高三数学正弦定理、余弦定理及其应用

正弦定理、余弦定理及其应用 考试要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 正、余弦定理的五大命题热点 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。在近年高考中主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 中， ，BC＝3，则 的周长为（ ） A． 　　　　　 B． C． 　　　　　　 D． ：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果． 解：由正弦定理得： ， 得b＋c＝ [sinB＋sin( －B)]＝ ．故三角形的周长为：3＋b＋c＝ ，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝ ，周长应为3 ＋3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)． 例2(2005年全国高考湖北卷) 在ΔABC中，已知 ，AC边上的中线BD= ，求sinA的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA． 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且 ，设BE＝x 在ΔBDE中利用余弦定理可得： ， ，解得 ， （舍去） 故BC=2，从而 ，即 又 ， 故 ， 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状． 例3 在 中，已知 ，那么 一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由 ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)． 解法2：由题意，得cosB＝ ，再由余弦定理，得cosB＝ ． ∴ ＝ ，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)． 三、 解决与面积有关问题 主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4 在 中，若 ， ， ， 则 的面积S＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝ AB•ACsinA即可解决． 解：由余弦定理，得cosA＝ ，解得AC＝3． ∴ S＝ AB•ACsinA＝ ．∴ AB•AC•sinA＝ AC•h，得h＝AB• sinA＝ ，故选(A)． 四、求值问题 例5 在 中， 所对的边长分别为 ， 设 满足条件 和 ，求 和 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理． 解：由余弦定理 ，因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理 解得 从而 五、正余弦定理解三角形的实际应用 利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下： （一.）测量问题 例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。 分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定。 解析：由正弦定理得 ，∴AC=AB=120m，又∵ ，解得CD=60m。 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。 （二.）遇险问题 例2某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？ 解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上。 在△ABC中，可知AB=30×0.5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7.5。 这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 （三.）追击问题 例3 如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°　 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南　　 偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航 行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设∠ABC=α，∠BAC=β。 ∴α=180°－45°－15°=120°。根据余弦定理 ， ， ，（4t－3）（32t+9）=0，解得t= ，t= （舍） ∴AC=28× =21 n mile，BC=20× =15 n mile。 根据正弦定理，得 ，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin ，又 ＜ ＜ ，∴arcsin ＜ ， ∴甲船沿南偏东 －arcsin 的方向用 h可以追上乙船。 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 五、交汇问题 是指正余弦定理与其它知识的交汇，如与不等式、数列、立体几何(特别是求角与距离)、解析几何、实际问题等知识交汇． 例6　△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列， （Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设 ，求a＋c的值. 分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等． 解：（Ⅰ）由 由b2=ac及正弦定理得 则 （Ⅱ）由 ，得ca•cosB＝ ，由ㄋB＝ ，可得ac＝2，即b2＝2． 由余弦定理b2=a2+c2－2ac+cosB， 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5. 易错题解析 例题1　在不等边△ABC中，a为最大边，如果 ，求A的取值范围。 错解：∵ 。则 ，由于cosA在（0°，180°）上为减函数 且 又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是 为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。 又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2　在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状。 错解：由正弦定理，得 即 。 ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。 辨析：由 ，得2A＝2B。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得 ，∴2A＝ 或 。 ∵ 或 。 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 例题3　在△ABC中，A＝60°，b＝1， ，求 的值。 错解：∵A＝60°，b＝1， ，又 EMBED Equation.2 ， ∴ EMBED Equation.2 ，解得c＝4。 由余弦定理，得 EMBED Equation.2 又由正弦定理，得 。 ∴ 。 辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。 正解：由已知可得 。由正弦定理，得 。 。 例题4　在△ABC中， ，C＝30°，求a＋b的最大值。 错解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。 由正弦定理，得 ， 又∵ ∴ 。 故 的最大值为 。 辨析：错因是未弄清A与150°－A之间的关系。