[资料]12郭丽-玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合
玫瑰线花瓣及正方形与圆形的嵌套组合
郭丽
包头师范学院数学科学学院 摘要:本文通过三叶玫瑰线的极坐标方程绘图命令,探求玫瑰线的花瓣数随n变化而变化的规律,同时还讨论了正方形与圆形的嵌套图形的绘制。 关键词:Mathematica 玫瑰线 图形嵌套
花以它独具的自然美使人赏心悦目,在生活中往往被人们当作理想、希望、幸福的象征。生活中有了花就有了灵气,程序中若也能“开”出几朵简单的花来,那该有多好。本文介绍的程序不仅能绘出形状各异的花朵,而且还可以用静态、动态和旋转三种不同的方式来呈现。本文的花都是依托数学公式中描述的曲线来绘制的,在给大家带来美的感觉的同时,也可以让大家直观地感受到数学公式中各个参数对结果的影响。用程序来实现这样的数学曲线,代码简单,运行高效。
一(公式带来的灵感之玫瑰线绘制
数学中有三叶玫瑰线(方程为)、四叶玫瑰线(方程为,,A,Cos(3,)
)等曲线,这些曲线的极坐标方程很简单,基本形式均为:,,A,Cos(2,)
,),即任意一点的极半径 是角度的函数。而极坐标系中的曲,,A,Cos(n,),
Mathematica线难以用传统的方法绘出,如果借助于数学软件<>这项工作就变得易如反掌。极坐标方程的直角坐标方程为:
,,x,A,Cos(n),Cos(); y,A,Cos(n,),Sin(,)
02,,在程序中控制角度使其从变化到,描出极半径所对应的点,这样就,
可以绘出漂亮的玫瑰线;根据直角坐标方程,可以写出极坐标方程在Mathematica<>中的绘图命令:
r[t_]:,r[t]
ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,t,t}]12
n当然,不同所描出的曲线的形状也就不同。下面就通过几个方面的研究来
n探求玫瑰线花瓣数随变化而变化的规律。
n? 当为奇数时,通过绘图命令,观察规律:
(第1页,共9页)
三叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[3t]
ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
五叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[5t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
七叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[7t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
443
222
1
-3-2-11234-3-2-11234-2-11234
-1
-2-2-2
-3 -4-4(三叶) (五叶) (七叶)
依次推导下去,就可以推出玫瑰线方程的通项公式
ParametricPlot[{4Cos[(1,2n),t]*Cos[t],4Cos[(1,2n),t]*Sin[t]},{t,0,,},
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,)
nn这样我们就可以根据该程序绘出所有的基数叶的玫瑰线。当为基数时,花为
,,n0,,瓣。花瓣数与相同。的取值范围为,在此范围内,玫瑰曲线完整,无tt
(第2页,共9页)
重叠现象。若的取值范围超过,玫瑰曲线就会出现不同程度的重叠。,,0,,t
? 当为偶数时,不含叶玫瑰线,观察规律:n6,10,14,18,,,2,4n(n,1,2,,,)
四叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[2t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
八叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[4t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
十二叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[6t] ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
444
222
-4-224-4-224-4-224
-2-2-2
-4-4-4
(四叶) (八叶) (十二叶)
依次类推下去,就可以推导出当为偶数(不含叶玫n6,10,14,18,,,2,4n(n,1,2,,,)瑰线)时玫瑰线方程的通项:
ParametricPlot[{4Cos[2nt]*Cos[t],4Cos[2nt]*Sin[t]},{t,0,2,},
(第3页,共9页)
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,)这样就可以根据该程序绘出不含叶玫瑰线的,其他所有的偶数叶2,4n(n,1,2,,,)
的玫瑰线。当为偶数(不含叶玫瑰线)时,花瓣数是2瓣。nn2,4n(n,1,2,,,)t
的取值范围为。在此范围内,玫瑰曲线完整,无重叠现象。若的取值范,,0,2,tt
围为,则不能够形成完整的玫瑰线。 ,,0,,
? 叶玫瑰线 2,4n(n,1,2,,,)
之所以对这些玫瑰线进行单独讨论,是因为它们具有一定的特殊性。若想要绘出
n,6六叶玫瑰线,通过上面讨论的两种分类是绘不出来的。假设 ,根据情况?,
n,3绘出十二叶玫瑰线;假设,根据情况?,绘出三叶玫瑰线,无法实现。那么应该如何绘出这些比较特殊的玫瑰线呢,通过实验,找出了两种途径来解决这一问
