刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系

刚体定点转动的动量矩与角速度方向之间的关系 张勇和, 尹建武, 任铁未 () 黄冈师范学院 物理科学不技术学院, 湖北 黄州 438000 摘 要 讨论了刚体定点转动时, 动量矩的方向不角速度的方向之间的关系, 得出了两者之间 夹角的解析表达式. 关键词 刚体; 动量矩; 角速度 () 中图分类号 O 313. 3 文献标识码 A 文章编号 100328078 20070320032204 The re la t ion sh ip be tween the d irec t ion s of the an gula r ve loc ity an d the m om en t of m om en tum of the r ig id body ro ta t in g a bout a f ixed po in t ZHA NG Y on g- he, Y IN J ian - wu, REN T ie- we i (), , 438000, , Co llege o f P h y sica l Sc ience and T ech no lo gyH uanggang N o rm a l U n ive r sityH uangzho u H ube iC h ina A bstra c t T h e re la t io n sh ip b e tw een th e d irec t io n s o f th e an gu la r ve lo c ity an d th e m om en t o f m om en tum o f a r ig id bo dy ro ta t in g abo u t a f ix ed po in t is d iscu ssed, an d th e an a ly t ic exp re ssio n o f th e .an g le b e tw een th e d irec t io n s is o b ta in ed ; ; Key word s r ig id bo dym om en t o f m om en tum an gu la r ve lo c ity 当刚体作定点转动时, 动量矩的方向不角速度 的方向在一般情况下是不相同的, 它们共线的条J Ξ 1, 2 件在有些教科中已经讨论得比较清楚了, 两者之间的夹角也可以通过作图的方法得到. 本文通过 张量的表示方法, 讨论了刚体定点转动时, 动量矩 的方向不角速度 的方向之间的关系, 得出了两者J Ξ 之间夹角的解析表达式, 并通过实例进行了讨论. 1 惯量张量和惯量椭球 设刚体在某一时刻以角速度 作定点转动, 选取固连在刚体上, 以定点为坐标原点的直角坐标系,Ξ 3 则刚体对定点的动量矩可表示为 J = I Ξ- I Ξ- I Ξ,x x x x x y y x z z J = - I Ξ+ I Ξ- I Ξ, ()y y x x y y y y z z 1 J = - I Ξ- I Ξ+ I Ξ,z z x x z y y z z z 其中I x x、I y y、I z z 分别为刚体对x 轴、y 轴和z 轴的转动惯量, I x y、I y z、I x z 等称为惯性积. 上式给出了由Ξ 到J 的确定的线性变换, 根据张量识别定理, 变换系数构成一个二阶张量 . 用1、2、3 表示上式下脚标、、,Ix yz () 则 1式写为张量方程为 收稿日期: 2007202228. 作者简介: 张勇和, 男, 湖南常德人, 教授, 主要从事理论物理教学不研究. I - I - I 111213 I I - - I = 21 I 2322 I - I I - 31 3233 3 称为刚体相对于定点的惯量张量. 根据转动惯量和惯性积的定义容易看出它是一个二阶 4 据张量理论, 这样的对称张量恒有三个互相垂直的主方向, 其主值分别设为 、和 . I 1I 2 I 3 相垂直的主方向构成的直角坐标系称为主轴系, 则在主轴系中, 惯量张量可表示为 0 0 I 1 0 I I = 2 0 , 0 0 I 3 其中 I 1、I 2 和 I 3 分别表示在主轴系中刚体对 x 1 轴、x 2 轴和 x 3 轴的转动惯量. 根据刚体对定点的转动动能 1 1 2 T = Ξ ’ J = I Ξ,2 2 () 以及式 1和 Ξ= ΑΞ, Ξ= ΒΞ, Ξ= ΧΞ, x y z 可得 2 2 2 I = I Α+ I Β+ I Χ- 2 I ΒΧ- 2 I ΧΑ- 2 I ΑΒ,11 22 33 23 31 12 式中 、、为任一通过定点的转动瞬轴相对于坐标轴的方向余弦, 是刚体对瞬轴的转动ΑΒΧI 轴上, 截取一线段OQ , 并且使 1 OQ = = X , I 则Q 点的坐标可写为 x = X Α, y = X Β, z = X Χ. ()()() 因为通过定点有很多转轴, 故由此选取的点形成的轨迹方程由 7、8、9式可得Q 2 2 2 I x + I y + I z - 2 I y z - 2 I z x - 2 I x y = 1. 上式代表11 22 33 23 31 12 () () 一个中心在定点的椭球, 称为惯量椭球. 若按式 10画出椭球后, 就可根据 8某轴上矢O () 径, , 的长, 方便地求出刚体对该轴的转动惯量 .X x y z I () 以 、、取代 、、, 则式 10可写成张量方程x 1x 2x 3 x yz X ’ I ’ X = x I x = 1.i ij j 显然, 上式表示的惯量椭球只取决于刚体相对定点的质量分布, 即取决于惯量张量 . I不固定点的选择有关, 不坐标系的选择无关. 对不同的坐标系, 惯量张量的各元素不一样, 变, 也就是说, 当坐标架旋转时, 椭球面在空间的形状和位置不变. () 在主轴系中, 式 11成为2 2 2 I x +I x +I x =X ’ I ’ X = 1. 