关于摩擦力的功的佯谬

即当 �二羊左二 , 左 时 � 乎 化二, 左石, 凡二, 因而 , 由 ! ∀ 和 # ∀ , 得 石羊。, 。声羊。 田广 ∀ 二 ∃ % % ∀ � 哲 凡飞, 左飞, 左飞, 。 ,’ ∀ & ∋ 左飞羊左二 , 左毛羊 。, 。 ,, 羊。∀ % ( ∀ % % ∀ 和 %( ∀ 正是我们耍证明的 。 关于摩擦力的功的佯谬 米 克 秒 功是基本的力学概念之一 。 力 矛所作的 机械功定义为 「末 , , · ) 、 召四 & 犷 一 ∗ + , 冲 && % , ‘ + , 曦+ , − . 少∗ 始 式中 /+ 是力 0 的作用点的位移。 这 一 切看 起来似乎十分简单明了 。 然而 , ‘“作用点 ” 一词颇有点讲究 , 不把它弄清楚 , 有时就会 遇到困难。 试看光滑水平面上沿同一方向平动的两 个物体 图 % ∀ 。物体 工速度较快 , 它尾部的 钩子与物体 1 的上面接触。 图娜和图.2分 别是前后两时刻的形象。 从图 %3 到图 %2 这 段时间里 , 物体 %% 对钓子的摩擦 力 ,. 作 功 4 5 & 一 0 .6 . , ( ∀ 钩子对物体 1 的摩擦力 0 7 所作的功 似 乎是 4 8 & 9 0 8 : ( 9 6石∀ , ; ∀ 由于 0 , & 0 8 , 6 7 & : ( 9 6三, 将式 ( ∀与 ; ∀ 相加即得 4 < 9 叭& => 按照动能定理 , 上式意味着两物体之间的滑 动摩擦并不改变系统的动能 。 这显然是荒谬 的 , 因为滑动摩擦必将部分动能转化为热 。 如何消除这个佯谬了笔者曹经指出 ? <∗ , 功的定义 中的 “作用点” 应理解为力所作用 的质点 , “作用点的位移 ” 应理解为 力所作 用的质点的位移 。 事实上 , 功这个概念在力 学中之所以重耍就因为存在动能定理 , 而动 能定理的推导大略如下 / ‘ + ’ 。 + & 琳。 , 华 + & 爪 一而一 ’ 3 + / + 二 ≅ Α了云一 ’ 只少 二 ≅ 砂 ‘ 3 砂 , Β %二二 3 口勺一 刃忽Χ ‘Δ ( 兀 九犷.,了Ε矛,‘ 斗· 可 弓 ‘2 ∀ 片六衡又 由此可见 , 功的定义中 的/ , 应该指力所作用的 质点的位移。 在图 % 中 , 6 , 确是 , 7 所 作 ,用的质点 的位 移 , 所以式 ( ∀ 是正 确的 。 至 于 形 井不是 0 7 所作用的质 点 的位 移 , 它仅 仅 表明 0 7 从 作用于质点 Φ 转移到作 用于质点 Γ , 这种作用 点的转移不应包括在功的计算中。 扣除月以 后的箕正的位移是 6 7 。 事实上 , 在此期 间 , 物体 1 的一切质点的位移 都 是 夕( 。∀ 这样 , 式 ; ∀ 是错误的 , 它应修正为 4 8& 9 人气 , ! ∀ 将式 ( ∀ 与 ! ∀ 相加即得 4 7 9 4 8&& 二 08 : % 一 : ( ∀ & 一 08 6‘Η ∃ , 这才是正确的结果 。 > 用瞬时功率的积分来计算也得同一结果 计算各个变 力的功 , 然后求其总和 。 这就提 本不涉及作用点的转移问了。 现以图 % 为 4 8 为 例来琳明 。 一 取 Ι 轴固结于物体耳昨上 > 心卜认陇∀ 夏一 沙挤心 五 1 ϑ 姚 ‘才∀ Κ 8 一∗0 8一“ 二 、‘8∗碗“一‘(一 最近 , 有位作者 ?7% 提出力的作用点的转 移仍应包括在功的计算中 。 前面已指出这种 计算与动能定理有矛盾。 于是 , 这位作者又 说动能定理的公认形式 先研究从 ϑ 到夕9 /夕这个小区 力 0 � Ι 夕∀ /夕, 这是随时间而 ∀∋擦;摩图的Ι 受力面所的表间变 , ( % 召昨 二二 召. 沈, Λ儿沙‘Δ 8 : ∀ 0 � Ι 夕∀ /夕& ∃ �Η �。或�Μ �。 9 / �∀ , 0 7 � , Η �Η ‘, 9 / �∀ , 不大确切而应修订为 ‘Κ & ‘ 冬。 Ν 8、9 + , ‘, , , Ο ∀、 ‘ Β 共中 女 广 是办 ,的作用点的转移 , 而0 · /+ ‘表 示转化为其他形式的能量 。 这种修订在图 % 的例中似乎尚能 自圆其说 。 然而 , 试看另一 其 中 � , 和 �。 十 由 分别是钩子接触 , 和梦 9 介 的时刻 , 显然 /落& /夕Β 「Ν Ι � , ∀ 一 “7 � 7 ∀.。 引 用 占函数的记号 , 0 � Ι夕∀/夕了 0 8/ �占 � 一 � , ∀ 。 Λ ∀ 此力所作的功 一∗Ι’ , (“3 ‘一 ‘, ∀‘一‘(“Π7’”“ 一 ‘· ,‘了 + ‘ , / Θ .