曲线曲面积分

曲线曲面积分 曲线、曲面积分是将积分概念推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，在求变 力沿曲线做功，求引力，环流量等许多实际问题中应用广泛，是场论的基础。这 一章的基本思想是用参数化解决曲线、曲面积分的计算，利用格林公式、斯 托克斯公式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。在研究生入学考试中，本章 是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。 通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1．明确两类曲线积分和两类曲面积分的背景，熟练掌握两类曲线积分和两 类曲面积分的定义。 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的参数化、投影计算法。 3．具备对一些常见实际问题的分析能力，正确使用格林公式、斯托克斯公 式、高斯公式解决一些较复杂的应用问题。 ,,计算方法（参数化法）,对弧长的曲线积分,,,在一些问题中的应用（质量、质心、引力）,,, ,,计算方法（参数化法）,,,线积分,,,格林公式（平面曲线积分）,,对坐标的曲线积分,,,斯托克斯公式（空间曲线积分）,,,,,,在一些问题中的应用（变力沿曲线做功、环流量）,,, ,,计算方法（参数化法）,,对面积的曲面积分,,,在一些问题中的应用（质量、质心、引力）,,,,,曲面、曲线计算方法（投影法）,,,,,,对坐标的曲线积分高斯公式,,,,,在求穿过曲面定向的通量,,,,两类曲线积分的联系,,相互关系,,两类面线积分的联系,, ,场论基础知识, , [错误结论]设z,f(M)是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定AB , 义在AB,,f(x,y)ds,,f(x,y)ds.上的有界函数，则 ,,ABBA 1 [分析] 从第一类曲线积分的定义知，该积分是该弧段上点的函数值与小弧段长 , 的乘积的和式的极限，故这个极限与曲线段AB的方向无关，因此不能照搬定积 分的有关性质。 ,,[正确结论] 设AB是分段光滑可求长的平面曲线段，函数是定义在z,f(M)AB 上的有界函数，则,, f(x,y)ds,f(x,y)ds.,,ABBA [错误结论]重积分、曲线积分、曲面积分的定义都可统一到定积分的定 义形式。 [分析] 从重积分、曲线积分、曲面积分的物理背景可知重积分、第一类曲线积 分、第一类曲面积分的定义可统一到定积分的定义形式：设是可度量的几何形, 体，n,,,i,1,2,？,n,,在上有界，将任意分成个部分，既表示f(M),,ii n第,,M个部分又表示其度，在上任取一点，若存在，则I,lim,f(M),,iiIIIi,1,,0 称在上可积，记为 f(M)f(M)d,,I.,,, 对于第二类曲线积分、第二类曲面积分由其物理背景可知，其定义不能简单 地统一到这种形式。 [正确结论] 重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的定义都可统一到定积 分的定义形式。 ,求圆周上222x，y,r曲线段ABC的弧长，其中A,(0,r), B,(r,0), r3rC,(,). 22 2x[错解] ,ds,1dx,，,,22ACACrx, rr2,rxx22dxr,1，,arcsin],. 0,220r6rx, rxrr0[分析] 由于曲线从A到C时,自增加到, 再由减少到, 在以上计算中统2 2x一将dsds,0.用1，dx表示不能保证而第一类曲线积分中,由定义可知22r,x ds应大于零,因此此题应分段进行计算. 2 22xx[正确解] ,ds,1dx,1dx,，，，,,,2222ACABBCrxrx,, 22rrxx1dx1dx,，，，r,,22220rxrx,,2 ,r,r5xxrr rrr,,arcsin]，arcsin],,,.r0rr662 dx，dy4. 计算 其中为以点为顶ABCDAA(1,0),B(0,1),C(,1,0),D(0,,1),,ABCDAx，y 点的正方形。 [错解] 正方形方程为 即 ，C:,x,y,1，C:x，y,1,C:,x，y,1x，y,1,312 C:x,y,1. 所以 4 dx，dy ,dx，dy，dx，dy，dx，dy，dx，dy,,,,,CCCCABCDA1423x，y 100101,(1,1)dx，(1，1)dx，(1,1)dx，(1，1)dx,2dx，2dx ,4.,,,,,,0,1,10,10[分析] 本题是计算第二类曲线积分, 因此用参数化法化为定积分求解。但应注意 的是此时定积分的下（上）限应对应始（终）点的参数值。在以上解法中被积表 达式是正确的，但积分上下限有的颠倒了，导致了结果错误。 [正确解] 正方形方程为C:x，y,1,C:,x，y,1x，y,1, 即 ，12 dx，dyC:,x,y,1C:x,y,1，. 所以 34,ABCDAx，y ,dx，dy，dx，dy，dx，dy，dx，dy,,,,CCCC1423 0,101,11,(1,1)dx，(1，1)dy，(1,1)dx，(1，1)dy,2dx，2dy,0. ,,,,,,0010,10 5. [错误结论] 格林公式对单一型的积分不成立。 