03有关优化设计数学模型

null有关优化设计数学模型 及其求解中的几个问题有关优化设计数学模型 及其求解中的几个问题null 建立正确的数学模型，是解决最优化设计问题的关键。总的说来对数学模型的基本要求为： 1)数学模型能正确地达设计问题，准确可靠地保证设计问题所要达到的目的和满足所受的各种限制条件。 2)建立的数学模型要容易处理，总的推备时间较少，计算过程稳定，计算结果可靠。设计变量的选取设计变量的选取 设计变量是在设计过程中需要进行选择并最终必须确定的各项独立参数。虽然凡能影响设计质量或结果的可变参数均可作为设计变量，但设计变量太多，会增加计算的难度和工作量，且会由于问题过份复杂而失去实际意义。设计变量太少，则减小了设计自由度，难以甚至无法得到较佳的优化结果。总的原则应该在确保优化效果的前提下，尽可能地减少设计变量。null 在机械优化设计中，对某一种参数是否作为设计变量，必须考察这种参数是否能够控制，实行起来是否便利，制造加工成本如何，以及允许调整范围等实际问题。要把有关参数中对优化目标影响最大的那些独立参数作为设计变量，此外应力求选取容易控制调整的参数(如连杆机构中的杆件长度)作为设计变量。对有关材料的机械性能，由于可供选用的材料往往是有限的，而且它们的机械性能又常常需要采用试验的方法来确定，无法直接控制，所以作设计常量处理较为合理。null 那些根据以往经验或资料可确定的参数，受工厂条件限制无法随意变动的参效，也都应取作设计常量，对于应力、应变、压力、挠度、功率、温度等等设计者不能直接判断，而是一些具有一定函数关系式计算出的因变量，当它们在数学上易于消去时，也可不定为设计变量。但如果避免这种参数在数学上有因难测也可取为设计变量。 总之对影响设计质量的各种参数要认真，慎重合理地选取设计变量。目标函数的建立目标函数的建立 目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，用来评价设计的优劣程度。 对于不同的机械设计有不同的衡量评价。从使用性能出发，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，测量或运动传递误差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，尽可能满足某动力学参数要求等等。从结构型式出发，有要求重量最轻，体积最小等等。也有从经济性考虑，有要求成本最低，工时最少，产值最大等等。而且往往要求同时兼顾几方面的要求。null 一般说来，目标函数越多，设计结果越趋完善，但优化设计的难度也相应增加。实际使用中应尽量控制目标函数的数目，抓问题的主要矛盾，针对影响机械设计的质量和使用性能最重要、最显著的问题来建立目标函数，保证重点要求的实现，其余的要求可处理成设计约束来加以保证。约束条件的确定约束条件的确定 设计约束是考虑边界和性能对设计变量取值的限制条件，边界约束规定设计变量的取值范围，在机械优化设计中，先对每个设计变量都给出明确的上、下界限约束是完全可能的，实践证明也是很有益的。尽管其中某些约束会由于引入其它约束条件成为不起作用的消极约束，但对求解中确定计算初始点，估计可行区域，判断结果合理性等都会带来好处。null 在优化设计中，对于一个性能指标，可以取为目标函数，也可对定为设计约束(或称为性能约束)。例如机械设计中的强度条件、刚度条件、稳定性条件、援动稳定性条件等等。从计算角度上讲，约束函数的检验相对容易处理，因此可利用目标函数和设计约束可以相互置换的特点，根据需要灵活使用。 在确定设计约束时，一般可以比常规设计考虑更多方面的要求，例如工艺、装配、各种失效形式、费用、性能要求等等。只要某种限制能够用设计变量表示为约束函数〔包括经验公式、近似表达式等等)，都可以确定为约束条件。 当然不必要的限制，不仅是多余的，还将使设计可行区域缩小（即限制了设计空间)，进而会影响最优结果的获得。数学模型的尺度变换数学模型的尺度变换 数学模型的尺度变换，就是指改变各个坐标的比例，从面改善数学模型性态的一种技巧。设计变量的尺度变换 在机械优化设计中，有时各设计变量的量纲不同且量级相差很大，使运算过程中各个设计变量的灵敏度差别很大，从而造成计算过程的不稳定和收敛性很差，乃至出现“病态现象”，这时可通过尺度变换使设计变量无量纲化和量级规格化来加以消除。目标函数的尺度变换目标函数的尺度变换 目标函数尺度变换的目的，以二维问题为例，就是通过尺度变换使它的等值线尽可能接近于同心圆或同心椭圆族，减小原目标函数的偏心度、畸变度，以加快优化搜索的收敛速度。但在实际设计中因函数复杂，要实现理想的变换困难很多，目前一般还仅仅限于用通过设计变量尺皮变换，使各坐标轴的刻度规格化，进而对目标函数的性态产生一些好的影响。