第4章 二维随机变量

nullnull 第4章 二维随机变量 4.1 二维随机变量及其分布 4.2 二维离散型随机变量 4.3 二维连续型随机变量 4.4 边缘分布 4.5 随机变量的相互独立性 * 4.6 条件分布 * 4.7 二维随机变量函数的分布null 一些随机试验的结果需要用两个或两个以上的随机变量同时来描述，对应地称之为二维或多维随机变量。例如在打靶练习中，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机变量(X,Y)；又如员工体检时的各项检查指标值可看作多维随机变量。 由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体(即向量)来研究。 需要讨论多维随机变量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。null 从几何角度看，一维随机变量就是第3章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。 由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n维(n≥3)没有本质上的区别。本章主要讨论二维随机变量，n(n≥3)维的情况可以类推。null4.1 二维随机变量及其分布 定义1 设E是一个随机实验，它的基本空间为 ={所有样本点ω} 而X1ω,X2ω,…,Xnω是定义在这个基本空间上的n个随机变量，则上述n个随机变量构成的向量称为n维随机变量，记为 X=(X1w, X2w,…, Xnw) 其中Xi(ω) (i=1,2,…,n) 称为第i个分量(或坐标)； (X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))简记为(X1,X2,…,Xn)，其取值的概率规律称为n维分布。 null （二维随机变量所示的随机事件） 定义2 设(X,Y)是二维随机变量，对任意实数x、y,二元函数 F(x,y) = P{X＜x,Y＜y} 称为(X,Y)的联合分布函数。 P{x1≤X＜x2 ,y1≤Y＜y2} =P{X＜x2 ,Y＜y2}-P{X＜x2 ,Y＜y1} -P{X＜x1 ,Y＜y2}+P{X＜x1 ,Y＜y1} =F(x2 ,y2) -F(x2 ,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)null定理1 F(x, y)为二维随机变量(X, Y)的联合分布函数，则 (1)    F(x, y)对每个变元是单调不减的函数，即 当x1＜x2时， F(x1 , y)≤F(x2 , y) ； 当y1＜y2时， F(x, y1)≤F(x, y2) 。 (2) F(x, y)对每个变元是左连续的，即 F(x-0, y) = F(x, y) F(x, y-0) = F(x, y) (3) F(-, y) = F(x, -) ＝ F(-, -) = 0 F(+ , +) = 1。 (4) 对任意两点(x1, y1), (x2，y2), x1≤x2, y1≤y2, 则 F(x2 , y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)≥0null4.2 二维离散型随机变量 定义3 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限对或可列多对(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，则称(X,Y)是二维离散型随机变量。 pij=P{X=xi,Y=yj} (i,j=1,2,…) 则pij(i,j=1,2,…)称为(X,Y)的联合分布律(概率函数)。null联合分布律可用表格形式表示： p.j 中的“.”表示“所有行的和”pi . 中的“.”表示“所有列的和”null 根据pij的定义，得出它们具有下列两个性质： (1) 0≤pij≤1 (i,j=1,2,…) (2) 离散型随机变量(X,Y)的分布函数，可用分布律计算： null例1 已知一批10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，求其中一等品件数X与二等品件数Y的联合分布律。 解 在任取4件中， 一等品件数X的取值范围：i=0, 1, 2, 3； 二等品件数Y的取值范围：j=0, 1, 2, 3, 4； 三等品件数4-X-Y的取值范围：0,1,2; 即2≤X+Y≤4 依古典概率计算，可直接得联合分布律为：null依上式可得(X,Y)的联合概率分布列 ： 其中：null例2 一个整数X随机地在2、3、4三个数中取一个值，另一个Y数随机地在2～X中取一个值。求(X,Y)的联合分布律。 解 X=2,3,4 Y=2,3,4 P{X=2,Y=2}=P({X=2}·{Y=2})=P{X=2}P{Y=2|X=2} =(1/3)1=1/3 P{X=2,Y=k}=P{X=2}P{Y=k|X=2}=0 k=3,4 P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2|X=3}=(1/3)(1/2)=1/6 P{X=3,Y=3}=P{X=3}P{Y=3|X=3}=(1/3)(1/2)=1/6 P{X=3,Y=4}=P{X=3}P{Y=4|X=3}=(1/3)0=0null P{X=4,Y=k}= P{X=4}P{Y=k|X=4}=(1/3)(1/3)=1/9 k=2,3,4 得到(X, Y)的联合分布律： null例3 袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，每次取出的产品进行检查后放回袋中，设每次取出产品时，袋中每件产品被取到的可能性相等，定义下列随机变量。 