这里A与150°－A是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。 由正弦定理，得 因此 ∴a＋b的最大值为 。 例题5　在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求A。 错解：由余弦定理，得 ∴ 。 又由正弦定理，得 而 。 辨析：由题意 ，∴ 。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。 正解：同上 ， 。 例题6　在△ABC中， ，判断△ABC的形状。 错解：在△ABC中，∵ ，由正弦定理 得 ∴ ∴A＝B且A＋B＝90° 故△ABC为等腰直角三角形。 辨析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。 正解：在△ABC中，∵ ，由正弦定理， 得 。 ∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。 例题7　若a，b，c是三角形的三边长，长为 的三条线段能构成锐角三角形。 错解：不妨设 ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。 。 由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 ，即 。 ∴长为 的三条线段能构成锐角三角形。 辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。 正解：由错解可得 又∵ 即长为 的三条线段能构成锐角三角形。 高考展示 1、（06湖北卷）若 的内角 满足 ，则 A. B． C． D． 解：由sin2A＝2sinAcosA(0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA(0， 又 ，故选A 2、（06安徽卷）如果 的三个内角的余弦值分别等于 的三个内角的正弦值，则 A． 和 都是锐角三角形 B． 和 都是钝角三角形 C． 是钝角三角形， 是锐角三角形 D． 是锐角三角形， 是钝角三角形 解： 的三个内角的余弦值均大于0，则 是锐角三角形，若 是锐角三角形，由 ，得 ，那么， ，所以 是钝角三角形。故选D。 3、（06辽宁卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 的大小为 (A) (B) (C) (D) 【解析】 ，利用余弦定理可得 ，即 ，故选择答案B。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰 的腰为底的2倍，则顶角 的正切值是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：依题意，结合图形可得 ，故 ，选D 5、（06全国卷I） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 ，则 A． B． C． D． 解： 中，a、b、c成等比数列，且 ，则b= a， = ，选B. 6、06山东卷）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A= ,a= ,b=1，则c= (A) 1 （B）2 （C） —1 （D） 解：由正弦定理得sinB＝ ，又a(b，所以A(B，故B＝30(，所以C＝90(，故c＝2，选B 7、（06四川卷）设 分别是 的三个内角 所对的边，则 是 的 （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：设 分别是 的三个内角 所对的边，若 ， 则 ，则 ， ∴ ， ， 又 ，∴ ，∴ ， ， 若△ABC中， ，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到 ， 所以 是 的充要条件，选A. 8、（06北京卷）在 中，若 ，则 的大小是___________. 解： (a(b(c＝5(7(8设a＝5k，b＝7k，c＝8k， 由余弦定理可解得 的大小为 . 9、（06湖北卷）在 ABC中，已知 ，b＝4，A＝30°，则sinB＝ . 解：由正弦定理易得结论sinB＝ 。 10、（06江苏卷）在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得， 解得 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理 11、（06全国II）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ． 解析: 由 的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C= 可得 AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得 。 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ 中，已知 ，三角形面积为12， 则 . 解：由三角形面积公式，得 ，即 ． 于是 从而应填 ． 13、（06湖南卷）如图3,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD= ,∠ABC= . （1）证明 ; （2）若AC= DC,求 的值. 解：(1)．如图3， ， 　　即 ． （2）．在 中，由正弦定理得 　　　　由(1)得 ， 　　　　即 ． 　　　　 14、（06江西卷）在锐角 中，角 所对的边分别为 ， 已知 ， （1）求 的值； （2）若 ， ，求 的值． 解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝(， ，所以cosA＝ ，则 （2） ，则bc＝3。 将a＝2，cosA＝ ，c＝ 代入余弦定理： 中得 解得b＝ 15、（06江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形， M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G， 设(MGA＝(（ ） （1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为(的函数 （2）求y＝ 的最大值与最小值 解：（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心， 所以 AG＝ ，(MAG＝ ， 由正弦定理 得 则S1＝ GM(GA(sin(＝ ，同理可求得S2＝ （2） y＝ ＝ ＝72（3＋cot2(）， 因为 ，所以当(＝ 或(＝ 时，y取得最大值ymax＝240 当(＝ 时，y取得最小值ymin＝216 16、（06全国卷I） 的三个内角为 ，求当A为何值时， 　取得最大值，并求出这个最大值。 .解: 由A+B+C=π, 得 eq \f(B+C,2) = eq \f(π,2) － eq \f(A,2) , 所以有cos eq \f(B+C,2) =sin eq \f(A,2) . cosA+2cos eq \f(B+C,2) =cosA+2sin eq \f(A,2) =1－2sin2 eq \f(A,2) + 2sin eq \f(A,2) =－2(sin eq \f(A,2) － eq \f(1,2))2+ eq \f(3,2) 当sin eq \f(A,2) = eq \f(1,2) , 即A= eq \f(π,3) 时, cosA+2cos eq \f(B+C,2)取得最大值为 eq \f(3,2) 17、（06全国II）在 ,求 （1） (2)若点 解：（1）由 　由正弦定理知 （2） ， 由余弦定理知 18、（06四川卷）已知 是三角形 三内角， 向量 ，且 （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，求 解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。 （Ⅰ）∵ ∴ 即 , ∵ ∴ ∴ （Ⅱ）由题知 ，整理得 ∴ ∴ ∴ 或 而 使 ，舍去 ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 19、（06天津卷）如图，在 中， ， ， ． （1）求 的值； （2）求 的值. 