一种实时精确的正弦波频率估计算法

一种实时精确的正弦波频率估计算法 数据采集与处理V o l. 24 N o. 2 第24卷第2期 M a r. 2009 2009 年 3 月Jo u rna l o f D a ta A cqu isit io n & P ro ce ssing () 文章编号: 100429037 20090220208204 一种实时精确的正弦波频率估计算法 王宏伟赵国庆齐飞林 () 西安电子科技大学 204 教研室, 西安, 710071 摘要: 针对算法在被估计频率接近量化频率时的估计精度较差的特点, 结合频谱细化技术构造了补充 R ife R ife算法。 考虑到算法和补充算法性能互补的优点, 提出了一种综合算法。 仿真结果表明, 在低信噪比 R ife R ife () 下, 该综合算法不仅具有较高的估计精度, 而且在整个频段上性能稳定。同时该综合算法只需一次 SN R F F T 及两点计算, 计算量小, 易于硬件实现。D F T 关键词: 正弦信号; 频率估计; 频谱细化 中图分类号: 971. 6 文献标识码: TN A - Rea lT im e an d A ccura te S in g le Frequen cy E st im a t ion A pproa ch , , W a n g H on gw e iZ h a o G u oq in g Q i F e il in () 204 , , ′, 710071, R e sea rch In st itu teX id ian U n ive r sityX ian C h ina A bstra c t: A com p le ted R ife a lgo r ithm b a sed o n sp ec t rum su b d iv isio n tech no lo gy is p ropo sed b ecau se R ife a lgo r ithm h a s a g rea t dev ia t io n fo r th e t ru th f requ en cy n ea r th e d isc re te f requ en2 . cyT h e R ife a lgo r ithm an d th e com p le ted R ife a lgo r ithm a re com p lem en ta l o n th e p e rfo r2 , . m an ceso a syn th e sized a lgo r ithm is o b ta in edS im u la t io n re su lt s in d ica te th a t th e syn th e sized a lgo r ithm h a s th e goo d e st im a t io n p rec isio n an d th e goo d stab ility in a ll f requ en cy dom a in s o n . , , low SN RM o reo ve rth e a lgo r ithm o n ly n eed s o n ce F F T an d tw o po in t D F T th u s b e in g ea sily .im p lem en ted b y th e h a rdw a re : ; ; Key word ssin u so ida l sign a lf requ en cy e st im a t io nsp ec t rum su b d iv isio n 附近时误差可能比还大。文献3 25 为法 D F T R ife 的改进算法, 但低信噪比条件下效果不明显。 针对 算法在被估计频率接近量化频率时的估计精 言引R ife 度较差问, 本文构造了一种补充算法。考虑 R ife 在雷达和通信等领域, 关于正弦信号频率估计 到算法和细化补充算法性能上互补的优 R ife R ife () 的文章很多, 文献1 利用最大似然估计 算 M L 点, 得到了一种综合算法。综合算法需一次及 F F T 法或改进算法估计正弦信号频率, 估计误差逼两点计算, 计算量小, 然而估计误差却比直接 M L D F T 法小得多, 而且所有的频率区域性能稳定, 对 D F T () 近克拉美-罗限 , 因此是最优估计, 但这 CRL B 低信噪比敏感问题也得到改善。 些算法复杂、计算量大, 难以实时处理而限制了进 一步应用。 采用直接谱估计法进行正弦波信号频率 D F T ( ) 估计, 计算量小 借助 工程上得到了广泛应 , F F T 1 正弦信号的系数及频谱细化 D FT 用, 但算法精度在很大程度上依赖于采样长 D F T 度。 为了得到较高的估计精度和较快的执行效 N 设正弦信号为 率, 人们对基于 的估计算法进行了改进, 如 F F T ) (i 2Πf n?T + <2 00() () n = 1 g a e, 0 ? n ?N- 1 法。