函数的定义域和值域

函数的定义域和值域 专题三 函数的定义域和值域 一、函数的定义域 1(函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得(一般地，我们约定:如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合( (1)若是整式，则定义域为全体实数( fx() (2)若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数( fx() (3)若是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数( fx() (4)若为复合函数，则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确fx() a定(如:fx()的定义域为[,]ab，则复合函数fgx[()]的定义域应由不等式?gx()?解b出( (5)由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定( 2(求函数定义域的常见问题 (1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解( (2)由yfx,()fgx[()]的定义域，求复合函数的定义域问题，实际上是已知中间变 x量ugx,()的值域，求自变量的取值范围问题( (3)对含字母参数的函数，求其定义域时注意对字母参数的一切允许值分类讨论( (4)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义( 3(典例剖析 11yx,，,，23例1 求函数的定义域( x2,x 分析:一般说来，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围(当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合( 3,x,,,,230,x，,,2,3,20,,,x解:要使函数有意义，必须有,即解得?，且( x,2,x,2x,0,,2,,x,0,x,0,,, , 3{|x,x,0}故原函数的定义域为?，且( x,22 评注:用已知函数通过有限次加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，一般列不等式(组)求函数的定义域，这时考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件 第 1 页 共 3 页 都找出来( 二、函数的值域 1(求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法，常用的方法有: (1)观察法:通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域( (2)配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数型的值域的方法求函数的值域( (3)判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等(使用此法要特别注意自变量的取值范围( (4)换元法:通过对函数解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域( yxx,，,21例2 求函数的值域( 11717221(?0),,xtt　解:令，则， yttt,,，，,,,，222()?488 ,17，?函数值域为( ,,,,,8，, 评注:换元的目的是将含有较复杂成分的函数达式化简为常见、简单的表达式(换元多用于处理可化简为二次函数的问题(需要注意的是，在换元后新变量的定义范围( (5)利用函数的单调性 2yxx,,，1例3 求的值域( 1333222yxx,,，1解: ?， ?的值域为 [,)，,yxxx,,，,,，1()?4244 2F(x),af(x)，bf(x)，c评注:形如的函数的值域问题，均可使用配方法 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累(除了上述常用的方法外，还常利用反函数、最值法、数形结合等，但要注意选择最优的解法(总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约( 第 2 页 共 3 页 第 3 页 共 3 页