P(x,y)dx,L [分析] 以上结论是错误的。事实上，其中P(x,y)dx,P(x,y)dx，Q(x,y)dx,,,,LLL Q(x,y),0P(x,y)，因此只要在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式的D条件即可使用格林公式。 [正确结论] 当P(x,y)在以L为边界正向的闭区域上满足格林公式条件时：D 3 P(x,y)dx,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,,,LLL P, ()dxdy.,P(x,y)dx，0dy,,,,,,y,DLL 类似地，对单一型的积分，当在以L为边界正向的闭区Q(x,y)Q(x,y)dx,L Q,域上满足格林公式的条件时，有 dxdy.Q(x,y)dYD,,,,y,DL 33yx226. 求曲线积分x，y,9，其中曲线的方程. ,dx，dyL,33L 33yx[错解] 由于(,),(,)在所围的区域上满足格林公式的条Pxy,,Qxy,L33 33yx22件，于是 ,9dxdy,81,.,dx，dy,(x，y)dxdy,,,,,33DLD [分析] 在以上解法中，将第二类曲线积分利用格林公式转化为二重积分来考虑 2222这个思路是常用的，错误在于将x，yx，y,9利用的方程，用9来代换L22x，y。事实上二重积分中的积分变量应在所围的积分区域上取值，而不能L仅在上取值。 L ,343381yx222[正确解] 利用对称性,4d,rrdr,,. ,dx，dy,(x，y)dxdy,,,,,23300LD 227. 求曲线积分x，y,1，其中曲线的方程。 xdyL,L [错解] 由于积分曲线关于x轴对称，被积函数是的奇函数，利用对称性，得y xdy,0.,L [分析] 在定积分、重积分中，常利用积分区域的对称性配合被积函数的奇偶性 法则来简化计算。由于第二类曲线积分、第二类曲面积分的定义与定积分、重积 分的定义形式不同（参见例2），因此不能直接照搬此性质。 [正确解]利用参数法， ,2,22 xdy,cos,dsin,,4cos,d,,,.,,,00L 4 22222x，y，z,r8. 求曲面积分，其中为曲面的外侧。 zdxdy,,,, 22[错解] zdxdy,2zdxdy,0.,,,,,,中的上半球面 [分析] 上面解法的错误在于对第二类曲面积分直接利用重积分的对称性求解， 这是没有根据的。对第二类曲面积分，首先应将它化为重积分，才能考虑是否可 用对称性简化计算。 [正确解一] 利用高斯公式 利用对称性2 zdxdy,(0，0，2z)dxdydz,0.,,,,,2222,x，y，z,r [正确解二]以上积分也可用常规的方法，分片积分。 222222将分为上半球面：下半球面： ,:z,r,x,y,,:z,,r,x,y,,11 222于是 zdxdy，zdxdy zdxdy,,,,,,,,,,12 222222,[，(r,x,y)dxdy][,(r,x,y)dxdy],0.+ ,,,,221221x，y,rx，y,r (x，2y)dx，ydy9. 试问是否某个函数的全微分？若是，求函数u(x,y). 2(x，y) ,Q,y,P22x，yy[错解] 设,,,,因为, 所以对一切P,Q,22223()(),y,xx，yx，yx，y() A(x,y)ABC，原式是某个函数u(x,y)的全微分。取为起点，以折线为积x,y00分路径，其中B(x,0),C(x,y),于是 (x,y)(x，2y)dx，ydy u(x,y), ,2(x,y)00(x，y) ,P,Q[分析]以上解法是在根据推得“一切，原式是某个函数u(x,y)的全x,y,,y,x 微分”的基础上进行的，但是这里忽略了函数P、Qx，y,0当时没有定义，因 ,P,Q此，只有在x，y,0时，才成立，因此不能任取一点为起点，所选择的,,y,x 路径必须将直线x，y,0中排除在外。 ,Q,y,P22x，yy[正确解] 设,,,,,因为 所以在直P,Q,22223()(),y,xx，yx，yx，y() 5 线以外的区域内，原式是某个函数的全微分。取为起点，x，y,0u(x,y)A(1,0)以折线为积分路径，其中于是 ABCB(x,0),C(x,y), (x,y)(x，2y)dx，ydy u(x,y),2,(1,0)(x，y) xy1yxxy，,, dxdy,ln，[ln，，]xxy0,,1210，xyx(，)xy y ,lnx，y,.x，y 10. 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其路径为沿上Pdx，Qdy,L 22半圆周(x,1)，y,1从点到 (2,0)(0,0). 22[错解] (x,1)，y,1由方程得 Pdx，Qdy,(Pcos,，Qcos,)ds,,,LL dy1,x ,,dxy 1,x因此圆周的切线向量为方向余弦为 {1,},y 1,x y12cos,,,1,x,cos,,,2x,x, 1,x1,x221，()1，()yy 于是 2 Pdx，Qdy,[2x,xP，(1,x)Q]ds.,,LL [分析] 在以上解法中，所运用的两类曲线积分之间的关系式 Pdx，Qdy,L 是正确的，但没有按“切线向量的方向与有向曲线的,(Pcos,，Qcos,)dsL,L 方向必须保持一致”去求出切线向量，造成结论错误。 