Besov函数与Marcinkiewicz积分生成交换子的有界性问题

Besov函数与Marcinkiewicz积分生成交换子的有界性问 Besov函数与Marcinkiewicz积分生成交换 子的有界性问题 第22卷 2010拄 第2期 4月 黑龙江八一农垦大学 JournalofHeilongjiangBayiAgriculturalUniversity 22(2):9294 Apr.2010 文章编号:1002—2090(2010)02—0092—03 Besov函数与Marcinkiewicz积分生成交换子的有界性问题 刘庆国 (黑龙江大学数学科学学院,哈尔滨150080) 摘要:令b是Besov函数,是核函数满足,(0姐?1)条件的Marcinkiewicz积分,本文研究了由b和生成的交换子 从()到D(R)的有界性以及从(")到Triebel—Lizorkin空问的有界性. 关键词:Marcinkiewicz积分;Besov空间;交换子;Triebel—Lizorkin空间 中图分类号:O174.2文献标识码:A BoundednessofcommutatorsofBesovfunctions andMarcinkiewiczintegrals LiuQingguo (CollegeofMathematicalSciences,HeilongjiangUniversity,Haerbin150080) Abstract:LetbisBesovfunction,andisMarcinkiewiczintefralWhOSekenalsatisfy(O<a ?1)condition.Inthispaper,We studythecommutatorsCageneratedbyband肛isboundedfromLP(R)toLq(尺)andfron,()toTriebel—Lizorkinspaces. Keywords:Marcinkiewiczintegrals;Besovfunction;commutator;Triebel— Lizorkinspaces 1引言与结果 设S是R(nt>2)中单位球面,赋予Lebesgue 测度do'(x)=dx,()是R"中的零次齐次函数且满 足 ~gn-IQ(')dx'=0 其中=x/Ixl(V?O),函数力()还满足,(0<? 1)条件,即 JQ(')一Q(.),')JCIX"-Y'IVx',),'?S,. Stein在文献[1]中定义Marcinkiewicz积分如下 )=fw)J, 其中 )= , m 在文献【1】中,Stein证明了是强(p,P)型(1<p?2)及 弱(1,1)型. 文献【2】给出Marcinkiewicz积分交换子定义如下 扎,? 记?(c,?():6(?()((). 对0%8<1,1<p,q<oo,Besov空间?(R)是由满 足下列条件的函数厂组成的 , / 关于此空间的性质请参考文献【3—4】. 假设/,1/ s 刮up 1,)f), 即?()=(()()),其中Q是R上各边均平 行于坐标轴的方体 定理1.1设b?/i'(),0</3<1,l<q<p<w,? Lipa(O<ot?1),Cb是由(:l:)式定义的交换子,如果0< 卢g/(g—1)<n,q/(q-1)<d<n/fl,1/r=l/d嘶+l/p,男么C6 收稿日期:2009—12—20 基金项目:黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11541378),黑龙江大学学生学术科 技创新项[~(00970). 作者简介:刘庆国(1980一),女,黑龙江大学2007级硕士研究生. 第2期刘庆国:Besov函数与Marcinkiewicz积分生成交换子的有界性问题 (厂)是从(尺)到L(R)的有界算子. 定理1.2设b?一,其中Y(np)<13<min{1, 1/2+},2?g<..,设c是由()式定义的交换子,若 d>2q/(q一2)那么?是从到脚的有界算子. 2定理的证明 弓I理2.1【5】设厂?LP(R),1<p<nla,若1/q=l/p—od n,则存在常数c=c(,P,q),使得 ll(厂)IIqCll,. 定理1.1的证明:由力()是R中的零次齐次函 数及其满足L/p(0<?1)条件,知()是有界的.利 用Minkowski不等式有 c(,)()= f,,l一,::,(y)l;j c f《 ()一b(x—z)lls(~一z)I ———F广一出 ]2 ?c比 cf妇lZl = c 因此C?的L范数满足 --c川,?cI~XlL:因为q>l,在上式中对变量Y运用Hslder不等 式有' Cb<f)ll,?C r r 因为d<n/fl,11r=11d-illn+l/p,则p/r>1,在上式中 对变量x运用HSlder不等式有 , 卜10 pr(q-1)/q(p-r) dX 0'/ 因为l<q<p<w,则p/q>l,对上式的第一个因子 运用Minkowski不等式有 卜 C = C 我们 d<号,}=一n+P可以得到%=一 上 n,由引理2.1有 pr(q-1)lq(p-r) dx 厂=g)_r)<CIIg[…(q-l)lq,r_<Cllfll . 综上所述,我们有 IIc~(f)ll,Cllbll册ll, 定理1.1得证. 引理2.2问设Q为上的一个方体,a为任意 实数,我们有 l厂一厂Ql<2I,I, 1 其中JQ厂 引理2.3n设1<p<?,是MuckenhouptAp权函 数类,则存在与. 