函数的 奇偶性

null3.1.4 函数的奇偶性函数函数函数函数3.1.4 函数的奇偶性nullf (x) = x3nullf (x) = x2nullnull则 f (2) = ；f (-2) = ； f (1) = ；f (-1) = ；求值并观察总结规律则 f (2) = ；f (-2) = ； f (1) = ；f (-1) = ；1. 已知 f (x) = 2x，2. 已知 f (x) = x3，=- f (x)4-42-2-2x=- f (x)-x38-81-1图象都是以坐标原点为对称中心的中心对称图形null 如果对于函数 y = f (x)的定义域 A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = -f (x)，则这个函数叫做奇函数.奇函数的图象特征 以坐标原点为对称中心的中心对称图形.f (-x) = -f (x) 奇函数的定义奇函数图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形null奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称． 改变奇函数的定义域，它还是奇函数吗？是否否是null奇函数的定义域对应的区间关于坐标原点对称． 判断下列函数是奇函数吗？ （1） f (x) = x3，x[－1，3]； （2） f (x) = x，x(－1，1]．否否null例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．null解: （2）函数 f（x）= -x3 的定义域为R， 所以当 x  R时，-x  R． 因为 f（-x）= -(-x)3 = x3 = - f（x）， 所以函数 f（x）= -x3 是奇函数．例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．null解: （3）函数 f（x）= x+1 的定义域为R， 所以当 x  R时，-x  R．因为f（-x）= -x +1 - f（x）= -（ x + 1 ） = - x - 1 ≠ f（ - x）， 所以函数 f（x）= x+1 不是奇函数．例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．null解: （4）函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7的定义域为R， 所以 x  R 时， 有- x  R ． f（-x）= - x + (- x)3 + (- x)5 + (- x)7 = - (x + x3 + x5 + x7) = - f（x） ． 所以函数 f（x）= x + x3 + x5 + x7是奇函数．例1 判断下列函数是不是奇函数： （1）f（x）= ； （2）f（x）= -x3 ； （3）f（x）= x +1 ； （4）f（x）= x + x3 + x5 + x7．null不是是是不是null 偶函数的定义 如果对于函数 y = f (x)的定义域A内的任意一个 x, 都有 f (-x) = f (x)，则这个函数叫做偶函数.偶函数的图象特征 以y 轴为对称轴的轴对称图形．定义域对应的区间关于坐标原点对称． 偶函数图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形null解： （1）函数 f（x）= x2 + x4 的定义域为R， 所以当 x  R时，-x  R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)4 = x2 + x4 = f（x）， 所以函数 f（x）= x2 + x4 是偶函数．例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．null解： （2）函数 f（x）= x2 + 1的定义域为R， 所以当 x  R时，-x  R． 因为 f（-x）= (-x)2 +1 = x2 + 1 = f（x） ， 所以函数 f（x）= x2 + 1 是偶函数．例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．null解： （3）函数 f（x）= x2 + x3 的定义域为R， 所以当 x  R时，-x  R． 因为 f（-x）= (-x)2 +(- x)3 = x2 – x3 ， 所以当 x ≠ 0时， f（-x）≠ f（x） 函数 f（x）＝ x2 + x3 不是偶函数．例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1， 3]．null解： （4）函数f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3] 的定义域为A=[-1, 3] ， 因为 2  A，而-2 A ． 所以函数 f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3] 不是偶函数．例2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= x2 + x4 ； （2）f（x）= x2 + 1； （3）f（x）= x2 + x3 ； （4）f（x）= x2 + 1 ，x[-1, 3]．null练习2 判断下列函数是不是偶函数： （1）f（x）= (x +1) (x -1) ； （2）f（x）= x2+1，x [-1，1] ； （3）f（x）= ．nullS1 判断当 xA 时，是否有 -xA ； S2 当 S1 成立时，对于任意一个 xA， 若 f (-x) = - f (x) ，则函数 y = f (x)是奇函数； 若 f (-x) = f (x) ，则函数 y = f (x)是偶函数．1. 函数的奇偶性2. 判断函数奇偶性的方法null教材P74，习题第 5 题； 　　 第 6 题（选做）．