多元函数的积分

一、空间区域的确定和表示 确定空间区域的方法有两种：1）直观作图法。2）解析法。一般情况下是两种方法相结合。 1）直观作图法，就是根据区域的边界曲面作草图，从草图可直观确定空间区域的形状、边界曲面的交线、在坐标面上的投影区域，最后给出空间区域的表示。 2）解析法，就是本着空间区域是有界实体这一事实，从而可知它在坐标面上的投影区域一定是由封闭曲线所围成，通过边界曲面方程来确定：①曲面在坐标面上的投影区域的边界曲线。②边界曲面的交线在坐标面上的投影曲线。③由坐标面上的边界曲线和投影曲线来确定它们所围成的封闭区域，该封闭区域就是空间区域在坐标面上的投影区域。④由等量线的变化确定上下曲面。 两种方法中，直观作图法只要作图正确，就不容易出错，其难点在于作图；解析法可以不作图，纯粹由曲面方程解析式入手，给出空间区域的表示，其难点在于封闭区域多个时，投影区域是哪一个？是一个，还是多个？上下曲面的如何选定？两种方法相结合效果更好。 二、空间区域的投影坐标面的选取：1）多个边界曲面的投影区域为整个坐标面，则该坐标面为优先考虑的投影坐标面。2）当边界曲面个数多，其中有柱面（包括平面）时，①先考虑选取与非平面柱面的母线相垂直的坐标面为投影坐标面。② 选取与最多边界平面相垂直的坐标面为投影坐标面。 三、多元函数的积分，主要掌握下面几点： 1） 积分区域的确定。确定积分区域的思想和方法主要是投影的思想方法。比如： 空间区域 在xoy坐标面的投影（平面区域D），平面区域D在x轴（或y轴）上的投影（轴上区间 （或 ）），那么： 或 或 空间区域 在yoz坐标面的投影（平面区域D），平面区域D在y轴（或z轴）上的投影（轴上区间 （或 ）），那么： 或 或 空间区域 在zox坐标面的投影（平面区域D），平面区域D在x轴（或z轴）上的投影（轴上区间 （或 ）），那么： 或 或 为求投影，必须先求空间曲面的交线及其在坐标面上的投影，或平面曲线的交点及其在轴上的投影（即交点坐标）。当然适当考察曲面和曲线的形状是不可少的。 2） 积分区域的对称性和被积函数的奇偶性 关于二重积分的对称性 平面区域D关于x轴对称 当(x,y) D时，有(x,-y) D。 平面区域D关于y轴对称 当(x,y) D时，有(-x,y) D。 平面区域D关于原点O对称 当(x,y) D时，有(-x,-y) D。 关于变量x为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量y为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量x为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量y为偶函数 EMBED Equation.3 关于原点O为奇函数 EMBED Equation.3 关于原点O为偶函数 EMBED Equation.3 正确结论： ⑴设 关于变量x为奇函数，积分区域D关于y轴对称，那么 。 ⑵设 关于变量y为奇函数，积分区域D关于x轴对称，那么 。 ⑶设 关于原点O为奇函数，积分区域D关于原点O对称，那么 。 ⑷设 关于变量x为偶函数，积分区域D关于y轴对称，那么 ，其中 是相应的D的半区域。 ⑸设 关于变量y为偶函数，积分区域D关于x轴对称，那么 ，其中 是相应的D的半区域。 ⑹设 关于原点O为偶函数，积分区域D关于原点O对称，那么 ，其中 是相应的D的半区域。 关于三重积分的对称性 空间区域 关于xoy平面对称 当(x,y,z ) 时，有(x,y,-z) 。 空间区域 关于yoz平面对称 当(x,y,z ) 时，有(-x,y,z) 。 空间区域 关于zox平面对称 当(x,y,z ) 时，有(x,-y,z) 。 空间区域 关于x轴对称 当(x,y,z ) 时，有(x,-y,-z) 。 空间区域 关于y轴对称 当(x,y,z ) 时，有(-x,y,-z) 。 空间区域 关于z轴对称 当(x,y,z ) 时，有(-x,-y,z) 空间区域 关于原点O对称 当(x,y,z ) 时，有(-x,-y,-z) 关于变量x为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量y为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量z为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量x、y为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量y、z为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量z、x为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量x、y、z（即原点O）为奇函数 EMBED Equation.3 关于变量x为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量y为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量z为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量x、y为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量y、z为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量z、x为偶函数 EMBED Equation.3 关于变量x、y、z（即原点O）为偶函数 EMBED Equation.3 正确结论：（没有列举完） ⑴设 关于变量x为奇函数，积分区域 关于 yoz平面对称，那么 。 ⑵设 关于变量y、z为奇函数，积分区域 关于x轴对称，那么 。 ⑶设 关于原点O为奇函数，积分区域 关于原点O对称，那么 。 ⑷设 关于变量y为偶函数，积分区域 关于 zox平面对称，那么 ， 其中 是相应的 的半区域。 ⑸设 关于变量z、x为偶函数，积分区域 关于 y轴对称，那么 ， 其中 是相应的 的半区域。 ⑹设 关于原点O为偶函数，积分区域 关于原点O对称，那么 其中 是相应的 的半区域。 3）积分次序的选择 积分次序的选择与积分区域表示的难易，以及是否可计算密切相 关。一般选取积分区域表示容易、可计算且计算容易的次序来进行积分。 这里要求熟练掌握积分区域的多种表示（积分区域的一种表示，就是一种积分次序）。掌握由积分区域的一种表示，就能给出其他种表示。 考虑空间区域 注意，在 的所有表示中， 、 、 是相同。 4）积分的换元法 在坐标变换下，积分区域 对应新坐标系下的积分区域 。而且，在一般情况下，曲面对应新坐标系下的曲面，曲线对应新坐标系下的曲线。新坐标系下的积分区域 （或 ）正是由新坐标系下的曲面（或曲线）所围成。 所以求新坐标系下对应的曲面（或曲线），是确定新的积分区域 的关键。 _1172932198.unknown _1172943785.unknown _1172943823.unknown _1172944784.unknown _1172944869.unknown _1172945331.unknown _1172949119.unknown _1172949135.unknown _1172949148.unknown _1172945599.unknown _1172945748.unknown _1172945264.unknown _1172944832.unknown _1172944849.unknown _1172944802.unknown _1172944388.unknown _1172944756.unknown _1172944771.unknown _1172944520.unknown _1172944119.unknown _1172944317.unknown _1172943927.unknown _1172943808.unknown _1172932262.unknown _1172933109.unknown _1172942890.unknown _1172943756.unknown _1172942825.unknown _1172942543.unknown _1172933126.unknown _1172932270.unknown _1172932528.unknown _1172932266.unknown _1172932231.unknown _1172932245.unknown _1172932251.unknown _1172932239.unknown _1172932216.unknown _1172932224.unknown _1172932204.unknown _1172932024.unknown _1172932131.unknown _1172932165.unknown _1172932188.unknown _1172932173.unknown _1172932178.unknown _1172932137.unknown _1172932153.unknown _1172932077.unknown _1172932083.unknown _1172932114.unknown _1172932089.unknown _1172932029.unknown _1172932055.unknown _1172932036.unknown _1172928196.unknown _1172928244.unknown _1172931947.unknown _1172931953.unknown _1172932003.unknown _1172929442.unknown _1172930881.unknown _1172931902.unknown _1172930598.unknown _1172929008.unknown _1172927831.unknown