勾股弦定理

勾股弦定理 勾股定理: 勾股定理:在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。 目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。 勾股定理(又称商高定理，毕达哥拉斯定理)是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 勾股定理指出: 直角三角形两直角边(即“勾”“股”短的为勾，长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方 a^2，b^2,c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。 我国古代著名数学家商高说:“若勾三，股四，则弦五。”它被在了《九章算术》中。 在直角三角形里，垂直的两条边叫做勾和股，斜边叫做弦，他们有如下关系:勾的平方加上股的平方等于弦的平方～常见的就是勾3股4弦5. 勾股逆定理: 如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;; 即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。 古埃及人用这样的方法画直角 如果三角形的三条边A，B，C满足A^2+B^2=C^2;，还有变形公式:AB=根号(AC²+BC²)，如:一条直角边是a，另一条直角边是b， 如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角 形。(称勾股定理的逆定理) 勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法，其中c 为最长边: 如果A×A+B×B=C×C，则?ABC是直角三角形。 如果A×A+B×B>C×C，则?ABC是锐角三角形。 如果A×A+B×B,C×C,则?ABC是钝角三角形。 勾股定理逆定理的证明: 1、反证法 令角C不是直角， 则a^2+b^2=c^2不成立， 所以矛盾， 所以角C是直角。 2、勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2， 那么C边所对的角是直角。 3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2， 而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ， 比较两式得 ， COSB=0 ， B=90度。 勾股定理逆定理的证明: 1、反证法 令角C不是直角， 则a^2+b^2=c^2不成立， 所以矛盾， 所以角C是直角。 2、勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足条件a^2+b^2=c^2， 那么C边所对的角是直角。 3、三角函数Cos90 如图:已知AB^2+BC^2=AC^2， 而任一三角形的边之间均满足， AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BA*COSB ， 比较两式得 ， COSB=0 ， B=90度。 【例】如图，已知四边形ABCD中，?B=90?，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积. 分析:根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定?ACD是直角三角形. 解:连接AC，在Rt?ABC中， AC2=AB2，BC2=32，42=25， ? AC=5. 在?ACD中，? AC2，CD2=25，122=169， 而 AB2=132=169， ? AC2，CD2=AB2，? ?ACD=90?( 故S四边形ABCD=S?ABC，S?ACD=AB?BC，AC?CD=×3×4，×5×12=6，30=36. 双基淘宝 * 仔细读题，一定要选择最佳答案哟～ 4，5;(2)5，12，13;1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长:(1)3， (3)8，15，17;(4)4，5，6.其中能构成直角三角形的有( ) A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 2. 三角形的三边长分别为 a2，b2、2ab、a2,b2(a、b都是正整数)，则这个三角形是() A(直角三角形 B(钝角三角形 C(锐角三角形 D(不能确定 3(如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b2 5(五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是( ) A B C D 综合运用 * 认真解答，一定要细心哟～ 6. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， AD?DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积. 7. 一个零件的形状如左图所示，按这个零件中?A和?DBC都应为直角(工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合吗, 8. 如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE=BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问?AEF是什么三角形,请说明理由. 参考答案 1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.24m2 7.符合 8.由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，?AE2= EF2 +AF2，??AEF是直角三角形 勾股定理逆定理习题 【驻足“双基”】 1(请完成以下未完成的勾股数: (1)8、15、_______;(2)10、26、_____( 2222 2(?ABC中，a+b=25，a-b=7，又c=5，则最大边上的高是_______( 3(以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是( )( (+1，-1，2 B(7，24，25 A332 C(4，7.5，8.5 D(3.5，4.5，5.5 4(一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是( )( 152 A(12.5 B(12 C( D(9 2 5(已知:如图，?ABD=?C=90?，AD=12，AC=BC，?DAB=30?，求BC的长( 6(已知:如图，AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB?AD，求证:BC?BD( 【提升“学力”】 7(在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，?B=90?，求四边形ABCD的面积( 8(一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米, 【聚焦“中考”】 9((2004年山东省中考题)如下图中的(1)•是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c;下图中(2)是以c为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形( (1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形( 222 (2)用这个图形推出a+b=c(勾股定理)( (3)假设图中的(1)中的直角三角有若干个，你能运用图中的(1)所给的直角三角222形拼出另一种能推出a+b=c的图形吗,请画出拼后的示意图((无需证明) 答案 1(17，24 2(略 3(D 4(B 5(3 6 6(提示:?AB?AC，AB=4，DA=3，?BD=5， 222又BC=12，CD=13，?CD=BC+BD， ??DBC=90?，?BC?BD 7(36，提示:连结AC得两个直角三角形 8(50千米 1129.(2)S=(a+b)(a+b)=(a+b)， 梯形22 11122S=ab×+c=ab+c 梯形222 1122222?(a+b)=ab+c，得a+b=c( 22 勾股定理的应用专题测 一、 选择题(每小题5分，共25分) 1( 直角三角形两条直角边的长分别是3和4，则斜边上的高是( )( A(5 B(1 C(1(2 D(2(4 筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是( )( 2(如果梯子的底端离建 A(12米 B(13 米 C(14米 D(15米 3(?ABC中，AD是高，AB=17，BD=15，CD=6，则AC的长是( )( A(8 B(10 C(12 D(13 4(一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的 数据弄混了，请你帮助他找出来，是第( )组( A(13，12，12 B(12，12，8 C(13，10，12 D(5，8，4 5(如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是( )( A(121 B(132 C(120 D(110 二、填空题(每小题5分，共40分) 6(求下列直角三角形中未知边的长度: b=______ c=______( 7(?ABC中，?C=90?，c+a=9.8，c-a=5，则b=_____( 8(如图1，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸减去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______( 图1 图2 图3 9(王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB、DC为3m，两撑脚间的距离BC为4m，则AC=____m就符合要求( 10(如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米( 11(如图4是一长方形公园，如果某人从景点A走到景点C，则至少要走_____米( 图4 图5 12(一个等腰直角三角形的面积是8，则它的直角边长为______( 13(如图5，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、S、S之间123的关系是______( 三、解答题(14题7分，15题8分，16、17各10分) 14(如图6，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要达到的B点140米，(即BC=140米)，其结果是他在水中实际游了500米(即AC=500米)，求该河AB处的宽度( 图6 15(如图7，根据图上条件，求矩形ABCD的面积( 图7 16(如图8，一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O，向东南方向航行，另一艘船在同样同时同地以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口半小时分别到达A、B，求A、B两点的距离? 图8 17( 为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处(CA?AB于A，DB?AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问:阅览室E应建在距A多少?处，才能使它到C、D两所学校的距离相等, 图9 参考答案: 一、1(D 2(A 3(B 4(C 5(B 二、6(12，26;7( 7; 8(20cm(提示:延长AB，DC构成直角三角形);9(5; 10(2 ; 11(370; 12(4; 13(S+S=S( 132222三、14( 解:在Rt?ABC中，AB+BC=AC， 222所以AB+140=500， 解得AB=480( 15( 解:在Rt?ADE中， 222222AD=AE+DE=8+15=17， 所以AD=17， 2所以矩形的面积是17×3=51(cm)( 222216(AB2=OA+OB=8+6=100，所以AB=10( 17( 解:设阅览室E到A的距离为x?(连结CE、DE( 22222在Rt?EAC和Rt?EBD中，CE=AE+AC=x+15， 22222DE=EB+DB=(25-x)+10(因为点E到点CD的距离， 22所以CE=DE(所以CE=DE( 2222即x+15=(25-x)+10(所以x=10( 因此，阅览室E应建在距A10km处(