742-用反证法证明顶天立地的三等分角尺规作图法”不成立

742-用反证法证明顶天立地的三等分角尺规作图法”不成立 用反证法证明顶天立地的“三等分角尺规作图法”不成立 为了证明顶天立地的“三等分角尺规作图法”不成立，下面，先对顶天立地的“三等分角尺规作图法”，推导一些计算公式: ，ACD,,如图1 ，设 (是要作三等分的角，也可以认为是要作三等分角的一半)。, AD,DCAC,1AD,sin,DC,cos,CF,2AC,2 ，设 ， ， ， 。 FAFA2sin, 以 为圆心，以 为半径作圆，与以 为圆心、以 为半径的圆交于 GGF,AFAG,2sin,，AFG,2，AFD一点 ，， ， 。 ,1ADsin,,，AFG,，AFD,arctan,arctan 。 2DC，CFcos,，2 RGACD延长 ，与 延长线交于一点 ， ooo，ARC,，GAF,，AFR,90,,,90,2，RAD,90,，ARC,2,,,, ， ， o，RAC,，CAD，，RAD,90,，2,, 。 GGM//ACGM//AC如图2 ，过 点作 ，因为 ，所以 o,,,,sinsin(902)cos(2)CMRC，RAC,，, ， ,,,,sinsin,sin,AGRA，ACR ,,,,cos(,2)cos(,2) 。 CM,AG,2sin,,2cos(,,2,)sinsin,, 1 MAMA2sin, 如图 3 ，以 为圆心，以 为半径作圆，与以 为圆心、以 为半 NNM,AMAN,2sin,，AMN,2，AMD径的圆交于一点 ，， ，。 ,1ADsin,,，AMN,，AMD,arctan,arctan 。 2DC，CMcos,，2cos(,,2,) NACDS延长 ，与 延长线交于一点 ， ooo，ASC,，NAM,，AMS,90,,,90,2，SAD,90,，ASC,2,,,, ， ， o，SAC,，CAD，，SAD,90,，2,, 。 NQ//ACNQ//ACN如图4 ，过 点作 ，因为 ，所以 o,,,,sinsin(902)cos(2)CQSC，SAC,，, ， ,,,,sinsin,sin,ANSA，ACS ,,,,cos(,2)cos(,2) 。 CQ,AN,2sin,,2cos(,,2,)sinsin,, ,ADsin,,，AQD,arctan,arctan 。 DC，CQcos,，2cos(,,2,) 以上就是顶天立地给出的“三等分角尺规作图法”。顶天立地认为，这样作出的角 ,,,，AQD,,，ACD ，就是角 的三分之一， 即有 。 ,,3 下面，我们用反证法来证明顶天立地的“三等分角尺规作图法”是不成立的。 在这种作图法里，最关键的是这样3个式子: 2 ,sin，AFD,,,arctan (1) cos,，2 ,sin，AMD,,,arctan (2) cos,，2cos(,,2,) ,sin,，AQD,,arctan (3) 。 cos,，2cos(,,2,) ，AQD,,，ACD,, 是要作三等分的角(也可以认为是要作三等分角的一半)， ,，AQD，ACD是作图得到的结果，顶天立地认为， 是 的三分之一，即有 。 ,,3 ,，AQD，ACD假定这种说法成立， 是 的三分之一，即有 ，将它代入(3),,3式，有 ,,,,sinsin,arctantan, ，即 ， 3cos,，2cos(,,2,)3cos,，2cos(,,2,)根据正弦和余弦的三倍角公式: 323sin,3,3sin,,4sin,,4cos,sin,,sin,cos3,,4cos,,3cos, ， ， 有 ,,,24cossin,sin,333tan, ， ,,334cos,3cos，2cos(,,2,)33 ,,,2sin(4cos,1)sin333 ， ,,,,3cos4cos,3cos，2cos(,,2,)333 ,,,,,,3234cos3cos2cos(2)(4cos1)cos4coscos ， ,，,,,,,,,333333 ,,cos(2)cos ， ， ,2cos，2cos(,,2,),0,,,,33 ,,,,2,,02因为 ， ，所以必有 ，即 ,0,,,,33 ,,,,3，AMD,,, 。 ,23 ,，AMD,,，ACD,,但是， 显然不可能是 的三分之一，如果它已经是 ，3 ，AQD,,顶天立地何必还要继续作图，再作 呢,～ 3 ,如果顶天立地还不承认错误，我们还可以把 代入(2)式，有 ，AMD,,,3 ,,sin,arctan ， 3cos,，2cos(,,2,) 按照上面一样步骤作推导，我们最后可以得到 , 。 ，AFD,,,3 ，AFD,,，ACD,, 竟然也变成 的三分之一了，这怎么可能呢,～ ,如果顶天立地还不承认错误，我们还可以把 代入(1)式，有 ，AFD,,,3 ,,,,sinsin,arctan ，tan,。 3cos,，23cos,，2 ,,,,2sin4cossin,sin,,,,3333334cos3cos24coscos ， ， ,,，,,,,,33333cos4cos,3cos，2333 ,,,,0 ， ，所以 。 ,2cos，2,0cos,133 ，ACD,,,0最后我们可以推出 ～ ，AQD，ACD显然，这是绝对不可能的，我们从“ 是 的三分之一”这样一个假定 ，AQD，ACD出发，推导出这样一个绝对荒谬错误的结果，只能说明:“ 是 的三分之 一”这样一个假定是不成立的，也就是说，顶天立地的“三等分角尺规作图法”是不成立的～ 4