinos,RossBrian,eta1. VariableSpecificImpulseInterplanetaryTrajectoryDesign andOptimization[J].AdvancesintheAstronauticalSci. ences,2002,109:1977.1987. Sang?YoungPark.Kyn.HongChoi.OptimalLow.ThrustIn. tercept/RendezvousTrajectoriestoEarth—CrossObjects [J].JoumalofGuidance,ControlandDynamics,2005,28 (5):1049.1055. Fuel-OptimalCoplanarOrbitalTransferUsingaVariableSpecific ImpulseMagnetoplasmaRocket LIANGXin—gang,YANGDi (SchoolofAstronautics,HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China) Abstract:Fuel—optimalcoplanarorbitaltransferusingtheadvancedvariablespecificimpulsemagnetoplasma rocket(VASIMR)isstudied.Thrustdirectionandspecificimpulseareconsideredascontrolvariables.Optimal controlproblemisconvertedintoatwopointboundaryvalueproblemwhichissolvedbynonlinearprogramming methodinthispaper.Akeypointofthispaperisthattheoptimalspecificimpulsetimehistoryisachievedaccord— ingtothepreciseswitchfunction.ThenumericalorbitraisesimulationusingVASIMRisgiven, whichshowsthatit isbeneficialtoincreasethepayloadratio. Keywords:variablespecificimpulserocket;finitethrust;orbitaltransfer;nonlinearprogramming (编辑:王育林) (上接第52页) ApproximateSolutionsoftheMid-CourseTrajectoriesfor theBoost.GlideMissiles YONGEn—mi,ChenLei,TANGGuo-jin (CollegeofAerospaceandMaterialEngineering,NUDT,Changsha410073,China) Abstract:Theapproximatesolutionsofthemid—coursetrajectoriesforthebo ost—glidevehiclesareinvestigated. Firstly,withdifferentassumptions,fourtypesofapproximatesolutionsarepresented:(1)freeflightsolutions;(2) aero—controlledflightsolutionswithconstantangle—of-attack;(3)thecom positesolutionofthefreeflightandaero— controlledflight;(4)equilibriumglidesolutions.Thentheapproximatesolutionsofmid—coursetrajectoriesareob— tainedbythecombinationofthesesolutions.Thecomparisonbetweentheapproximatesolutionsandthenumerica1 solutionsvalidatestheefficiencyofthisapproach.Furthermore. thesolutionsofthispaperisbenefitfortheestima. tionofthecharacteristicsofthisnewtrajectory,suchasmaximumheatingrate,loadfactoranddynamicpressure duringtheperiodoftheprojectdemonstration. Keywords:boost—glide;approximationsolution;reentry;equilibriumglide (编辑:王育林)