约束条件的尺度变换约束条件的尺度变换 在优化约束条件数很多时，常会造成约束函数值的数量级相差很大，有可能使计算结果误入歧途。为避免这种不正常情况，可将各约束条件式各自除以一个常数，使各约束函数的值均在（0，1）之间，称为约束规格化。以减小各约束条件与设计变量变化时的灵敏度差距，使问题得到一定程度的改善。null 但如果一个不等式约束条件是两个设计变量之间的比值函数，那么就没有一个合适的常数作为除数，在这种情况下，可以用变尺度后的设计变量来建立约束条件，或用一个可以改变其数值的变量来除此式，但千万注意不能因此而改变约束条件的性质。 实践证明，设计变量的无量纲化、目标函数性态的改善和约束条件的规格化，会加快收敛速度，提高计算的稳定性和数值变化的灵敏性，且为使用—般的通用程序带来方便。数据表和线图的处理数据表和线图的处理 在机械优化没计中，当需要引用各种图表给出的数据时，需编制查找和检取这些数据的专门子程序联入优化程序。常用的处理方法有： 1)当原数据出自理论计算公式时，可直接按原计算公式来编制程序。 2)当原数据虽没有理论公式，但有一定的函数关系并以一些离散点的函数值形式给出时，可用质值或曲线拟合的方法编制一个子程序。必要时为提高精度或简化函数表达式，可逐段进行拟合。null 3) 当原数据给出的是一组无一定函数关系的具体数字时，可把表中的数据以数组形式来标识存储。如齿轮的标准模数系列，是一维数表，可用一维数组来标识存储。数组括号中的标量就是相应模数的代码，如J＝3时，标识M＝2．5MM。在优化设计时，只要给定标识符的标量值，即可由直接拾取齿轮的模数数值。 4)对于线图资料，可用上述的方法2)或3)中的任一种来处理在可能的情况下，宜采用方法2)为好。 在使用图表资料引入近似公式时，要待别注意其数值应用范围，必须引入相应的可靠的约束条件，以保证计算机在优化始终是在有意义的范围内查找和检取数据。最优化方法的选择最优化方法的选择 机械优化设计中常用的一些优化方法，前面几章已作介绍，各种方法都有其待点和一定的适用范围。 选择优化方法应综合考虑： 1)设计变量是连续的还是离散的以及维数的多少。维数较低可选用结构简单易于编程的方法．维数高的则应选择收敛速度较快的方法。 2)目标函数是单目标还是多目标，目标函数的连续性及其一阶、二阶偏导数是否存在以及是否易于求得，对于求导困难或导数不存在的应避免求导而采用直接法。null常用优化方法的特点和应用范畴null 3)有无约束，约束条件是不等式约束，还是等式约束，还是两者同时兼有。如具有等式约束，显然不能直接采用复合形法，内点惩罚函数法。 随着近年来优化技术的发展，国外已建立各种优化方法的程序包，在国内也不准找到一些通用的优化程序。评价优化程序的准则主要有： 1)通用性。在合理的精度要求下，在一定的计算时间内，能求解出各种不同类型的优化问题的成功率。 2)有效性。对同一问题在同一精度同一初始条件下，求解优化问题所用计算时间的多少。null 3)简便性。指人们所需要准备的工作量大小、包括学习使用程序，编制针对具体优化问题的辅助子程序，程序中所需调用参数的多少，调试操作复杂程度，输入、输出控制方式等等。 实际使用中，除了个别简单问题和学习需要外，一般应尽量选用现有优化程序。因为使用通用优化程序，对不同类型的具体优化问题仅仅只要按规定格式编写目标函数相约束条件子程序。计算结果的分析与处理计算结果的分析与处理 由于机械设计问题的复杂性，或建模中可能的失误，对优化计算得到的结果要进行仔细的分析，有时还需要进行适当的处理，以保证设计的合理性。 对设计变量进行过尺度变换或离散型变量作为连续型变量来计算的，则需对其计算结果相应进行反变换和圆整为离散值的处理。 目标函数的最优值．是对计算结果进行分析的重要依据，将它与原始方案的目标函数值作比较，可看出优化设计的效果。若给几个不同的初始点进行计．从其结果可以大致判断出全局最优解。null 对计算结果得到的最优解，需要检查它们的可行性和合理性。 对于大多数机械优化设计问题。最优解往往位于一个或几个不等式约束的界面上，其约束函数值应等于或接近于零。若约束函数值全部不接近于零，即其所有的约束条件都不起作用，这时随一步研究所给约束条件对该设计问题是否完善、所取得的最优解是否正确。null 对各设计变量还可进一步作关于该设计方案的敏感度分析通过对某设计变量加、减一个小量后，计算其目标函数值和约束函数值，从其变比可看出此设计变量在该设计方案中的地位与作用。通过这佯对设计变量的逐个分析(皆取相同的增量值)，由其结果可明确哪些设计变量在生产制造中应给于特别重视，要从严控制。 对敏感度过高(设计变量的微小变化引起目标函数值的大起大落)的设计方案，在现有工艺水平难以保证时，则应重新选用其他合适的优化方案。 在机械优化设计的实际应用中、其最后的计算结果分析与处理，常是不容忽视的。特别是对设计变量的敏感度分析对进一步提高工程优比设计的质量很有意义。