[doc] 力法中病态方程的产生与改进方法

[doc] 力法中病态方程的产生与改进方法 力法中病态方程的产生与改进方法 醛 递,讨论或经验交流等形式撰写.一般在2000字左右,来稿请附墨线 图和英文题目.一,三,五期. 坚垩学内!圭!垦堑二苎!塑鎏堡垒兰量堡坚堕盥堡主,石丽?一——二, 四,六期 力法中病态方程的产生与改进方法 张识 (军械工器学度) 在材料力学中,用力法解超静定问题是重要的一 章.但是,对于相当系统的选择,阐述得不够清楚,而 逸一点正是力法计算的关键,因为选择不当,就会遇到 病态方程. t.病态方程的产生 在一些教科书中,提出用力法求解静不定系统的 步骤如下:(I)确定静不定度;(2)解除多余约束,井以 相应的多余约束力代替其作用,得到一个静定系统,称 为扣当系统;(,)根据解除约束处的变形协调条件,建 立正刚方程 【】}+{A.’I{0}(1) 其中LDJ为系数矩阵,解(1)式即可求得多余约束力 p .? ‚I261002”368 矢量{‘. 那么,怎丰事理解逸里昕说的相当系统,在计算实陆 问题时又如何去选择最好的相当系统?试既是一十重 要的概念,又是一个重要的技巧.图l为等跨等抗弯 刚度之连续粱,静不定度为l0.图2是一种选择方 法,它的相当系统为一悬臂粱,对外载P和备多余约柬 力却来说是同一的.圈3是另一种选择,它的相当 系统不是同一的,而是分别选取,共由11个简支粱组 成.这样两种选择结果如何昵?前一种选择是完全失 败的,它建立正则方程是满阵,不仅如此,还是一个严 重的病态方程,铡如【D1阵的最后二行数及其比值如 下: j,[29112243416625864l70l20~0”43lt271408](2>?’缶.](> 占”,JuII(0.8970.893”8890?8850?8800?8750-s70o?864o?8570?e51) 说明这二行敦非常接近线性相关,再做下去将得幂到以不好,就是因为选用了同一相当系绕,造戚各未船 上要求的计算精.而后一种选择方法得到的力系统问相互重叠部分太多,例如对第,第10两个 iD]是三对角阵,且主对角线元素明显的大于同行同未知力来说重叠 9踌,而图3的选择备末知力之间只 列其它元素,具有良好的求解性质,此时相应(2)式的重叠一跨. 二行数为2.载荷系绕硬单位系统选取原则 .….....…1 (3) ‰?一【o.......ll1 可见,台理地选择柑当系统十分重要.图2的选择之 载荷及诸单位未知力可采用不同的静定系统.匿 此本文分别引用载荷系统和单位系绕这两个名词,甩 以表明载葡系统与单位系统不必相同,各单位系统也 不宓相同.由于f川但取央于单位系统的选择,以下雁 一 个二度尊不定系统为例,进一步讨论这个问题.三踌 ?钉’ J蟠’ ID1.『1’6?9?J fD1『’l8口L 7 一 古【:’:】 囝l 田2 图3 i--二=—十?—十一 Il施 . —————— ^,,,,如 一门口 禹? 圈5 咀’ 圄 lfD】名】饕圉. 例-【 【.1一 .1i】0t —1— ——— 圈9 一ItY,’.菌l0 —]— ?a . 0 , 盯 一 . 连续粱如图4所示,图5鲥图1O表示了几种不同的单 位系统及其相应的[D]方阵.图,,6乃是选用同一 相当系统,由于小于或接近岛,因此矩阵【D】的 求逆性质不好.图7,8,9三种选取所得的【D]是类 屙的,与前二种选取相比,【D]的求逆性质有了明显改 善.图lo选取的束知量是正交的,得到系数矩阵为对 角矩阵. 系数方阵【D]求逆性质的改善可以通过对变量 作线性变换得到,二种变量的线性变换可表示为 其中【】是非奇异方阵.例如,由图6情况可以变换 到图8.图10二种情况,此时,[口1阵分别曲 一 一 ] (5) (6) 将(‘)代人(1)得到 【0][B]+{A)一0>(7, — 荐用【口]前乘(7)式 【丑】【D1【丑】”}l十[丑】{A}审{0} 藏[西】{)+【】r{A}一{o}(8) 方程(1)是甩变量表示在的切口处的协调条件,方 程0)是用变量,表示在原变量的切口处的调条 孵,而方程(8)是对瘦于广义力的切口处的广义忸移 表达的协调条件.它们的不同在于对系数方阵实行了 某砷初等变换,方阵【D】与[]是相f烈矩阵,它们 有相同的秩,不改变线性方程组解的唯一性. 对复杂系统来说,企图通过线性变换使诺未知量 正交是非常困难的事,也是不台算的,遗就是说,(6)式 很难得至.一般情况下,想求得(5)式也非易事,但是, 占L图6变换到图8的实质是让各单位系流的重叠减到 最少.因此,只要各单位系统互相重叠部分尽量少,所 得到的系数矩阵就必然是比较好的.据此,提出单位 系统的选取原月?如下: (1)各单位系统娶互相独立; (2)各单位系绕应是自身平衡系统; (3)各单位系统互相重叠部分应尽量少. 载荷系统的选择与系数矩阵fD】无关,它的选取 原则:一是满足静力平衡条件,另一是在简单的基础 上接近真实受力情况,以减少计算工作量,提高计算精 度. 3.实例 我们曾疑用力法计算过一个98阶的实例(某飞机 机翼),先后计算了二次,输入原始数据为八位有效数 字.第一次求出[Dr’后,利用式[D1【D11_(r】检 验,有效位数只剩下二垃,不能满足工程精度要求.分 析原因是其中有四个单位系统选的不好,它们互相重 叠太多,造成方程组病态.第二次计算只改进了这四个 单位系统,让它们互相重叠部分尽量少,结集r,盼 有效位教从二位提高到五位,满尾了工程上对精度的 要求. 0车文于t9~,7年9月1日收蕈0 纯弯梁纵向截面上的挤压力 马风刚 (新疆工学院) 在纯弯粱横哉面上的正应力公式的推导过程中, 使用的物理条件是单向应力状态的应力应变关系—— 虎克定律,遗就涉及到粱的纵向截面上的挤压力问题. 垂塞国巍踅堑登堂錾翅史一般都用丁纵向纤维单 l痫受力假设,排除了缄向纤维间存在挤压作用,却缺乏 进一步的具体说明.而笔者接触过的国外有关教材中 则根本没有提到这个问题.加之在弹性力学中对材料 力学结果的进一步验证,则纯鸯粱纵向截面上羌挤压 力似乎已威定论. 本文就此提出稍有不同的看法,认为应该明确纯 弯粱纵向截面上拼压力曲存在及其实质作用,并就其 大小做了简单的稚估.. 1.旃压力的存在 首先,单从纵向纤维的受力来撒l豫掣向受力假 设,纯鸯榘韵情况与辅向越(压)杆的精况井l无两样,按 理粱的缀向鲆雏变形时也应和直扦轴向l控(压)对一样 保持直线形式.如果这棒,那么粱的整体变形也只能 成为如图1L)昕示那样的非均匀拉(压)变形(姑妄称 之).这当然不是事实.事实是粱的纵向纤维由直线形 式变为弧线形式,整体上呈现出如图1()那样的弯曲 变形.纵醉雏崔变形上表现出的遗种事瘼上韵差舅lf 实质上意谍警受力情况有区男.这实质懂窿别就在 t,’_ 511 . P??-] I 和