22[正确解] 曲线xx，y,2x,y,0,的方程为 以为参数，则曲线的切线向量LL dydy1,x1,x22为x，y,2x,{1,},,,{1,}. 由得因此切向量为由于沿上半Ldxdxyy圆周从点(2,0)(0,0)到，故切线方向余弦 6 1,x y12 cos,,,1,x,cos,,,,,2x,x, 1,x1,x221，()1，()yy 于是 2 Pdx，Qdy,[,2x,xP，(1,x)Q]ds.,,LL 2222211计算x，y，z,a其中为球面与平面xds,L,L x，y，z,0相交的圆周。 [分析一] 所求积分为第二类曲线积分，可用常规方法即参数化法进行如下计算。 [解一] 先求出曲线的参数方程。由方程组 L 2222, x，y，z,a, ,xyz ，，,0,, 2a22得 .x，y，xy, （1） 2 由旋转坐标轴，有 2,,,,,,x,xcos，ysin,(x,y)，442 2,,,,,,y,xsin，ycos,(x，y)， 442于是(1)为 222,,3x，y,a. a,,x,cos,,,设0,,,2,,得所求圆周的参数方程为 3, ,,y,asin,,, 7 ,23,(cos,sin),xa,,,23, ,23,y,a(cos,，sin,), ,23, ,2za,,,cos,,,3, 于是得 ,,23,,(,sin,cos),xa,,,,23, ,23,, ,(,sin，cos),ya,,,,23, ,2,,sin,za,,,,3, 2222,,,所以 x，y，z,a.,,, 332,,aa212222xdsd,(cos，sin,sincos),.,,,,, 0,,L2333 [分析二]利用对称性进行计算，这儿不仅要求所沿的积分曲线要对称，且定义在 此曲线上的函数也要求对称。 [解二] 由对称性知 222xds,xds,xds, ,,,LLL 22223考虑到大圆的周长为(x，y，z)ds,ads,2,a,2,a,易得 ,,LL 223于是xds,,a. ,L3 [方法小结]对于计算第一类曲线积分，参数化法是一种常规方法，因此应熟 练掌握，但针对题目的特点，有时其它方法更简便，本题利用对称性求解更简便。 12. 计算曲线积分xxecosydy，esinydx,O(0,0)其中从沿摆线L,L x,a(t,sint),,A(,a,2a). 到 ,y,a(1,cost),, ,,xxx[分析一] 由于被积函数在全平面上满足ecosydy(ecosy)(esiny)，故 ,xy,,x+esinydx必为某个函数的全微分，以下用求原函数的方法求此积分值。 8 [解一] 因为 xxxecosydyesinydx,d(esiny), + 所以 xx ecosydy，esinydx,L xx(,a,2a),a ,d(esiny),[esiny],esin2a.(0,0),L QP,,xxx[分析二] 设P(x,y),esiny,Q(x,y),ecosy, 因于是积分ecosy,,,yx,, xx与路径无关，所以可任意选择一条路径进行积分。 ecosydy，esinydx,L [解二] 根据以上分析，可选择折线OBA为路径进行积分，其中为已知，O,AB 为 (,a,0). xx ecosydy，esinydx,L xx,,ecosydy，esinydx ,OBA xxxx,ecosydy，esinydx+ecosydy，esinydx ,,OBBA 2a,a,a,0，ecosydy,esin2a. ,0 [方法小结] 对于第二类曲线积分一般可考虑采用参数化法，求原函数法，利用 积分与路径无关等方法求解。在采用求原函数法，改变路径积分等方法时，首先 应验证被积函数和积分区域是否满足条件。在改变路径积分时，往往选用分段与 坐标轴平行的折线为路径。 13计算曲线积分22x，y,2x(y,0)ydx，xdy,其中是圆上原点O(0,0)L,L A(2,0)到的一段弧。 [分析] 以下用四种方法求解此第二类曲线积分，用不同的方法，其难易程度相 差较大。 ,[解一] OA,x,1，cos,,y,sin,O,A,,,0,的参数方程为，由 则由 L dx,,sin,d,,dy,cos,d,, 02,[,sin,，(1，cos,)cos,]d,ydx，xdy ,,,L ,,[,cos,,cos2,]d,,0 9 1,,[,sin,,sin2,],0.02 ,2[解二] x,rcos,,2cos,,的极坐标方程为因此参数方程为 OAr,2cos,, ,由 由,0, y,rsin,,2sin,cos,,O,A,,L2 22dx,,4sin,cos,d,,dy,2(cos,,sin,)d,, 022222 ydx，xdy,[,8sin,cos,，4cos,(cos,,sin,]d,,,,L2 ,242,4[3cos,,4cos,]d,,0 ,,131,4[3,,,4,,,],0.22422 ,Q,P[解三] 因为 所以积分与路径无关。 ,1,,P,y,Q,x,,y,x (2,0) ydx，xdy,ydx，xdy,,(0,0)L 2,ydx，xdy,0dx,0. ,,0OA ,Q,P[解四] 因为 ,1,, 利用全微分 P,y,Q,x,ydx，xdy,d(xy),,y,x (2,0) ydx，xdy,d(xy),,(0,0)L (2,0),xy,0,0,0. (0,0) [方法小结] 比较以上四中解法，前面两种都属于直接计算法，后面两种是利用 积分与路径无关、求原函数进行求解的。