正三棱锥与正四面体的计算

正三棱锥与正四面体的计算 正三棱锥与正四面体有关计算 一、定义 正三棱锥—底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正三棱锥不等同于正四面体—正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。 二、性质 1、底面是等边三角形。 2、侧面是三个全等的等腰三角形。 3、顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心)。大用处的四个 4、(1)斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形;(含侧棱与底边夹角) (2)高、斜高、斜高射影构成的直角三角形;(含侧面与底面夹角) (3)高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形;(含侧棱与底面夹角) (4)斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。 三、数据计算 V 对于棱长为a的正四面体V-ABC 1、 异面直线有几对, :3对 VA-BC VB-AC VC-AB 2、 表面积 C A O 1E .SABEC?ABCB 2 ABa, 23a,,2ECaa,,, ,,22,, 1332Saaa,,.?ABC224 32244=3SSaa,，,，?ABC侧面积4 3、 求CO 三角心重心的性质 首先要明白三角形重心的定义:三角形三边中线的交点。 其性质:重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。即图中CO:OE=2:1 233那么CO的距离为: COaa,，,323 4、求VO 顶点在底面的射影是底面三角形的中心(也是重心、垂心、外心、内心) 也就是求点V到地面ABC的距离，即VO的长 因为VO垂直底面ABC，所以VO垂直CO。即?COC为直角?。 2,,312236，22222 VOaaaaaaa,,,,,()==分母有理化,,,,333333，,, 5、 求三棱锥的体积 椎体的体积在本章中的1.3节。其体积公式要熟练掌握。体积符号为V。 1VSh,，， 公式说明: 底面积3 底面积在图中就是?ABC的面积。高h即为顶点V到底面ABC的距离。根据4，即为VO 1136322233的距离。 VShaaaa,，，，，===底面积33433612 6、 求斜线与底面所成角 因为VO为底面垂线段，VC为斜线，O为垂足，C为斜足。CO为射影。 根据定义，角VCO即为所求的角。 3a3临边3cos==,,a3斜边 6a6对边3sin=== ,a3斜边 6a对边3tan===2,3临边a3 7、 斜高 就是侧面三角形的高，如图所示，为VE的长。 3 VEECa,,2 8、面与面所成角 简单点说，就是两个平面所成的角，其范围为[0?,180?]. 面这里就要讲到线线角，两条直线所成角，其范围[0?,90?]. 线线角，直线与平面所成角， 其范围[0?,90?]. 平面VAB与平面ABC所成的角怎么计算, 首先找到公共棱AB，并在两个平面中找到两天直线垂直公共棱，其中要注意这两天直线 必须垂直。根据我们以上所讲的，二面角即为角VEC。 在RT?VEO中各边的边长如下计算: 2,,312236，22222VOaaaaaaa,,,,,()==分母有理化,,,,333333，,, 3 VEECa,,2 333EOCECOaaa,,,,,236 3a1临边6cos==,,33斜边a2 6a22对边3sin=== ,33斜边a2 6a对边3tan===22,3临边a6 寄语:在正四面体中还有一类比较重要的，如正四面体内切圆和外接圆的半径的计 算，种种原因，在这里不再赘述。