曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 班级 姓名 学号 第十章 曲线积分与曲面积分 1、计算下列对弧长的曲线积分: n22(1)，其中L为圆周. x,acost,y,asint (0,t,2,)(x，y)ds,L n，1: 2,a (2)，其中L为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段. (x，y)ds,L 答案:2 2y,x(3)，其中L为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界. xdsy,x,L 1，，55，62,1答案: 12 1 班级 姓名 学号 22x，y222x，y,ax(4)eds，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内y,x,L 所围成的扇形的整个边界. ,,,ae2，a,2答案: ,,4,, 2(5)，其中为折线ABCD，这里A、B、C、D依次为点A(0，0，0)、xyzds,,, B(0，0，2)、C(1，0，2)、D(1，3，2). 答案:9 2 班级 姓名 学号 2(7)，其中L为摆线一拱. x,a(t,sint),y,a(1,cost) (0,t,2,)yds,L 2563答案: a15 3、计算下列对坐标的曲线积分: 222y,x(1) ，其中L是抛物线上从点(0，0)到(2，4)的一段(x,y)dx,L 弧. 56,答案: 15 222(x,a)，y,a (a,0)(2) xydx，其中L为圆周及x轴所围成的区域在,L 第一象限内的整个边界(按逆时针方向绕行). 13,,a答案: 2 3 班级 姓名 学号 ,(3) ，其中L为圆周x,Rcost,y,Rsint上对应从0到的ydx，xdyt,L2 一段弧。 答案:0 2(4) ，其中为曲线x,k,,y,acos,,z,asin,上对xdx，zdy,ydz,,, ,应从0到的一段弧. , 33,k2,a,答案: 3 4 班级 姓名 学号 (5) ,其中为有向闭折线ABCA，这里的A，B，C依次为点 dx,dy，ydz,,, A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1). 256答案: ,15 (x,y,z)(x,y,z)、设z轴与重力方向一致，求质量为m的质点从位置沿直线到4111222 时重力所作的功。 ，，mgz,z答案: 2 5、把对坐标的曲线积分P(x,y)dx，Q(x,y)dy化为对弧长的曲线积分，其中L为,L 2y,x沿抛物线从点(0，0)到点(1，1)。 5 班级 姓名 学号 2222y,xy,x6、计算曲线积分，其中L是由抛物线和(2xy,x)dx，(x，y)dy,L 所围成的区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。 1 答案:30 7、 用曲线积分求下列曲线所围成的图形的面积: 33x,acost,y,asint(1)星形线; 32答案:, a8 22yx，,1 (2)椭圆 . 22ab 答案: 12, 6 班级 姓名 学号 8、 利用格林公式，计算下列曲线积分: (1)，其中L为三顶点分别为(0，0)、(3，(2x,y，4)dx，(5x，3y,6)dy,L 0)和(3，2)的三角形的正向边界. 答案:12 xx222(2)，其中L为正向(xycosx，2xysinx,ye)dx，(xsinx,2ye)dy,L 222 333x，y,a (a,0)星形线.. 答案:0 222(x,y)dx,(x，siny)dy(3)，其中L是在圆周上由点 y,2x,x,L (0，0)到点(1，1)的一段弧. 7 班级 姓名 学号 sin27答案: ,46 9、下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值: (2,3)(x，y)dx，(x,y)dy(1). ,(1,1) 5答案: 2 (2,1)423(2xy,y，3)dx，(x,4xy)dy(2). ,(1,0) 答案:5 8 班级 姓名 学号 、下列在整个xoy平面内是某一函数的全微分，并10P(x,y)dx，Q(x,y)dyu(x,y)求这样的一个: u(x,y) 22xydx，xdy(1); 2xy答案: (2)4sinxsin3ycosxdx,3cos3ycos2xdy. 答案:,cos2xsin3y k F,,(xi，yj)11、设在半平面内有力构成力场，其中k为常数，x,03r 22r,x，y, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。 9 班级 姓名 学号 222212、计算，其中是锥面及平面所围成的区域的z,x，y(x，y)dS,z,1,,, 整个边界曲面. 1，2,答案: 2 13、 计算下列对面积的曲面积分: yxz4，，,1(1)，其中为平面在第一卦限中的部分; ,(z，2x，y)dS,,3234, 461答案: 10 班级 姓名 学号 2222x，y,2ax(2)，其中为锥面被柱面所z,x，y(xy，yz，zx)dS,,,, 截得的有限部分。 644答案: 2a15 12214、 求抛物面壳z,(x，y) (0,z,1)的质量，此壳的面密度的大小为2 . ,,z 25a答案:, 15 15、计算下列对坐标的曲面积分: 222222x，y，z,R(1)，其中是球面的下半部分的下侧; xyzdxdy,,,, 25,答案:R 105 11 班级 姓名 学号 22x，y,1(2)，其中是柱面被平面及zdxdy，xdydz，ydzdx,z,0z,3,,, 所截得的在第一卦限内的部分的前侧; 3答案: ,2 x,0,y,0,x，y，z,1(3)，其中是平面所xzdxdy，xydydz，yzdzdx,,,, 围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。 1答案: 8 P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy16、把对坐标的曲面积分化成对,, 12 班级 姓名 学号 面积的曲面积分，其中是: , 3x，2y，23z,6? 平面在第一卦限的部分的上侧; 22z,8,(x，y)? 抛物面在xOy面上方的部分的上侧。 ,,3223,,，，1P，Q，RdS,,,,555,,,答案: 2xP，2yQ，R，，dS2,,22，4x，4y, 17、利用高斯公式计算曲面积分: 222x,0,y,0,z,0,(1)，其中为平面 xdydz，ydzdx，zdxdy,,,, 所围成的立体的面的外侧; x,a,y,a,z,a 2,3,a答案: 13 班级 姓名 学号 2222333x，y，z,a，其中为球面的外侧。 (2)xdydz，ydzdx，zdxdy,,,, 125答案:a ,5 、利用斯托克斯公式，计算曲线积分:18，其中为圆周ydx，zdy，xdz,,, 2222,，，,xyza，若从x轴看去，这圆周是取逆时针的方向。 ,x，y，z,0, 2,3,a答案: 14