不难看出，对坐标的曲线积分，若满足 ,Q,Q,P,P，解法三、四是较简便的。当且积分曲线不封闭时，也可先用,,,y,x,y,x“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但P,Q必须在补路后的封闭曲 线所围的区域内有一阶连续偏导数。 214设曲线积分xydx，y,(x)dy,(x)与路径无关，其中具有连续偏导数，,c (1,1)2且,(x),0, 则-----------------------------。 xydx，y,(x)dy,,(0,0) 10 1（A）2; （B）; （C）; （D）1. 02 (1,1)2[分析] 要求出积分, 首先应利用条件求出由曲线积分,(x).xydx，y,(x)dy,(0,0) 与路径无关的充要条件可知: ,,2, (y,(x)),(xy),y,(x),2xy,,x,y 于是 2 , ,(x),2x,,(x),2xdx,x，C., 2由条件,(x),x. 得 ,(x),0, 再由条件积分与路径无关, 取积分路线,则得 y,x (1,1)1123xydx，y,(x)dy,2xdx,.因此选择（B）. ,,(0,0)02 (1,1)112(这里若取折线xydx，y,(x)dy,ydy,.,也易得) (0,0),(1,0),(1,1),,(0,0)02 [方法小结]分析要求的积分式子,易知必须利用条件先求出未知函数,因此有了 以上的解法。从所求结果出发进行分析，往往是解决问题的一种有效途径。 2，，axdydz(za)dxdy15计算222，其中为下半球面的z,,a,x,y,,,1,2222，，，，xyz 上侧，a为大于零的常数。 [分析一] 曲面积分是沿着曲面的积分，可用曲面方程代入被积表达式化简，对 2222本题而言特别重要。因x，y，z,a代入被积表达式后将分母中的 12222a化为提出去了，使得余下的被积表达式能够用高斯公式计算（否，，x，y，z 则高斯公式所要求的连续可微性条件不满足）。 [解一] 由于高斯公式要求积分曲面为封闭曲面，所以必须将原曲面补上一块, 有向曲面 222,x，y,a,,S: ,z0,,, z其法向量与轴正向相反，从而得到 122原式,,,axdydz，(z，a)dxdy,axdydz，(z，a)dxdy ,,,,,,,，SSa 12 ,,,,(3a，2z)dv，adxdy, ,,,,,,Da 11 ,22其中为,，S围成的空间区域，为上的平面区域x，y,a.于是 z,0,D 144原式,, ,,2,a,2zdv，,a,,,,a 2,a0,143，，,,a. ,a2d,,d,zdz,,,22,,,,,00,a,,，，a2[分析二] 本题也可直接用统一投影法，化为平面的某区域上的二重积分进行xoy dydzdxdydzdx计算。[解二] 由于 ,,,xyz x222所以dydz,dxdy, 记,, 则 D,(x,y)x，y,a,z 2x12原式=(a，(z，a))dxdy ,,,az 21ax2222 ,(,，(a,a,x,y))dxdy,,D222aa,x,y 22,a21a,cos,222 ,d,(,，(a,a,,)),d,,,0022aa,, 32,a2,a,2,,cos,d,,d,，ad,,,d, ,,,,000022a,, ,a2,a212222,2d,,,a,,d,，d,(a,,),d, ,,,,0000a （在第一项中令,,sint) 3,42,1133322224aa22,,,asintdt，,a，,(a,,)，(a,,,) 00,03a24 ,14113333332,,,a(cost,cost)，,a,,a，,a,,,a. 03322 [分析三] 由题意，可将所求曲面积分分两项，分别用投影法化为两个坐标平面 的某区域上的二重积分进行计算。 1[解三] 原式=2(axdydz，(z，a))dxdy， ,,,a 1222 I,(axdydz,,2a,(y，z)dydz, 1,,,,,Dyza 222其中Dy，z,a,z,0.为平面上的半圆：利用极坐标计算，得 yozyz 12 ,a22223 I,,2d,a,,,d,,,,a,1,,,03 1122222,, (z，a))dxdy,a,a,(x，y)dxdyI,2,,,,,Dxyaa 2,a,122223,a, ,d,(2a,2aa,,,,),d,,,006a ,3222其中Dy，z,a.,I，I,,a.为平面上的圆域：因此原式 xoyxy122 [方法小结] 第二类曲面积分有多种计算方法，用曲面方程代入被积表达式化简 积分是常用的手段。另外，投影法的应用也是灵活的（祥见解二和解三），可根 据题目来选用某种投影法。 16．计算曲线积分2ydx,xdy2，，x,1，y,2，其中圆周，的方向为逆LL22,L，，2x，y 时针方向。 [分析一] 这个曲线积分若直接用参数化法求解是困难的，以下考虑用格林公式 求解。 [解一]．