法在被估计频率位于两相邻量化频 R ife R ife 率之间的中心区域时精度很高, 但位于量化频率点 式中: , , 分别表示信号的振幅、频率、初相;a f 0 <0 为采样间隔; 为样本数。 其离散时间的傅里? T N 基金项目:“十一五”武器装备预研基金资助项目。 收稿日期: 2007209225; 修订日期: 2008204210 () () 叶变换 和离散傅里叶变换 分别为 的估计性能非常好, 但信噪比较低且 十分靠近 D T F T D F T f 0 N - 1 ,, 最大谱线f sk 0 N 时, 算法精度降低。假如f sk 0 N ?ƒƒi Ξ - i Ξn () () G e= g n e= ?( ) n= 0 f 0 < f s k 0 + 1 N , 在没有噪声的情况下应该有ƒN - 1 ,? , 但由于噪声的影响, 可能出现|| ||X k - 1 X k + 1 i (2Πf n? t+ <) - i Ξn0000()2 a e e ?|| > || 的误判情况, 若此时仍然用n= 0 X k - 1 X k + 1 R ife 00N - 1 2Π k n - i^ N () =G k = g n e ? ()< ƒ s 0 ?法, 那么估计频率被认为位于 0 - 1k f N f n= 0 N - 1 , 显然造成的误差比仅用的粗略估计 ƒk 0 f s N D F T 2Π i (2Πf n?T + <) - ik n 00N () ()a e ek = - 13 0, 1, , N ?还要大。 n= 0 ,为了减小噪声引起的误判现象, 可利用频谱细 () 式2中 Ξ为连续角频率。 (() ) 化技术 式3求取。 由于的幅度相X k ?015X k ?015 0 0 () 由D T F T 和D F T 可见, 若式 3中k 取0, N - 比的幅度较大, 那么噪声对的影响比对X k ?1 X k ?015 0 1 上的任意连续实数值, 则可以取到任意连 D F T X k ?1 要小得多。 本文提出利用 X k ?015 的代替|| 0续频率的信息。正弦信号的频率对应于连续频谱的 , () || 对式 4改进为X k ?1 0最大值。 频谱归一化后相邻谱线间隔 ? Ξ= 2ΠN ,ƒ ^ X ||,k - 1 f s0f = k - , r0 0 频谱的主瓣宽度为4ΠƒN 。当信号频率2Πf 0 不是? Ξ |X | + |X |N k k - 1 00 的整数倍时, 经 变换后, 频谱主瓣中存在两个 F F T ()< X | |||X k + 015 k - 015 0 0 采样点, 而且峰值点必位于这两个采样点之间, 使 ^ f s())6 (f 0 = r k 0 , |X k + 015 | =|X k - 015 | ( 用在这两点之间进行局部频谱分析 插值分 D F T 00N 6 ) 析, 称之为频谱细化, 可以得到十分精确的频率^ |X |k + 1 f 0s f = k + , r估计值, 但由于插值多, 计算量大, 成为实际应用中 0 0 X + X || ||k + 1 N k 0 0的阻碍。 () X k + 015 >X k - 015 || ||0 0 () 2 双线幅度法 法及改进 R if e ()3 细化补充 法 三线幅度法 R if e () 若是{} 经 变换后功率谱的最大 G k g n F F T 0 2 值, 法给出的频率估计公式为R ife 法在靠近最大谱线ƒ时性能估计 R ife f 0 f sk 0 N Α G k + Α, 原因是由于噪声的影响使修正因子X k + Α r||下降||ƒ ^ f s00 ()f = r k + 4 0 0 |G | + |G |k + Αk N ( ) || + | |00 偏大, 欲减小修正因子, 可采取X k + ΑX k 00 减小分子和增大分母的办法。本文基于上述思想并式中: = ?1, | | > | | 时, = 1, 否则 =ΑG k + 1 G k + 1 ΑΑ 00法, 如式结 合频谱细化技术构造出一种补充R ife - 1; f s 为采样频率; k 0 为功率谱最大值对应的量 () 7所示。 G ||k + Α 0化频率, 为整数。修正因子0?? k 0 ^ + G ||G|| k f k + Αs 00f = r 0 N 1ƒ2。 根据功率谱的对称性特点, 被估计频率 介 f 0 |X | - |X |k + 015 k - 015 001 ()k + 7 0 于ƒ k + Α ƒ k 0 f s N与之间。0 f s N |X | + |X | + |X |k - 015 k k + 015 2 0 0 0 () 法利用了 的两根谱线, 因此也称双 R ife g n ( ) 7算法利用了三根谱线, 可称为三线幅度式 线幅度法, 它是在没有噪声的情况下推导出来的。 法。