二几/� Ρ ‘ 二于 Σ 占 Θ 一 场 ∀ / Θ一 ‘ (一 “ ∗∋ /� Σ, · , , 一 、一 “’一 ) 二 , (一 , , ∀ “‘∗7’‘ 一 , ‘一了7 一 ‘· , / ‘ 图 ( 个例子 , 匀质圆柱体沿固定斜面无滑动滚 一Τ 图 ( ∀ 。 在某段时间里 , 圆柱恰好滚动一 周 , 它对斜面的摩擦 力 0 7 从 斜 面上的质点 Φ 转移到质点 Γ , 按照这位作者的说法 , 这 摩擦力作功 了( , ‘, 拜且这部分功转化为其他 形式的能量 , 而这只能是转化为热 。 这就说 不过去 了 , 因为大家知道在这个例子中机械 能守恒 , 井无机械能转化为热的现象。 其实 , 我们完全可以换一个角度来看问 题 , 认为物体上各质点各受变力作用 , 分别 二二 0 8 Ν 7 � , ∀ /夕 ) Υ 5 ‘, ∀ 一 Ν 8 ‘, ∀ ’ ς ∀ 式 中Θ , 是钩子接触 夕时物体 1 相对于图 %‘的 位移 。 物体 1 的整个上表面所受摩擦 力所作 的功应是式 ς ∀ 的总和 , 即 %’ , 尸 , 王 ,ΤΤ 7 二 飞 ∗ ( Ν ( 弋‘, ∀∗ 少 , ∃ / 夕 Ν Ω ‘, ∀ 一 Ν , , 梦∀ , 在我们所研究的这段时间里 , 区间 梦Η 梦泳和 夕Μ 夕, 始终未受摩擦力作用 , 所以 ϑ · 夕刀 � 夕( ‘, ∀ > 夕 冲 , 刁 /夕 砂 % � , ∀ , ” 7 冬, 沐Ξ 一了(丁, Ν 8 � ∀‘丢, # ∀ 主式右端的积分正是从钩子接触 Φ 起 , 直到 钧子接触 Γ 为止这段时间里物体 1 的 位 移 6 7 , 所以4 8 & 0 86 8 , 与式 ! ∀ 一致 。 总之 , 功的定义中所说的 “作用点的位 移 ” 应理解为力所作用的质点的位移 , 动能 定理的公认形式是正确的 , 不应加以修改 。 至于转化为其他形式的能量这个问题不应单 从 4 7 或单从 4 7 去看 , 而应从 4 Ι 9 4 7 去 着。 如果 Κ 7 了命 ( 二。, 即物体 < 所损 失 的 仲心 动能<4 7 Σ等于物体 %% 所获得的动能 4 7 , 动 能井没有转化其他形式的能量 。 如 果 4 7 干 4 7 Η Ε , 即物体 1 所获得的动能 4 7 少 于物 体 < 所损失的动能 Σ4 , ., 则有 Σ4 . 9 4 7 Ρ的 动能转化为其他形式的能量 。 参 考 文 献 〔% 〕 梁 昆盛 , “教学通讯 ” 理科版 % # ς (年第 Ο期 ) “力 的作用点的转移 ” 。 〔7 〕 张之翔 7 。 大琴物理 ” , 。ς ; 年第 (期 ·摩擦力 作 功与功能原理 ” , 电磁感应定律两种表述的等价性 黄 、 宗 镇 在 《大学物理》 上读到两个有关电磁成 应佯谬的例子 见《大学物理》% # ς ( , ( , Ψ(% 图 ‘及图 “’, 笋及到电磁威应定律两种表述的适用条件和所受的限 制是否相同 、 两种表 远是否等价问题 。 我们知道 , 电磁威应有两 大类型—切割磁力线型和磁场变化型 。 切割型的威应 电流是磁场中随导体运动的电荷 在洛奄兹力的作用下形成的 。 导体中的动生 一 Α Α 、 , ) + 0磁 , , 0 ) ) 。 、电动势为 Ζ 动 二 .一鲁 一 /. 二 . 。 Θ Γ ∀ · .. 。一 > > > , > > 一 ∗ 一 Ζ ∗ ‘场变型的威应电流是在变化的磁场激发的电 场作角下形成的 。 回路中的咸 生 电 动 势为 · ’ 7 + ) ) ) + 3 Γ ) )“‘ 二少7 巍 · ∗‘二 一 %7 亩一 ““ 。 任一种类型的电磁威应都可使回路的磁 通量发生变化 。 切割型和场变型的电磁咸应 定律可分别 写 作 。动 & 姜 。 、 Γ∀ , “ 二 定祝为 。一 。。 十 。动一手。一给 · 汉7 十, 诊 , ∗ 手+ 〔·、 , 卜 /. 一[李 一∀9 一华∀·‘护 上 口 , , , + 由于/ 中感与/中动在产生威应 电功势方面的等 价性 , 我们可以不必去区分是哪一种 类型的 磁通变化 。 电磁威应定律可写作 。& 一丢 一华 , 、7 9 手 。 Θ Γ , , ∗ ,∗ 6 Υ ‘ ∗ 乙 /中 一 一 /乙 式中 ς 为总电动势 , /中 为 总 磁通变化 , 即 / 中感 与 / 中动 之和 。 我们把 ) −面的式子写成两个 , 这就是电 磁威应定律的两种表述 。一尹7 犷 · “, ·手 。 Θ , ∀ · /‘ % ∀∗ − 一鲁及 。感一币。 一犷 · 、, >∗ 5∗ / 必感/ � / 中Ζ & 一 Α % 丁任 ‘ ( ∀ 若两种类型的电磁威应同时存在 , 电磁咸应 ( ∀ 式通常称为法拉第电磁感应定律 。 ,从