解：由于时，被积函数无意义，故所包围的区域不满足格林x,y,0L公式的条件，作一小圆挖去原点，，0,0，作逆时针方向的圆周l： x,rcos,，y,rsin,，0,,,2, 使l全部被所包围，在和l为边界的区域内，根据格林公式，有 LLD ,,,Q,Pydx,xdyydx,xdy,,,dxdy,, 2222,,,,,,Ll,x,y2，，x，y2x，y，，,,D1 22,Px,y,Q? ,,，故上式为零 222,y,x，，x，y 22222,,,,,ydxxdyydxxdyr,r,sincos? ,,d,2222,,,0Ll，，xyxyhr，，222，，2 2,1d,,,,,,。 ,02 [方法小结] 用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑曲线 所包围的区域是不是满足格林公式的条件，本题利用挖去一个小圆，使考虑的区 域满足条件。本题采用的挖去一个小圆的方法是常用的。 13 2222x，y,a17计算，其中为圆柱面介于和之间的部分。 xdSSz,0z,h,,S [分析一]本题是对面积的曲面积分，在直角坐标下，它化为二重积分计算，有三 个公式可考虑用于计算，其中之一为 22f(x,y,z)dS,f(x,y,z(x,y))1，z，zdxdy, (1) xy,,,,sDXY 这里D是曲面的方程，是在平面上的投影区域，且是z,z(x,y)SSz(x,y)xoyxy D上的单值可微函数。但在本题中，不能用公式(1)计算，这是因为曲面不能Sxy 写成的单值函数，且这时在平面上的投影是一条曲线（圆曲线z,z(x,y)Sxoy 22222dS,1，z，zdxdy,x，y,a），其面积为零，从而 因此本题只能考虑用另xy外两个公式计算。 [解一]利用向xozSS面投影的方法来计算，此时分曲面为两个半柱面，。由S12 于xozSSSSS与关于面对称，被积函数在与上也对称，故所求积分为在上12121 22积分的两倍，其中zoxS的方程为 在上的投影区域为y,a,x,1 ,y,y,x,,,0.D:,a,x,a,0,z,h， 于是 zx22,x,za,x ,x22222xdS,2xdS,2x1，()，0dzdx ,,,,,,22a,xSSD1ZX 22haaaxx2dzdx4ahdx ,,,,,0,a02222axax,, ,2232 x,asint4ahasintdt,,ah.,0 类似地，本题也可利用向面投影的方法来计算。 yoz 222[分析二]考虑到在圆柱面方程x，y,a中的对称性，故利用此特性求解。 x,y 22[解二]由于xdS,ydSS的方程中对称，所以，从而 x,y,,,,SS 22aa1122232,x，ydS,adS,S,,2,ah,,ah.xdS (),,,,,,2222SSS [方法小结] 对第二类曲面积分，在直角坐标下采用投影法化为二重积分计算时， 对曲面方程是有要求的，应引起充分注意。同时从[解二]看到，利用具体题目的 14 特性求解往往较简捷，对称性是常被应用的特性。 218计算曲面积分，其中是长方体的整个表面的外侧，xdydz,,,,, ,,，，. ,,x,y,z|0,x,a,0,y,b,0,z,c[分析一] 所求积分为第二类曲线积分，由于被积函数且积分区域均比较简单， 可用以下常规的投影法求解。 [解一]把有向曲面分成以下六个部分： , z,c,：()的上侧； 0,x,a,0,y,b1 ,z,0：()的下侧； 0,x,a,0,y,b2 x,a,：()的前侧； 0,y,b,0,z,c3 ,：x,0()的后侧； 0,y,b,0,z,c4 ,：()的右侧； y,b0,x,a,0,z,c5 ,：()的左侧。 y,00,y,b,0,z,c6 其中,,,,,,、、、、、在面上的投影为零，因此 yoz123456 222 xdydz,xdydz，xdydz,,,,,,,,,34 2222所以xdydz,adydz，0dydz,abc ,,,,,,,DDyzyz [分析二]由于是长方体的整个表面的外侧，易知是分片光滑的，又被积函数,, 2P,x,Q,0,R,0,在上具有一阶连续的偏导数，于是用高斯公式求解。 ,P2[解二]因P,x,2x为长方体Ω的整个表面的外侧，由高斯公式且， 原,,x abc2式,abc ,2xdv,dxdy2xdz,,,,,,000, [方法小结] 在考虑第二类曲面积分时，投影法和使用高斯公式求解都是常用的 方法。但在用高斯公式时应验证积分区域和被积函数是否满足条件，否则很容易 出错。 19 证明：对于曲线积分的估计式为 15 Pdx，Qdy,LM,,L 22式中为积分曲线段长度， 利用这个不定积分估计： M,maxP，Q.L(,)xy,L ydx,xdy I,并证明 ,limI,0.RR222,222x，y,RR,,x，xy，y() [分析一]由于所求不等式的右边是曲线段的长度和的乘积，因此可利用第LM二类曲线积分的定义以及两向量的向量积，估计不等式Pdx，Qdy,LM。对,LI，一般可利用参数进行计算。 R ,,[证一] 因为 Pdx，Qdy,F,dS,,,LL ,,,,22这里 F,(P,Q),dS,(dx,dy),F,P，Q,dS,dS.所以 Pdx，Qdy,[Pcos(t,x)，Qcos(t,y)]dS ,,LL ,{P,Q},{cos(t,x),cos(t,y)}dS,{P,Q}dS ,,LL 22 ,P，QdS,MdS,ML. ,,LL y,xP,Q,设 ,. 