。
途径一:组合
所谓组合,就是将原图象进行一定角度的旋转,形成一个新的图象,然后通Show过语句将两个图象组合起来。下面举个例子来说明。 六叶玫瑰线:
r[t_]:,4Cos[3t]
g1,ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotPoints,50]
r[t_]:,4Sin[3t]
g2,ParametricPlot[{r[t]*Sin[t],r[t]*Cos[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotPoints,50]
Show[g1,g2]
(第4页,共9页)
333222
111
-2-11234-4-3-2-112-4-224-1-1-1
-2-2-2
-3-3-3
g1 g2 (组合)
这种方法比较原始,通过已知曲线的绘图命令,将其旋转,再将两个图象组合在一起。
途径二:改变直角坐标方程中的参数
如何实现,通过六叶玫瑰线来说明 r[t_]:,4Cos[6t] ParametricPlot[{r[t/2]*Cos[2t],r[t/2]*Sin[2t]},{t,0,2,},
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
3
2
1
-4-224
-1
-2
-3
(六叶)
由途径一的思路,知道由三叶玫瑰线到六叶玫瑰线。要想画出六叶玫瑰线就要通过三叶玫瑰线,怎样才能实现,只要将中的的参数{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]}r[t]t
t/23t改成,这样在的赋值函数中参数就变成了。就出现了三叶,但这是不r[t]
(第5页,共9页)
2t够的,所以还要将和中的参数 扩大2倍,变成。的取值范围不Cos[t]Sin[t]tt
变,这样就能够画出六叶玫瑰线。十叶、十四叶„„叶的玫瑰线2,4n(n,1,2,,,)也可以用这种方法绘出。也可以
出这些特殊玫瑰线的通项:
ParametricPlot[{4Cos[(2,4n)t/2]*Cos[2t],4Cos[(2,4n)t/2]*Sin[2t]},{t,0,2,},
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0,0]](n,1,2,,,,)
也可以扩大画图参数来扩大其范围,在这里就不详细说明了。t
n? 当为小数时,则不是玫瑰线。
yn? 当为奇数时,其图象左、右交替。所谓左右交替就是在轴的左、右两边,
总是有一半的玫瑰花瓣数比另一半的玫瑰花瓣数多1。在三叶玫瑰中,左边有两叶玫瑰花瓣,右边有一叶玫瑰花瓣;在五叶玫瑰中,左边有两叶玫瑰瓣,右边三叶玫瑰瓣。在七叶玫瑰中,左边四叶,右边三叶玫瑰瓣。而且无论是在哪一种情况下,随着参数的增加,会出现分布不均匀的缺口。
r[t_]:,4Cos[331t]? ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
?
r[t_]:,4Cos[330t]
ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
r[t_]:,4Cos[222t]? ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,2,},AspectRatio,Automatic,
PlotStyle,RGBColor[1,0,0]]
PlotPoints这种缺口现象可以通过改变图形的点的数量程度来改进。运用语句
例如:
r[t_]:,4Cos[331t] ParametricPlot[{r[t],Cos[t],r[t],Sin[t]},{t,0,,},AspectRatio,Automatic,
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PlotStyle,RGBColor[1,0,0],PlotPoints,130]二(动画实现
n 通过上面几个方面的研究,我们已经知道了玫瑰线的花瓣数随变化而变化的规律。下面就通过动画来让玫瑰花“开花” ?奇数:
Table[ParametricPlot[{4Cos[(1,2n)t],Cos[t],4Cos[(1,2n}t],Sin[t]},{t,0,,},
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[1,0.05i,1,0.1i,0.2i]],
{n,1,15},{i,1,5}]
?偶数:
Table[ParametricPlot[{4Cos[2nt],Cos[t],4Cos[2nt],Sin[t]},{t,0,2,},
AspectRatio,Automatic,PlotStyle,RGBColor[0.2i,0,0]],
{n,1,7},{i,1,5}]
?特例:
Table[ParametricPlot[{4Cos[(2,4n)t/2],Cos[2t],4Cos[(2,4n}t/2],Sin[2t]},
{t,0,2},AspectRatio,Automatic,,
PlotStyle,RGBColor[0.2i,0,0.06i]],
{n,1,8},{i,1,5}]
三(正方形与圆形的嵌套组合
正方形与圆形的组合在日常生活中、教学中都会碰到,而运用传统的方法也可绘出简单的嵌套组合。但对于圆形的多次嵌套,传统方法是无法绘制的。而通
Mathematica过<>这种嵌套会很容易绘出,嵌套组合的灵感来源于Mathematica<>软件书中的二维图形。