厂,b无关的常数c=c(oJ),使得 llfl(f)Cll厂II 引理2.4181设b?ad',对于0<1,1<g<?, 我们有 面面 【JQIboIJIIbII&. 毒I理2.5[9】对手0</3<1,1<?,我们有 ls』Q?厂?定理1.2的证明:任意固定方体Q=Q(xQ,r), 为Q的中心,并且取任意的?Q,对于I厂?Ld(尺),令 :.,fi=f-A,注意到Cb(厂):c口(厂),我们有 ? 哚一 黑龙江八一农垦大学第22卷 D=(,)(y)一(C(厂))QI = 』Ql,I c c 一 .(,)()})一(c一.(,))Q 由引理2.2得到 D?2JDI一(,)()一, 其中a为任意的实数.我们令 a=fl((b—be)厂2), 从而我们有 D2『..(,)(y)一一bQ)f2~xQ)dy CIQ[(b(Y)一b.)(,)(y)+cJ一bQ))=y) +cfQJsuP((易一)1)')一?一))=)I :I+II+III. 首先估计I,利用H~lder不等式及引理2.4,我 们有 c((),)——-cf)(-,z(,)()-,Ig—1)b,)一 <_ CiQJ""""【,)(.】 ~CIQIl+fl/n-l/pllMq/(q-1)(I(川)() 再来估计?,利用HNder不等式及引理 2.3,2.4,我们有 IIc6一bQ),1】f:lOI" c一)Q『1『=cf上.()一bQ)f(]112IQ scIb一『2.Im)i2ql(q-2)dy)(q-2)/2qI Cl20I~ln-I/p+l/qllbI20 fi-~QlI2QIf(y)12q/(q-2)dy]'一??./2 CIall+~ln-ll:『IbII^々M2g一 2)(,)(). 一 1他 一 扯IxQ-zl-蚓dt" dt t3 :ly-zl- f,IxQ-zl<-t,ly-zl_<If一ll((b-bQ),2j 因为S与有相同的形式,故此仅考虑S.因 为n()有界且kIyI,利用Minkowski不等式及 引理2.4,我们有 . c l::f一.,.一:.]rz ?C )lIY一 一 zI3/2 c』2kQ\2~'-iQ212Oi,Ib(z)一,(z)ldz ?c~:2-k/212kQr(Q,一Q-cz,一Qz了 (,I2kO\2~iQI(z)-一I)c,z](一'' <c2'2a.2a""".2a [南kJ,(zIJ ?c荟2Q"肘_1)(,)( <CIQIIIbIIMq/(q-1)(,)()? 同理有 S2CIOtflln-llpIlbllMq/(q-1)(f)()? 下面估计S,,因为XQ,y?Q,z隹2Q,并注意到 (一.)flf2(y—z)lf IIxQ—zI一IY—zI一fIf~(xo-z)II一 +(一吣J=A+ 因为()有界J~ly-zl,I(广zI,易得 A?C口一YQ—zr 0一Zin-xIY—Zl一 lXQ—YIc In—zl 由()是零次齐次函数且满足L/p(0<?1)条 fQ(嚣H曷] . XQ-z I一Yz 等IZI,lQ—zll—IIQ— (下转第110页) ,r 一 一,一 寺 Nl一一. ,,??,?一, ,,??????,/ ,, Z ,r^ . 2 , ,, Q 6 一 凸 , 一一zfI 中 其?一 0 r? 知= 易 110黑龙江八一农垦大学第22卷 (上接第94页) 所以 . 1一ZI' 再根据Minkowski不等式,我们有 , ?c f:_::—(一.,,.一:,] 因为ly—zI,lzI,所以 f,f<Jf y一tQ—zt?rf./I一 因此 C ffIJ1zf?f,Ixe-z1f3 Q—Z1' ],2 c Q + c 第= U+. 类似S估计方法,可知 U~CIQIIlbllMq/(q-1)(,)(). 利用HNder不等式及引理2.4,我们有 c?k=2 』2Q\2~:-IQ2l2OI一I(z)一)I c(I2eQ\2e_lQIb?-beIq)】佃 .. (f2kQ\2~-IQ,(Z)Iq/(q-1)疵佃 c22一…'IOi-1I2kO[fl/n-l/p+l/qllbll -2 k Q =2 -c—l,l -- ~lfkklIf(z)[q/(q-1)dz,f,' <CIQIfl/n-l/plibIIh~Mq/(q_1)(,)() 所以 S3~CIQI卢IMql(q-1)(厂)() 因此 III<CIaII+/~/n-l/PllbIIUq/(q-1)(,)(). 综上所述 …圳 ??], 即 而,f(厂)一(厂)f<CIIbIIx~, (^.,(.一1)(,))()+M2/(一2)(,)()+Mq一1)(,)()) 上式两边同是对于所有包含的方体Q取上确 界,再取范数,由引理2.5及腑(厂)()的有界性, 有 (JCIIbII厂IId, 定理1.2得证 参考文献: [1]SteinE.M..OnthefunctionsofLittlewood—Paley,Lusin, andMarcinkiewicz[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1958,88: 430—466. [2]TorchinskyA..WangS.L.,AnoteontheMarcinkiewiez integral[J].Colloq.Math..1990,60-61:235-243. 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