1 1 2 2 3 3 2 动量矩的方向J 设在某一时刻, 刚体以角速度 绕某瞬时转轴转动, 容易看出:Ξ X = ΛΞ. 其中 , 由上式可得取正常数Λ () ( )I X = I ΛΞ= u I Ξ. ’ ’ ’ () () 比较式 2和式 14得到 I ’ X = ΛJ . 即J 的方向不矢量 I ?X 的方向相同. ( ) 根据数学知识, 曲面上某点梯度的方向沿曲面上该点的法线方向, 式 11表示的是椭球曲面的方 程, 设该面上某点的法线方向矢量为 , 则n ()()16 n = v X ’ I ’ X . 上式在 x 1 轴上的分量为 ( )5I x x i j i j )()( n = I x + 17 = 1 2 I 11 x 1 +12 2 I 13 x 3 .5x 1 又因为 ()( ) 18 X = I x = I x + I x + I x , ’ I 1 1 j j 11 1 12 2 13 3 比较另外两个分量后得到 )()( () 2 I ’ X . 19 n = X I X = v ’ ’ () () 由式 15和式 19可以看出, 刚体作定点转动时, 动量矩J 的方向不瞬时转轴不椭球面交点Q 的法 线方向 一致.n 3 与 方向之间的夹角J Ξ () 由式 2可得, 动量矩的方向不角速度 的方向在一般情况下是不相同的, 只有转轴是惯量主轴 J Ξ 2 时, 不 才共线.J Ξ () 设不 方向之间的夹角为 , 根据式 5, 由于动能不可能取负值, 故J Ξ Η ()20 Ξ J ? 0,’ 则 Π ()21 Η? . 2 () () 利用式 11, 由式 19得 ) ()(X n = 2 X I X = 22 ’ ’ ’ 2. 在主轴系中 ()() 2 I x i + 2 I x j + 2 I x k. 23 n = v X ’ I ’ X = 1 1 2 2 3 3 () () () 因为矢量X 不 Ξ 同向, 注意到式 15和式 19, 由式 22可得 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 () () x I + x I +x I x +x + ()x ]= . 3 3 1 3 1 1 2 2 24 co sΗ= 2 n ’ X () 这样, 只要知道了在主轴系中刚体的转动惯量I 1、I 2 和I 3 , 椭球面上某点Q 的位矢X x 1 , x 2 , x 3 , 则刚 体绕通过点的瞬轴转动时, 角速度 不动量矩的方向之间的夹角 就可以由上式求出来.Q Ξ J Η () () 由式 4, 式 7可知, 在主轴系中 2 2 2 ()I = I Α+ I Β+ I Χ,25 1 2 3 () () () () 联立式 8, 式 9和式 24, 式 25可以算出 2 2 2 I Α + I Β + I Χ 1 2 3 ()26 Η= co s,2 2 2 2 2 2 I Α + I Β + I Χ 1 2 3 2 2 2 ()27 其中, Α+ Β+ Χ= 1. () 方向之间的夹角 .由式 26可以得出转轴的方向余弦分别为 , , , 角速度 不动量矩时Η ΑΒΧΞ J () 式 26表明, 一般情况下 Η?0. 当 I 1 = I 2 = I 3 时, 即刚体的惯量椭球为圆球时, 通过定点的每一根转 轴都是惯量主轴, 由该式可以看出, 无论转轴沿哪个方向, 都有= 0 的结果, 也就是的方向和的方向ΗJ Ξ ΠΠΠΠΠ ,相同. 当 Α= co s0, Β = co s Χ= co s , 戒 Β = co s0, Α= co sΧ= co s, , , 戒 Χ= co s0, Α= co s 2 2 2 2 2 Π () Β = co s 时, 转轴沿主轴方向, 由式 26也可得到 Η= 0 的结果.2 例 均匀圆柱体半径为R , 高为h , 质量为m , 建立主轴系如图1 所示. 圆柱体绕通过坐 () 转动, 当转轴的方向余弦满足关系 Α= Β= Χ均取正值时, 求动量矩J 不角速度 Ξ 之间的夹 解 根据转动惯量的定义, 容易求出圆柱体对坐标轴 x 1 , x 2 , x 3 的转动惯量分别为 1 2 I 1 = I 2 = m h , 12 ()28 1 2x = 3 m R . 2 () 因为 Α= Β= Χ, 根据式 27可得 3 ().29 Α= Β = Χ= 3 () () () 将式 28和式 29代入式 26得 2 2 2h + 6R (). 30 co sΗ= 4 46h + 108R () ) 301若h µ R , 圆柱体可视为长细棒, 由式 得: co sΗ? 0. 816, Η . ? 3516′; 图 1 应用示 ) R , 圆柱体的三个主转动惯量相同即 I 1 = I 2 = I 3. 6 2若 h = . () 由式 30得: = 1, = 0; co sΗΗ . ) () 3若 = , 由式 30得: 0. 749, 4128′;? ? h R co sΗΗ . ) () 4若 《, 圆柱体可视为薄圆盘. 由式 30得: 0. 577, 5444′.? ? hR co sΗΗ () () 求出 后, 我们还可以得到动量矩的大小. 将式 29代入式 25得ΗJ 1 )( I = I 1 + I 2 + I 3 .3 () 由式 5得 I Ξ .J = co sΗ () () 其中, Ξ 是瞬时角速度. 考虑 h = R 的情况, 注意式 28, 将式 31的 I 和相应的 Η代入上式 114 2 J = m R Ξ. 36 参考文献: 1 吴德明. 理论力学基础[. 北京: 北京大学出版社, 1995. 189～ 199.M 2 卢圣治, 胡静, 管靖. 理论力学[M . 北京: 电子工业出版社, 1991. 192～ 198. 3 () 周衍柏. 理论力学教程 第 2 版[. 北京: 高等教育出版社, 1986. 172～ 182. M 4 孙志铭. 物理中的张量[. 北京: 北京师范大学出版社, 1985. 34～ 39.M