本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解　　决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理， EMBED Equation.DSMT4 那么， （Ⅱ）解：由 ，且 得 由正弦定理， 解得 。 所以， 。由倍角公式 ， 且 ， 故 . 20、（07重庆理5）在 中， 则BC =（ ） A. B. C.2 D. 【答案】：A 【分析】： 由正弦定理得： 21、（07北京文12理11）在 中，若 ， ， ，则 　 解析：在 中，若 ， ，∴ A 为锐角， ， ，则根据正弦定理 EMBED Equation.DSMT4 = 。． 22、（07湖南理12）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，b= ， ，则 ． 【答案】 【解析】由正弦定理得 ，所以 23、（07湖南文12） 在 中，角A、B、C所对的边分别为 ， 若 ，则A=　　　　　. 【解析】由正弦定理得 ，所以A= 24、（07重庆文13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝ 。 【答案】： 【分析】：由余弦定理得： 24、（07北京文理13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标 是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全 等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小 的锐角为 ，那么 的值等于 ． 解析：图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则 ， ∴ 两条直角边的长分别为3，4， 设直角三角形中较小的锐角为 ，cosθ= ，cos2θ=2cos2θ－1= 。 25、（07福建理17）在 中， ， ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 最大边的边长为 ，求最小边的边长． 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ） ， ． 又 ， ． （Ⅱ） ， 边最大，即 ． 又 ， 角 最小， 边为最小边． 由 且 ， 得 ．由 得： ． 所以，最小边 ． 26、（07广东理16）已知 顶点的直角坐标分别为 ， ， ． （1）若 ，求 的值； （2）若 是钝角，求 的取值范围． 解析： （1） ， ，若c=5， 则 ， ∴ ，∴sin∠A＝ ； 2）若∠A为钝角，则 解得 ，∴c的取值范围是 ； 27、（07海南宁夏理17）如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ．现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ． 解：在 中， ． 由正弦定理得 ． 所以 ． 在 中， ． 28、（07湖北理16）已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ． （I）求 的取值范围；（II）求函数 的最大值与最小值． 本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ， 则由 ， ，可得 ， ． （Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． ， ， ． 即当 时， ；当 时， ． 29、（07全国卷1理17）设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ． （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）求 的取值范围． 解：（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ， 由 为锐角三角形得 ． （Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 由 为锐角三角形知， ， ． ，所以 ． 由此有 ， 所以， 的取值范围为 ． 30、（07全国卷2理17）在 中，已知内角 ，边 ．设内角 ，周长为 ． （1）求函数 的解析式和定义域； （2）求 的最大值． 解：（1） 的内角和 ，由 得 ． 应用正弦定理，知 ， ． 因为 ， 所以 ， （2）因为 ， 所以，当 ，即 时， 取得最大值 ． 31、（07山东理20）如图，甲船以每小时 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，当甲船航行 分钟到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结 ，由已知 ， ， ， 又 ， 是等边三角形， ， 由已知， ， ， 在 中，由余弦定理， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． ． 因此，乙船的速度的大小为 （海里/小时）． 答：乙船每小时航行 海里． 解法二：如图，连结 ， 由已知 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 在 中，由余弦定理， EMBED Equation.DSMT4 ． ． 由正弦定理 ， ，即 ， ． 在 中，由已知 ，由余弦定理， EMBED Equation.DSMT4 ． ， 乙船的速度的大小为 海里/小时． 答：乙船每小时航行 海里． 32、（07山东文17）在 中，角 的对边分别为 ． （1）求 ； （2）若 ，且 ，求 ． 解：（1） 又 解得 ． ， 是锐角． ． （2） ， ， ． 又 EMBED Equation.DSMT4 ． ． ． ． 33、（07上海理17）在 中， 分别是三个内角 的对边． 若 ， ，求 的面积 ． 解： 由题意，得 为锐角， ， ， 由正弦定理得 ， ． 34、（07天津文17）在 中，已知 ， ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解：在 中， ， 由正弦定理， ．所以 ． （Ⅱ）解：因为 ，所以角 为钝角，从而角 为锐角，于是 ， ， ． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． 35、（07浙江理18）已知 的周长为 ，且 ． （I）求边 的长； （II）若 的面积为 ，求角 的度数． 解：（I）由题意及正弦定理，得 ， ， 两式相减，得 ． （II）由 的面积 ，得 ， 由余弦定理，得 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ． 36、（07天津文理15） 如图，在 中， 是边 上一点， 则 . 【答案】 【分析】法一：由余弦定理得 可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 又 夹角大小为 ， ， 所以 . 法二：根据向量的加减法法则有: ,此时 . 