222222x，xy，yx，xy，y()() 22x，y22222于是x，y,R 在曲线上， P，Q,.222x，xy，y() R11422 P，Q,.,,, 33421R(1,cos,sin,)RR2(1,sin2),2 ,48,2,,,,IR因此 于是 limI,0.RR32R,,RR [分析二] 在估计曲线积分值时，结合已知的不等式常常会带来方便，以下用此 222x，yR22法估计I.[证二] 因为 P，Q,,R22424(x，xy，y)(R，xy) 2216RR,,,, 24226()R,xyx，yR24()R,2 ,168,2,,,,Pdx，Qdy,LM由不等式（见证一），易得 IRR62,LRR 16 于是 limI,0.RR,, [方法小结] 在估计第二类曲线积分值时，利用向量的计算和一些已知不等式， 往往是有效的。 222,x，y，z,1,，20 计算 其中为曲线 其方向是从I,ydx，zdy，xdz,L,，,Lxyz，，,1,,轴正向看去为逆时针方向。 y ，[分析] 为一条空间曲线，本题若采用将其方程参数化进行求解是比较麻烦的，L 以下用斯托克斯公式来计算。 [解答] 设上圆的内部区域为 法向量取向上。由斯托克斯公式： x，y，z,1S, dydzdzdxdxdy ,,, I,ydx，zdy，xdz,，,,,SL,,,xyz yzx ,,dydz，dzdx，dxdy. ,,S 111,易知n,{,},S指定侧的单位法向量为所以 cos,,cos,,cos, 3331,,, 其中,,,,,为n的方向角。由第一、二类曲面积分的联系，得 3 ydx，zdy，xdz,,3dS,3S, ，,,,LS 62,262其中S,(),,,R,,,S为圆S的面积。易知S的半径 从而 ,3332cos6 23,因此 ydxzdyxdz,.，，, ，,L3 [方法小结] 在计算空间曲线积分时，将其方程参数化后进行求解是一种基本方 法，但一般来说，计算比较麻烦。而用斯托克斯公式来计算往往较简捷，但应注 意斯托克斯公式关于符号的规定。 21(2003年高数一) 17 已知平面区域为的正向边界，试证 D,{(x,y)0,x,,,0,y,,},LD siny,sinx,sinysinx. xedy,yedx,xedy,yedx,,LL [分析一] 等式的两边均为第二类曲线积分，可分别对两边直接积分，比较积分 值，得结果。 ,0[证一] 左边y,xsinsin,,edy,,edx ,,,0 ,sinx,sinx ,,(e，e)dx, ,0 ,0,sinysinx右边,,edy,,edx ,,,0 ,sinx,sinx ,,(e，e)dx, ,0 于是 siny,sinx,sinysinx. xedy,yedx,xedy,yedx,,LL [分析二] 对于第二类曲线积分，常考虑用格林公式转化为二重积分求解，由于 被积函数在全平面上都有连续的偏导数，故可利用格林公式进行求证。 [证二]由格林公式， siny,sinxsiny,sinxxedy,yedx,(e，e)d,,,,,LD ,sinysinx,sinysinx xedy,yedx,(e，e)d,,,,,LD siny,sinx,sinysinx由于关于对称，故 (e，e)d,,(e，e)d,,y,xD,,,,DD于是 siny,sinx,sinysinx. xedy,yedx,xedy,yedx,,LL 22(1993年高数一、二) x设曲线积分(f(x),e)sinydx,f(x)cosydyf(x)与路径无关，其中具有一,L 阶连续导数，且___________f(0),0.f(x)则等于. x,x,xxx,xx,xe，ee,ee,ee，e,,,,1,（A） （B） （C） （D）. 12222[] (B) [分析] 本题的关键在于由条件“曲线积分与路径无关”导出f(x)所满足的微分方 18 程, 由此求出求的表达式。 f(x) x[解答] 设P(x,y),(f(x),e)siny, 由于Q(x,y),,f(x)cosy, 在全平面上具有连续的偏导数，曲线积分与路径无关，因此 P(x,y),Q(x,y) ,Q,P ,,,x,y 即满足方程 f(x) x,f(x)，f(x),e,0, （1） x,xe,e由初始条件fx,().，得（1）的特解 f(0),02 23(2000年高数一) 2222设________S:x，y，z,a(z,0),S为S在第一卦限中的部分，则有. 1 （A） （B）， xds,4xds,yds,4yds,,,,,,,,SSSS11 （C）， （D）. zds,4xdsxyzds,4xyzds,,,,,,,,SSSS11[答案] (C) [分析一] 本题可采用排除法进行判别。由于(A), (B)两个式子在形式上只是将x xSS换成了由和的表达式知，的地位完全相当，因此(A), (B)两式或全对y,y1 或全错，由于这里只有一个对的答案，故(A), (B) 全错。又(D)式左端的被积函数在区域SS上的符号不同，因此积分值应有所抵消，而右端的被积函数在上非1 负，故(D)式左端的值不可能是在第一象限上积分的四倍，即(D)不可能成立。由 此只能选择(C)。 [分析二] 本题也可通过计算进行选择，但这样比较烦琐。 24(1989年高数一、二)设平面曲线2为下半圆周 则曲线积分 y,,1,x,L 22（x，y)dL,___________. ,L [分析一]只要准确地写出曲线的参数方程，即可求出该积分。 