首先,根据图形的特征,先将最外层的正方形画出来,并将其9等分:
(第7页,共9页)
Line[{{,6,,6},{6,,6},{6,6},{,6,6},{,6,,6},{,6,,2},{6,,2},{6,2},{,6,2},{,6,6},{,2,6},
{,2,,6},{2,,6},{2,6}}]
Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],%},AspectRatio,Automatic]]
然后根据正方形的大小绘出与该正方形相内切的圆形:
Show[Graphics[{RGBColor[0.6,0.9,0],Circle[{0,0},6]},AspectRatio,Automatic]]第三步:画出大圆中的若干小圆:
Show[Graphics[{RGBColor[0.5,0.7,0],Circle[{0,4},2],Circle[{0,,4},2],Circle[{4,0},2],Circle[{4,0},2]}],Graphics[{RGBColor[0.2,0.6,0.5],Circle[{0,5},1],Circle[{0,3},1],,
Circle[{5,0},1],Circle[{3,0},1],Circle[{0,5},1],Circle[{5,0},1],Circle[{0,3},1],,,,
nn22112211,,,,Circle[{3,0},1]}],Graphics[Table[{Circle[{0,},],Circle[{0,},],,,nnnn2222
nn2,2,112,2,11Circle[{,0},],Circle[{,0},]},{n,15}],,nnnn2222
PlotStyle,RGBColor[0.8,0.4,0.2]],AspectRatio,Automatic, PlotRange,{{,6,6},{,6,6}}]
最后将上述三步的语句组合在一起即可。
Line[{{,6,,6},{6,,6},{6,6},{,6,6},{,6,,6},{,6,,2},{6,,2},{6,2},{,6,2},{,6,6},{,2,6},
{,2,,6},{2,,6},{2,6}}]
Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],%}],Graphics[{RGBColor[0.6,0.9,0],Circle[{0,0},6]}],
Graphics[{RGBColor[0.5,0.7,0],Circle[{0,4},2],Circle[{0,,4},2],Circle[{4,0},2],
Circle[{,4,0},2]}],Graphics[{RGBColor[0.2,0.6,0.5],Circle[{0,5},1],Circle[{0,3},1],Circle[{5,0},1],Circle[{3,0},1],Circle[{0,,5},1],Circle[{,5,0},1],Circle[{0,,3},1],
nn2,2,112,2,11Circle[{,3,0},1]}],Graphics[Table[{Circle[{0,},],Circle[{0,,},],nnnn2222
nn2,2,112,2,11Circle[{,0},],Circle[{,,0},]},{n,15}],nnnn2222
PlotStyle,RGBColor[0.8,0.4,0.2]],AspectRatio,Automatic,
PlotRange,{{,6,6},{,6,6}}]
(第8页,共9页)
正方形与圆形的嵌套组合的思想是:先要找到图形的原点,然后以适当长度(此处选定为6)画出大正方形,小正方形及最大的圆形。然后在距离原点等距离(等距离为2)的四个小正方形中画圆形,圆的半径为2。在这四个小圆中,在以1为半径画圆,之后所画的圆形,半径均为上个圆形半径的1/2。圆心分别逐渐接
近于2和-2。
通过对玫瑰线花瓣及正方形与圆形的组合的研究,让大家了解到在传统教学
Mathematica中无法绘制的图形可以通过<>来解决。
参考文献:
[1]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(
) 北京:高等教育出版社,2002
[2]张栋恩,许晓革.高等数学实验 北京:高等教育出版社,2004.7
[3]王兵团,桂文豪. 数学实验基础 北京:北方交通大学出版社,2003.11
[4]张楚亭. 数学文化 北京:高等教育出版社,2004.4
[5]
The rose line flower petal and the combination and nesting to square and circular
Guo Li
The mathematics science department of Bao Tou Teachers’ College
Abstract: This text pass three leaves the rose be linear of sit to mark a equation painting an
order very much, investigate the flower petal of rose line a number with the
regulation of n variety but variety, still discussed the combination and nesting to
square and circular draw of sketch in the meantime.
Keyword: The Mathematica ;rose line ;sketch combination and nesting