当被估计频率十分接近时, 根据频谱ƒf 0 f sk 0 N ^ 当存在噪声时, 接收信号为 对称性, | | 与| | 相差较小, 这时充X k - 015 X k + 015 f 0 00() () ()()x n = g n + 5 v n ^ 分接近 f sk 0 N , 即使在信噪比较低的情况下, f 0 的 ƒ( ) 因此 的系数由两部分组成: = x n D F T X k () 估计性能依然良好。 但当接近 ?015ƒ处 f s k 0 N + , 其中是噪声序列的系数, 对于有 G k V k V k D F T 时, 与 相差较大, 与 相近, 修||||||X k - 015 X k + 015 X k 0 0 0 限长的采样序列它是随机变量。 ( 正 因 子 | | | - | | | ƒ| | +X k + 015 X k - 015 X k - 015 0 0 0 在适度的信噪比条件下, 当 f 0 位于最大谱线 ) X k + X k + 015 < 015, 估计误差较大。|||| 0 0() ƒ和次大谱线 + ƒ中间时, 法 f sk 0 N f s k 0 ΑN R ife 数据采集与 处理 第 24 卷210 512 计算机仿真及性能分析 4 综合算法 2 2信噪比定义为ƒ。对复正弦波信号, = SN R A Ρ由上面分析看出, 法和补充 法各有 R ife R ife 在相位、幅度和频率三个参数均未知的情况下, 频 利弊, 但在不同频段性能互补。 于是可以通过智能 2率估计方差的为CRL B 化判断, 在不同频段采用不同的估计算法, 使估计 ? 的整体性能提高。 算法如下: 2 2 2 2 () ()va r{Ξ} = 12Ρ ƒ[A ? T N -1] 8 N - 6 仿真时采样间隔 =1 ×10采样点数 , ? T s ( )1 () 对序列{} 进行 分析, 搜索频谱 x n F F T () = 4 096, 频率分辨率 = 1ƒ?= 244126N ? f N ? T 最大值 点; ||X k 0 3 , 估计的平均误差为 ƒ4 = 61106 ,H zD F T ? f H z ( )( ( ) 2 频谱细化 将 ?0. k 0 5 代入式 3 得到3 均方根误差为 ƒ2? f 3 = 70151 。 H zX k ?015 , 取二 者 中 的 较 大 值 为 T m ax , 较 小 值 为|| 0为的某个量化频率, 现取= 300? 设f 1 D F T f 1 , 设= ƒ;T m in T T m ax T m in ƒ= 73 242 , 而实际频率 位于 [ , +f s N H zf 0 f 1 f 1 ( ) 3比较与阈值大小。当> 时, 采用 T T h T T h ( ( ) ) 2 之间。如果从到+ 2 取11 个离散的 ƒƒ法 式 6进行频率估计; 当 ?时, 按细 ? f f 1 f 1 ? f R ife T T h (() ) 化补充法式7进行频率估计;R ife ) ( 频率 = + ?20, = 0, 1,ƒ, 10 , 对频率f i f 1 ? f ii 阈值由实验确定, 经验值为115。仿真时阈 T h 为的正弦波按法、2法及综合算法进 f i R ife M R ife 行500 次2试验。图1 给出了= 73 243值 可以在合适的范围内步进搜索, 使均方根误M en to C a ro f T h 被测频率接近量化频率时, 三种算法在不同信 H z ( 本文为-9, 9差曲线在一定的信噪比变化范围内 噪比下的方差与比较效果图。表224 列出了CRL B ) 比较平滑。dB 0, 2, 4, 6, 8, 10 六个离散频率点上频率估计的i = ()()方差 、平均绝对误差 、均方根误差 V A R M A E 5 计算量及性能分析() 等数据。RM SE 计算量分析 511 综合算法除需要作一次N 点 外, 还要将 F F T () ?015 代入式 3作两点。作一次点 k 0 D F TN F F T N N 需要2 ?2 次复数乘法和?2 次复数加 ƒN lo gN lo g () 法, 两点需2次复数乘法和2 - 1次复数 D F T N N 加法。 各种算法计算量的比较, 如表 1。 表 1 各种算法计算量比较 算法复数乘法次数复数加法次数 N N2 ] ? 2? N lo g2ƒ2 法 N lo gR ife NN 综合算法 () ?2 + 2 - 1 ƒ2?+ 2N lo g 2 N N lo gN图1 三种算法在不同信噪比下的方差与比较图 4 ]CRL B 法M - R ife 4 N N 2?+ 2N ?lo g+ Nƒ N lo g2 N2 () 一次修正 3 比较图 1 及表 224 的数据, 可以看出综合算法 N ?+ 2 N lo g4 ]N 2 法 ƒ2?+ M - R ife N lo g具有良好的频率估计精度和在所有的频率区域上 4 () () ()两次修正21+ N 1+ p N p 2 2 3 性能稳定。 N N ?+N lo g () 表 2 仿真结果 1 = 0 , = 1. 49 , = 4 096SNRdBCRL BHzN 一次牛顿ƒ2?