图1 A B C D 西 北 南 东 A B C 30° 15° 图2 图3 A B C 北 45° 15° 图3 A β α C D B 北 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 甲 乙 北 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 乙 甲 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� _1212495807.unknown _1213797184.unknown _1242893249.unknown _1242980982.unknown _1243066158.unknown _1243152388.unknown _1268309896.unknown _1268311942.unknown _1268312594.unknown _1268313311.unknown _1268314348.unknown _1295786483.unknown _1268313443.unknown _1268314150.unknown _1268313388.unknown _1268312617.unknown _1268313297.unknown _1268312607.unknown _1268312013.unknown _1268312047.unknown _1268312342.unknown _1268312001.unknown _1268310770.unknown _1268310966.unknown _1268310967.unknown _1268310800.unknown _1268309962.unknown _1268310018.unknown _1268310186.unknown _1268309954.unknown _1244211459.unknown _1246525026.unknown _1247507632.unknown _1247507703.unknown _1247507846.unknown _1246525116.unknown _1247496721.unknown _1244211463.unknown _1244211465.unknown _1244211467.unknown _1246471719.unknown _1244211466.unknown _1244211464.unknown _1244211461.unknown _1244211462.unknown _1244211460.unknown _1243152914.unknown _1244211457.unknown _1244211458.unknown _1244211455.unknown _1243152780.unknown _1243152860.unknown _1243152418.unknown _1243066389.unknown _1243085754.unknown _1243152288.unknown _1243152290.unknown _1243152343.unknown _1243152289.unknown _1243143465.unknown _1243152286.unknown _1243152287.unknown _1243145133.unknown _1243145142.unknown _1243143490.unknown _1243143345.unknown _1243143353.unknown _1243113038.unknown _1243113306.unknown _1243113409.unknown _1243113136.unknown _1243089975.unknown _1243066484.unknown _1243081249.unknown _1243076716.unknown _1243076846.unknown _1243076939.unknown _1243076940.unknown _1243076938.unknown _1243076831.unknown _1243066570.unknown _1243066575.unknown _1243066531.unknown _1243066451.unknown _1243066471.unknown _1243066432.unknown _1243066272.unknown _1243066311.unknown _1243066330.unknown _1243066298.unknown _1243066189.unknown _1243066202.unknown _1243066168.unknown _1243065766.unknown _1243066060.unknown _1243066115.unknown _1243066145.unknown _1243066157.unknown _1243066127.unknown _1243066085.unknown _1243066101.unknown _1243066084.unknown _1243065836.unknown _1243065918.unknown _1243065974.unknown _1243066011.unknown _1243066031.unknown _1243066051.unknown _1243065944.unknown _1243065888.unknown _1243065914.unknown _1243065853.unknown _1243065802.unknown _1243065815.unknown _1243065784.unknown _1243061465.unknown _1243064334.unknown _1243065694.unknown _1243065727.unknown _1243065741.unknown _1243065703.unknown _1243064357.unknown _1243065684.unknown _1243064347.unknown _1243064269.unknown _1243064278.unknown _1243064320.unknown _1243064272.unknown _1243061489.unknown _1243064239.unknown _1243064252.unknown _1243061504.unknown _1243061513.unknown _1243061527.unknown _1243061493.unknown _1243061478.unknown _1243061484.unknown _1243061471.unknown _1243060324.unknown _1243061424.unknown _1243061453.unknown _1243061459.unknown _1243061446.unknown _1243060360.unknown _1243060374.unknown _1243060355.unknown _1243060277.unknown _1243060297.unknown _1243060314.unknown _1243060284.unknown _1243059018.unknown _1243060207.unknown _1243060259.unknown _1243059041.unknown _1243059061.unknown _1243059034.unknown _1243059004.unknown _1243059009.unknown _1242981002.unknown _1242906635.unknown _1242912084.unknown _1242922765.unknown _1242925604.unknown _1242980858.unknown _1242980963.unknown _1242940085.unknown _1242980819.unknown _1242940084.unknown _1242925352.unknown _1242925469.unknown _1242925603.unknown _1242925329.unknown _1242913741.unknown _1242916833.unknown _1242916875.unknown _1242920712.unknown _1242921855.unknown _1242916907.unknown _1242916937.unknown _1242916849.unknown _1242916862.unknown _1242916844.unknown _1242916812.unknown _1242916820.unknown _1242915081.unknown _1242912107.unknown _1242912125.unknown _1242912130.unknown _1242912119.unknown _1242912090.unknown _1242907723.unknown _1242907784.unknown _1242909997.unknown 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