向量组线性相关与线性无关

向量组线性相关与线性无关 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解 之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法:利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组?1,?2,?,?m都为n维向量，如果数域P中存在一组不全为零的数 k1,k2km,使k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0则称向量组是线性相关, 反之，若数域 km，使 P中没有不全为零的数k1,k2 k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. ???b1,b2?bn?线性相关的充要条件是ai 命题2 两个n维向量???a1,a2,?,an?， 与bi?i?1,2?n?对应成比例. 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 命题3 若向量组?1,?2,?,?m线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设?1,?2,?,?m线性相关，?1,?2,?,?m,?m?1,?,?m?s是包含?1,?2,?,?m的一组向量，由于?1,?2,?,?m线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2km使得k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0此时有 k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0?m?1???0?m?s?0, 因此，?1,?2,?,?m,?m?1,?,?m?s线性相关.证毕. 由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关. 命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关. 3.2.1 运用定义判定 由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关. 例1 设?1??1??2,?2??2??3,?,?m?1??m?1??m，证明，当m为偶数时，?1,?2,?3,?m线性相关. km?m?0，即 ， 证明 令k1?1?k2?2?k3?3?k1?a1?a2??k2?a2?a3????km?am?a1??0 又即 ?k1?km?a1??k2?k1?a2????km?km?1?am?0 ， 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 取 k1?k3???km?1?1,k2?k4???km??1， 则有 k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0. 由线性相关的定义知，?1,?2,?,?m线性相关. 3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断 向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数. 命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的. 例2 设向量组?1??2,?1,3,1?,?2??4,?2,5,4?,?3??2,?1,4,?1?，判断?1,?2,?3的线性相关性. 解 k1?1?k2?2?k3?3??2k1?4k2?2k3,?k1?2k2?k3,3k1?5k2?4k3,k1?4k2?k3???0,0,0, 0?得k1?k2?k3?0，于是?1,?2,?3线性无关. 例3 设向量组?1,?2,?,?m线性无关，且可由向量组?1,?2,?,?m线性表示.证明:?1,?2,?,?m也线性无关，且与?1,?2,,?m等价. 证明 如果?1,?2,?,?m线性相关，假设?1,?2,?,?r是它的一个极大无关组，如果r?m,就说明了?1,?2,?,?m就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾～下面考虑r?m.又因为向量组?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m线性表示，则?1,?2,?,?m也可由?1,?2,?,?m线性表示,于是有m?r,矛盾～ 由于?1,?2,?,?m线性无关，则R??1,?2,?,?m??m,又?1,?2,?,?m可由 ?1,?2,?,?m线性表示,所以， ??1,?2,?,?m????1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m?等价，所以 R??1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m??m. 于是?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?m都是??1,?2,?,?m,?1,?2,?,?m?的极大无关组.所以 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 它们是等价的，证毕. 命题6 设?1,?2,?,?m为n维列向量,矩阵A?(?1,?2,?,?m). (i)当R?A??m时，向量组?1,?2, (ii)当R?A??m时，向量组?1,?2, 例4 判断向量组?1?2,1,0,5?m线性相关; ?m线性无 关. ,?2?7,?5,4,?1?????? ,?3?3,?7,4,?11???线性相关性. 解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A化为行阶梯形矩阵 ?1-5-7??1-5-7??1-5-7??273?????????1-5-7011011273???? ?????? A? ??01?00?04?044?1?0?4?????????5-1-110110005-1-11???????? 