+ 2 2 N lo g 5 ] )迭代法3+ 1(5 ]1 N 2 - N 被测频 综合算法法 法 R ife M - R ife N N 两次牛顿 2?+ ?2 + ƒ2 N lo gN lo g 率ƒH z V A R M A E RM SEV A R M A E RM SEV A R M A E RM SE5 ])(6+ 21 迭代法 4 - N N 73 242 2. 99 3. 68 1. 52 2. 13 3. 29 1. 48 1. 89 2. 98 1. 38 N N 2?+ ?+ ƒ2 2 二分插值频 N lo gN lo g9. 44 14. 89 14. 35 2. 01 3. 25 73 267 1. 87 1. 95 3. 08 1. 72 MM6 ]ƒ2? ? 谱细化法 M lo g2 M lo g2 73 291 2. 77 4. 36 3. 68 1. 99 4. 2 3. 43 1. 59 2. 53 1. 52 73 315 1. 72 3. 20 2. 44 1. 70 3. 13 2. 28 1. 63 2. 81 1. 93 73 340 1. 68 2. 76 1. 46 1. 68 2. 76 1. 46 1. 68 2. 76 1. 46 表 1 中, 由于< 015,法计算量较小, p 2 M - R ife 1. 54 2. 50 73 364 1. 25 1. 54 2. 50 1. 25 1. 54 2. 50 1. 25 为二分插值频谱细化法的插入点数, 计算量最 M 4. 12 1. 87 3. 19 1. 96 1. 71 2. 77 1. 54 平均值 3. 36 5. 23大, 综合算法计算量接近2法。M R ife ( 表 3 仿 真 结 果 2 = - 5 dB, CRL B = 2. 64 Hz, SNR 实时性, 而且具有良好的频率估计精度并且在所有 )= 4 096的频率区域上性能稳定性。 该算法易于硬件实现, N 5 ]能对信号进行实时处理, 已经成功地应用在某型号 被测频综合算法法 法 R ife M - R ife 装备中。 率ƒH z V A R M A E RM SEV A R M A E RM SEV A R M A E RM SE 73 242 3. 53 5. 50 1. 91 3. 69 5. 81 1. 93 3. 11 4. 92 1. 76 参考文献: 73 267 10. 3219. 72 18. 08 3. 81 6. 39 3. 73 3. 36 5. 32 2. 99 73 291 10. 8212. 27 10. 53 4. 01 7. 66 5. 76 3. 38 5. 31 2. 65 . 1 A ba tzo g lo u T JA fa st m ax im um lik e lihoo d a lgo 2 73 315 4. 24 6. 13 4. 74 3. 06 5. 89 4. 38 2. 81 4. 94 2. 83 r ithm fo r th e f requency e st im a t io n o f a sinu so id 2. 32 2. 77 4. 55 2. 28 73 340 2. 87 4. 67 2. 32 2. 87 4. 67 [. ,ba sed o n N ew to n m e tho d s J IE E E T ran s A SSP 1. 67 2. 77 4. 41 1. 67 73 364 2. 77 4. 41 1. 67 2. 77 4. 41 () 1985, 33 1: 77289. 6. 54 3. 37 5. 81 3. 3 3. 02 4. 91 2. 46 平均值 5. 76 8. 78, . 22 R ife D C Boo r styn R RS ing leto ne p a ram e te r e st i2 2[ . m a t io n f rom d isc re tet im e o b se rva t io n J IE E E ( 表 4 仿 真 结 果 3 = - 10 , = 4. 70 , SNR dBCRL B Hz() , 1974, 20 5: 5912598.T ran s Info rm T h eo ry )= 4 096N 电子3 刘渝. 快速高精度正弦波频率估计综合算法[. 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( ) 作者简介: 王宏伟 19722, 男, 博士研究生, 研究方向: 信号 6 结束语处理、电子信息对抗, 2: @ 163. ; E m a ilxdw angho ngw e icom ( ) 赵国庆 19532, 男, 教授, 博士生导师, 研究方向: 电子对 本文结合频谱细化技术构造了补充算法, R ife ( ) 抗、信号处理等; 齐飞林 19762, 男, 博士研究生, 研究方 并针对算法和补充算法性能互补的特点, R ife R ife 向: 信号处理。 提出了一种综合算法。该综合算法不仅具有良好的