L [解一] 的参数方程为 L x,cos,,, ,y,,,,,sin,,[,2],, 22故,, dL,x(,)，y(,)d,,d,, 19 因此 2,22（x，y)dL,d,,,. ,,L0 22x，y,1,[分析二]本题若注意到在上变化时满足 则立即可得结果。 (x,y)L 22[解二] （x，y)dL,dL,L,,.,,LL 25(2005年高数一) 22222设是由锥面与半球面围绕的空间区域，z,x，yz,R,x,y,, 是的整个边界的外侧，则 ____________.xdydz，ydzdx，zdxdy,,,,, 13[答案] 2,R(1,). 2 [分析一] 对第二类曲面积分，用高斯公式求解往往较为简捷，由于易知本题的 积分区域以及被积函数满足用高斯公式求解的条件，于是首先考虑采用高斯公式 求解。 [解一]因为是的整个边界的外侧，根据高斯公式可得： ,, xdydz，ydzdx，zdxdy,,, ,3dxdydz,3dv,,,,,,,,, 22222令可得交线在平面上的投影区域为：x，y,R,x,y,xoy 2R22x，y,, 于是 2 R2,22 2 dv,d,(R,,,,),d,,,,,,00, R31122322 ,,2[,R(,,),,] 033 113 ,,2,R(1,), 32 13xdydz，ydzdx，zdxdy,2,R(1,).故 ,,2, [分析二] 计算第二类曲面积分，在直角坐标下采用投影法化为二重积分进行计 算是常用的基本方法，本题也可用此法计算，但计算量比较大。（解略） 20 26(1996年高数一、二) 22计算曲面积分z,x，y其中是有向曲面 (2x，z)dydz，zdxdy,S,,S 其法向量与轴正向的夹角为锐角。 z(0,z,1), [分析一]由于被积函数在空间任意光滑封闭曲面所围区域上满足高斯公式条件， 故采用添加有向曲面，利用高斯公式计算。这里应注意在高斯公式中，曲面积分 是沿着封闭曲面外侧进行的，因此本题沿着封闭曲面内侧的积分应加负号。 [解一] 记22S为法向量指向轴的负向的有向平面(x，y,1)，为S在zz,1D11 平面上的投影区域，则 xoy (2x，z)dydz，zdxdy,,dxdy,,,.,,,,SD 设为S，S所围成的空间区域，则由高斯公式知 ,1 (2x，z)dydz，zdxdy,,3dv ,,,,,S，,S1 2,11133,,3d,rdrdz,,6,(r,r)dr,,,. 2,,,,00r02 31因此原式,,,,(,,),,,. 22 [分析二] 对此第二类曲面积分，可用“一投、二代、三投影”步骤求解。应注 意按照投影法确定符号。 [解二]设D,D 为S在平面上的投影区域，则 yoz,xoyyzxy 2(2x，z)dydz，zdxdy,(2z,y，z)(,dydz) ,,,,SDyz 222，(,2z,y，z)dydz，(x，y)dxdy ,,,,DDyzxy 222,,4z,ydydz，(x，y)dxdy, ,,,,DDyzxy 211142223其中z,ydydz,dyz,ydz,(1,y)dy, 2,,,,,,1y03Dyz ,,,443142,costdt,,,,,.y,sint,令则上式 ,0334224 21 2,1,222又 ,(x，y)dxdy,dr,rdr,,,,,,002Dxy ,,,所以(x2，zdydz)，zdxdy,,4,，,,. ,,422S 27(2003年高数一) 设函数在内具有一阶连续偏导数，是上半平面内的f(x)(,,,，,)(y,0)L 12有向分段光滑曲线，起点为 终点为 记 I,[1，yf(xy)]dx，(a,b),(c,d),,Lyx2 [yf(xy),1]dy,2y （1） 证明曲线积分与路径无关； I （2） 当时，求的值。 ab,cdI [分析一] 由题设，第一问可利用平面上曲线积分与路径无关的充要条件给予证 明。在第一问的基础上，通过求原函数，并求原函数的改变量，求得的值。 I 1x22[解一] （1）记，，则 P(x,y),[1，yf(xy)]Q(x,y),[yf(xy),1]2yy ,Q,x1,，,(xf(xy),),f(xy)，xyf(xy),22,x,xyy ,P,11,,(，yf(xy)),,，f(xy)，xyf(xy)， 2,y,yyy ,Q,Q,P,P于是,C,,C,,P(x,y),Q(x,y)满足：在y,0时，且 所以曲线积,x,y,x,y分与路径无关。 IL (2) 曲线积分与路径无关，故存在原函数u(x,y)du,Pdx，Qdy,使得且： xyxy1u(x,y),P(x,y)dx，Q(0,y)dy,(，yf(xy))dx，0dy ,,,,0101y xx,，yf(x,y)dx, ,0y 由于,f(x,y)F(x)F(x),f(x),连续，所以存在，使得 于是 xxyyf(xy)dxxy,uf(u)du,F(xy),F(0), ,,00 所以原函数u(x,y)为 22 x u(x,y),，F(xy),F(0)，C.y x取 得 于是 u(x,y),，C,F(0),F(xy),y (c,d)x(c,d) I,u(x,y),(，F(xy))(a,b)(a,b)y caca,,，F(cd),F(ab),,. dbdb[分析二] 在第一问的基础上，第二问的值，可通过如下取积分路径为折线路径，I 分段化为定积分求得。 [解二] （2）由于曲线积分与路径无关，取为从到的折线段，于是 (a,b)(c,d)L (c,b)(c,d) P(x,b)dx，Q(c,y)dyI,,,(a,b)(c,b) cd1c,(，bf(xb))dx，(cf(xy),)dy ,,2abby cbcdc,acc,，，，,f(t)dtf(t)dt ,,abbcbdb cdcaca,f(t)dt，,,,. ,abdbdb 28(2004年高数一) 计算曲面积分332其中是曲面2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,,,,, 22z,1,x,y(z,0)的上侧。 [分析] 对于第二类曲面积分，利用构造封闭曲面，再应用高斯公式将原式转化 为三重积分进行计算是常用的方法，但选择怎样的封闭曲面以及在怎样的坐标系 下计算三重积分都是需要根据题意做选择的。本题利用添加平面上的一个圆xoy 形区域构造封闭曲面，并在柱面坐标系下，较简捷地得到了所求的值。 22[解答] 设x，y,1,,为平面上被圆所围部分的下侧，记为由和围成xoy,,11 的空间闭区域，则 332 原式 ,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,,,，,1 332 ,2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy. ,,,1 23 332由高斯公式知 2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,,,，,1 22 ,6(x，y，z)dxdydz,,,, 22,,11,2,6,d,d(z，,),dz ,,,000 112232 ,12,[,(1,,)，,(1,,)]d,,02 ,2,. 332而 2xdydz，2ydzdx，3(z,1)dxdy,,,1 ,,(,3)dxdy22,,x，y,1 ,3,. 因此，原式= 2,,3,,,,. 29(1999年高数一) 22xy2设,，，z,1为椭球面的上半部分，点，为在点SP(x,y,z),SSP22 z处的切平面，为点到平面的距离，求ds. ,(x,y,z)O(0,0,0),,S(x,y,z), [分析] 本题为综合题。应首先求出切平面方程再求相应的第一类曲面积分，这 一点由题意不难看出。选择简便的方法求出切平面方程和曲面积分是应引起充分 注意的。以下采用公式法，直接求出切平面方程，根据积分区域和被积函数的特 性，利用极坐标教简捷地求得了结果。 [解答] 先写出切平面方程，设,,(X,Y,Z)为上任意一点，则平面的方程为 xXyY，，zZ,1, 22 再由点到平面的距离公式，得 122,xy2 2,(x,y,z),(，，z). 44 22xy由 z,,， 1(),22有 24 ,z,y,z,x ,,,,2222,x,yxyxy21,(，)21,(，)2222 224,x,y,z,z22于是 dS,1，()，()d,,d,.22,x,yxy21,(，)22 积分区域是在平面的投影 Sxoy 22,x，y,2,D: ,z,0,, 用极坐标,得 2,z113222 ds,(4,x,y)d,,d,(4,r)rdr,,.,,,,,,SD00,(x,y,z)442 30(2005年高数一) 设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，,(y)L ,(y)dx，2xydy曲线积分的值恒为常数。 ,24L2x，y （1） 对右半平面x,0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 ydxxydy()，2,,0； ,24Lxy2， （2） 求函数,(y)的表达式。 [分析] 本题是一道综合题。从已知条件和问题(1)，易考虑使用格林公式求解。 在本题的证明和求解过程中，从不同的思维角度切入，多次应用了格林公式。格 林公式在应用上的灵活性，是值得关注的。 ,[证明]（1）由题设可知曲线积分(y)dx，2xydy与路径无关。令 ,24L2x，y ,()y2xy, ， P,Q,24242x，y2x，y 则 ,Q,P,. ,x,Y 对右半平面x,0CP,Q内的任意分段光滑简单闭曲线，函数及它们的一阶偏导数在C所围成的区域内连续，则应用格林公式，可得 D 25 (y)dx，2xydy,Q,,P ,(,)dxdy,0.,,,24LD,x,Y2x，y 42243,,,2(2)()(2)()4,Qyy,xyx，y,yy,P （2） ,,,,242242,x,Y(2)(2)x，yx，y,Q,P24由2x，y,0),（ 得 ,,x,Y 34242(2)yyy,x, ,(),(),y,y,242422x，yx，y所以有 3344yy42,dydy,,2424y,2x2，2，xyxy,(y),[2yedy，C(x)]e ,242xy， 22yy1221242,{arctan,[xy，arctan，C(x)]，C(x)},(y，2x)142x22(y，2x)2x2x2x 22y24 ,[,，C(x)，C(x)](2x，y)12242(2x，y) 224,,y，C(x)(2x，y). 因为x中不含，所以于是 ,(y)C(x),0, 2,(y),,y. 26