由行阶梯形矩阵知R?A??2?3,所以向量组?1,?2,?3是线性相关的. 上面是以?1,?2,?3为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用?1,?2,?3为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果. 3.2.3 利用行列式的值判断 命题7 若?1??a11,a12,?,a1n?,?2??a21,a22,?,a2n?,?,?n??an1,an2,?,ann?,以?1,?2,?,?n作为列向量构成的矩阵A?(?1,?2,?,?n)是一个方阵， ?a11?aA??12 ????a1n (i)当A?0时，向量组?1,?2, (ii)当A?0时，向量组?1,?2, 例5 设?1?1,1,1a21?an1?a22?an2?? ?????a2n?ann??n线性相关. ?n线性无关. ???,?2?1,2,3???,?3??1,3,t?问t取何值时，向量组? ?1,?2,?3线性相关. 解 向量组?1,?2,?3的个数和维数相等都为3， 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 11A?23?t?5 3t 可见当t?5时，?0，所以向量组?1,?2,?3线性相关. 3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断 对于?1??a11,a21,相关判断 命题8 若?1,?2,?,?m为系数向量的齐次线性方程组x1?1?x2?2???xm?m?0有非零解，则向量组?1,?2,?,?m线性相关，若该齐次 线性方程组只有零解，则向量组 ,an1?,?2??a12,a22, ? ,an2?,?m??a1m,a2m, ? ,anm?的线性 ? ?1,?2,?,?m线性无关. 例6 已知?1?1,1,1,?2?1,2,3 ,?3?1,3,t (i)当t为何值时，向量组?1,?2,?3 线性无关, (ii)当t为何值时，向量组?1,?2,?3线性相关, (iii)当向量组?1,?2,?3线性相关，将?3表示为?1和?2的线性组合. 解 设有实数x1,x2,x3使x1?1?x2?2?x3?3?0则可以得到方程组 ?????? ?x1?x2?x3?0 ? ?x1?2x2?3x3?0 ?x?2x?tx?0 23?1 11 其系数行列式 D?23 3t (i)当t?5时，D?0，方程组只有零解，即x1?x2?x3?0，这时，向量组a1,a2,a3 线性无关. (ii)当t?5时D?0方程组有非零解，即存在不全为零的数，x1,x2,x3使， x1?1?x2?2?x3?3?0 此时?1,?2,?3线性相关， 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 ?111??10-1????? (iii)当t?5时，由123?012????此时有 ?135??000?????, ?x1?x3?0??x2?2x3?0 令x1?1,x2?2，有?1?2?2??3?0从而?3可由?1,?2,表示?3???1?2?2. , 在运用定义法，秩的判别方法，齐次线性方程组和行列式法的时候，它们之间三既有联系又有区别的，联系是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由该方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性，在运用定义法的同时，也运用了判别齐次线性方程组的有无非零解法，如上述例子中，秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法的出发点不同，但是实质也是一样的，都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶梯形矩阵， 从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的秩，然后再做判断，如行列式法实质上是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法.区别是，适用的前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出的向量组;秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出的向量组，行列式法适用于各分量都具体给出且向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组，因此，在对向量组的线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法. 以上是从向量组的分量是否具体给出两个大的方面介绍了向量组线性相关性相关性的判断方法，由此可见，如果向量组的分量是具体给出的，则判断向量组线性相关性是比较简单的，总可用方程组的解，矩阵的秩和行列式的值得方法来判断，如果向量组的分量是没有具体给出吃的，则熟练理解和掌握向量组线性相关性的定义，定理，等知识是解题的必要条件，要灵活运用向量组线性相关性的定义，定理等知识和技巧才有助于提高解决问题的能力. 3.2.5 用反证法 在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾的结果，从而结论的反面不成立，则结论成立. 例7 设向量组?1,?2,?,?m中任一向量?i不是它前面i?1向量的线性组合，且?i?0证明向量组?1,?2,?,?m线性无关. 证明 假设向量组?1,?2,?,?m线性相关，则存在不全为零的数 k1?k2?k3???km使得, 1 k1?1?k2?2?k3?3???km?m?0, ? 