2011信息安全数学基础试题A-答案

2011信息安全数学基础试题A- 计算机学院2010—2011学年《信息安全数学基础》考试试卷答案 A卷 闭卷 考试时间: 2011 年 7 月 8 日 专业 班级 学号 学生姓名 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核对人 题分 5 15 10 40 15 15 100 得分 一. 证明:若，则.(5分) mpmnqp,，|()mpmqnp,，|()得分 评卷人 证: mqnpmpqnmnqp，,,,，，()()() 得分 评卷人 xyz，，,2320,二. 求线性方程组的整数解.(15分) ,33425xyz，，, , 解:将代入2式可得,其有特解,yz,,,70,35xyz,,,20233535yz，,00故的解为:,从而 3535yz，,ytzt,，,,,705,353xyzt,,,,,,202315 得分 评卷人 x,1(mod8), ,24(mod10)x,三.求解同余式组.(10分) , ,x,7(mod15), x,1(mod8)x,1(mod8),, ,,x,2(mod5)解:原同余式组等价于,同余式组有解,因而进一步等价于,根据中,, ,,x,7(mod15)x,7(mod15),,国剩余定理,可得解 x,97(mod120) 得分 评卷人 四(求解同余式。 2(1)(10分) x,62(mod401). 62231,,,,,,解:计算Jacobi符号,故二次同余式无解。 ,,,,,1*(1)1,,,,,,401401401,,,,,, 201142(2)(15分) 2113750(mod45).xxxx，，，, 342,xxx，，,320(mod5)342解:原同余式等价于: ,由可得xxx，，,320(mod5),20114234750(mod9)xxxx，，，,, x,0(mod5). 201142201142 由34750(mod9)xxxx，，，,,可得34750(mod3)xxxx，，，,,即 1 20103,由,有,以代入,从而xt,3x,,0,1(mod3)f'(0)5,fxxxx'()603316145,，，，1 ,得到,得到一个解为ftftt(0)3'(0)0(mod9),150(mod9),50(mod3)，,,,即所以t,0(mod3)1111 .又因为有,以代入,从而xt,,，13x,0(mod9)f'(1)6008,,1 ,得到,得ftftt(1)3'(1)0(mod9),3(6008)0(mod9),120(mod3),，,,,，,即3+所以t,1(mod3)1111 到一个解为. x,2(mod9) 根据中国剩余定理得原同余式的解为: . x,0,20(mod45) 36(3).(15分) x,2(mod13) 解:先判断2是模13的原根。进而， ，从而， x,4,12,10(mod13)3ind6(mod12)ind2,6,10(mod12)xx,,, 3得分 评卷人 五(已知3是模17的原根，求出模的全部4次剩余. (15分) 17 3,(17) 333(4,(17)),a,1(mod17)解: 是模17的4次剩余,当且仅当,因此可寻找一个a 3,(17)230121155b,阶为1717*4的元素,所有的模的全部4次剩余可示为. bbbb,,,,？3(4,(17)), 324b17首先证明3也是模17的原根,所以也是的原根，3的阶为1156，为所求的. 得分 评卷人 六(判断题(15分) Z[]x(1)有限域中元素x的阶为15. [错误] 4322xxxx，，，，1 2(2)不存在元素个数为2*29的有限域. [正确] 2x，1(3)多项式是不可约多项式. [错误] 3xx，，1Z[]x(4)多项式在域中恰好有3个根. [正确] 32xx，，1 (5). [错误] ZpQ.(p是素数)是有理数域的子域p 2