不妨设km?0由上式可得, am??kak1a1k2a2????m?1m?1 kmkmkm, 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 1式转化为即?m可以由它前面m?1个向量线性表示，这与题设矛盾，因此km?0于是?. k1?1?k2?2?k3?3???km?1?m?1?0， 类似于上面的证明可得km?1?km?2???k2?0 , 1式转化为k??0,但??0，?所以k1?0这与k1?k2???km不全为零的假设相矛盾,111 所以向量组线性无关. 3.2.6运用相关结论判定 定理1 向量?1,?2,?,?n(n?2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余n?1个向量的线性组合. 例8 判断向量组?1? (0,3,1,-1), ?2? (6,0,5,1), ?3? (4,-7,1,3)是否线性相关, 解 将?1,?2,?3以行排成矩阵 ?031?1???A??6051??4?713?????274?2??? 031?1 ???0000??? 矩阵A化为阶梯形矩阵后出现零行，则?1,?2,?3中必有一向量能被其余剩下的向量线表示，故由定理1知，向量组?1,?2,?3线性相关. 我们注意到，例9中的矩阵A在初等行变换的过程中，不论是否化成了阶梯型矩阵，一旦出现零行，就可以断定?1,?2,?,?n中必有一个向量能被 其余剩下的n?1个向量线性表示，从而向量组线性相关. 定理2 一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关. ?1? 1,2,4,0,1, ?2?0,1,8,1,2, ?3? 0,2,3,0,5 例9 判断向量组: 的线性相关性. 解 取?1?1,0,0 ????????????，?2?0,1,1，?3?0,2,0??????，因为由?1,?2,?3为列向量的行列式不为零，所以向量组?1,?2,?3线性无关，从而在相同位置上增加了两个分量后所得向量组?1,?2,?3是线性无关的. 定理3 任意n?1个n维向量必线性相关. 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 定理4 如果向量组?1,?2,?3,?m可由向量组?1,?2,?,?s线性表示，若m?s,则 ?1,?2,?3,?m线性相关. 证明 设x1?1?x2?2???xn?n?0，由已知可知 ?i?k1i?1?k2i?2???ksi?s? 带入上式可得 s?s?sm?m? ?xi?i??xi??kji?j????kjixi?j????kjixi??j ?? i?1i?1j?1?i?1??j?1?j?1i?1 m m ?k j?1 s ji ?j?i?1?m? 要证明a1,a2,a3,am线性相关，只需证明存在不全为零的数x1,x2,?,xn使得 x1?1?x2?2???xn?n?0成立，即只要存在不全为零的数x1,x2,?,xn使得 s?s?sm?m? ??x??xk??kx??kx???????iii??jij?jiijjii??j i?1i?1j?1?i?1??j?1?j?1i?1m m 中的每一个?j前的系数均为零即可. 要使每个?j前面的系数为零，则可得到, ?k11x1?k12x2???k1mxm?0 ? ?k21x1?k22x2???k2mxm?0 ?kx?kx???kx?0 smm?s11s22 因为m?s即，方程组的个数小于未知量的个数,得到方程组有非零解,所以 a1,a2,a3,am线性相关. 定理5 如果向量组?1,?2,?,?r可以由?1,?2,?3,是线性无关的，设?i? ?r线性表示为且?1,?2,?3,?r ?a? ijj?1 r j ,j?1,2,?,r A? a11 a21?ar1 a12?a1ra22?a2r??ar2?arr ， 若A?0则?1,?2,?,?r线性无关. 证明 设k1?1?k2?2???kr?r?0, 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 将?i? ?a? ijj?1 r j ?ai1?1?ai2?2???air?r?i?1,2?r?代入上式，得 ?a11k1?a21k2???ar1kr??1??a12k1?a22k2???ar2kr??2????a1rk1?a2rk2?? ?arrkr??r?0 由?1,?2,?3, ?r线性无关,得 ?a11k1?a21k2???ar1kr?0?ak?ak???ak?0?121222r2r ? ???????a1rk1?a2rk2???arrkr?0 则?1,?2,?,?r线性无关,所以系数全为零，即方程组只有零解， a11a12?a1r 得证～ a21?ar1a22?ar2? ? a2r?arr ? a11a21?ar1 a12? ?a1r ??0 a22?a2rar2?arr 例10 设?1??1,?2??1??2,?,?r??1??2????r且向量组?1,?2,?3,性无关，求向量组?1,?2,?,?r的线性相关性. 解 因为?1,?2,?,?r由?1,?2,?3, ?r线 ?r线性表示，由定理5可得, 1??1 01?1 A??1?0 ????0?01 因为?1,?2,?3, ?r线性无关，且A?0所以?1,?2,?,?r线性无关. 结束语 本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关的判定方法，总介绍定义入手，介绍了它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间的重要联系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关的解题中的要领，掌握方法本质，最后总结了一些方法，例如;利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等. 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 参考文献 [1]姚慕生，吴泉水，高等代数学[M]，第2版，上海，复旦大学出版社，2008. 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