求(X,Y)的分布律。null解 (X,Y)的分布律为 (X,Y)的联合分布律为：null例4 在例3中，如果每次取出后不放回，求(X,Y)的分布律。 解 (X,Y)的分布律为 这时(X,Y)的联合分布律为：null4.3 二维连续型随机变量 对二维随机变量(X,Y)，若存在函数f(x,y)≥0 (x、y∈R)，使得(X,Y)的分布函数F(x,y)是二元连续函数，且可表示为积分的形式： 则称(X,Y)是二维连续型随机变量。 称被积函数f(x,y)为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度。null分布函数与密度函数的性质： =以平面区域D为底， 分布曲面为顶的曲 顶柱体体积 (联合分布函数的几何意义)null例5 已知二维随机变量(X,Y)的密度为 试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D={(x,y)|x2≤y≤x, 0≤x≤1}的概率。 解 由概率密度性质，知 null(X,Y)落在区域D={(x,y)|x2≤y≤x,0≤x≤1}的概率null 二维均匀分布 称以 为联合密度函数的二维随机变量(X,Y)服从二维均匀分布。其中SD为平面区域D的面积。 null 二维正态分布 称密度函数 为二维正态分布密度函数。 其中μ1,μ2,σ1,σ2, r为常数；且σ1＞0,σ2＞0, | r |＜1, null 若随机变量(X,Y)以φ(x,y)为密度函数，则称(X,Y)服从二维正态分布，记为(X,Y)～N(μ1,μ2,σ1,σ2, r)。 可以证明：null例6 设二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=(A+Barctgx)(C+arctgy) (１)求常数A，B，C； (２)求(X,Y)的分布密度； (３)D={(x,y):x-y＞0,x≤1} ，求P{(X,Y)∈D}。 解 (1) 由二维分布函数性质，得 null由以上三式解得 (2) (X,Y)的分布密度 (3)null例7 设二维随机变量(X,Y)在区域D: 0≤x≤1，y2≤x内服从均匀分布，求联合分布密度。 解 null4.4 边缘分布 定义 若已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，则称随机变量X、Y各自的概率分布函数FX(x)、FY(y)为F(x,y)为边缘分布函数。 FX(x)=F(x,+)， FY(y)=F(+,y) 由上述定义可知，FX(x)由F(x,y)中y→+∞唯一确定， 同样FY(y)由F(x,y)中x→+∞唯一确定。但其逆并不一定成立。 null例8 在例1中，已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，现从这批产品中任意抽出4件，其中一等品件数为X、二等品件数为Y。若只关心一等品的件数X或二等品的件数Y，试求这两个随机变量各自的分布列。 解 已有(X,Y)的联合分布律(例4-1)： null解 为求X的概率分布列，要计算P(X=i)，(i=0,1,2,3)。因已知的(X,Y)联合分布列，X的分布律为 P(X=i)=P(X=i,Y＜+ ) =P(X=i,Y=0)+P(X=i,Y=1)+P(X=i,Y=2)+ P(X=i,Y=3)+ +P(X=i,Y=4) =pi0+pi1+pi2+pi3+pi4= =pi• (i=0,1,2,3) 求得p0•=35/210，p1•=105/210，p2•=63/210，p3•=7/210 X的概率分布列为 null求Y的概率分布列： Y=0, 1, 2, 3, 4 得 p•0=5/210, p•1=50/210, p•2=100/210, p•3=50/210, p•4=5/210 Y的概率分布列为 null 离散型随机变量的边缘分布律 二维离散型随机变量(X,Y)的分量X,Y都是一维离散型随机变量，X、Y的分布律P{X=xi}，P{Y=yi} (i,j=1,2,…)分别称为(X,Y)关于X，Y的边缘分布律。 设(X,Y)的联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij (i,j=1,2, …) ，则(X,Y)关于X的边缘分布律有null简记(X,Y)关于X的边缘分布律为 同理， (X,Y)关于Y的边缘分布律为 由上两式可知，边缘分布律pi•，p•j由联合分布律pij唯一确定，但其逆不一定成立。null 对离散型随机变量，已知其联合分布律，则边缘分布律pi•，p•j也可由下表计算：nullX的边缘分布列pi•为 其中： Y的边缘分布列p•j为 其中：null例9 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回两种方式进行抽样检查，随机变量 则(X,Y)的联合分布律如下(并可求得边缘分布律)：null有放回抽样的分布律null不放回抽样的分布律null 连续型的边缘分布密度函数 设已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数 则(X,Y)关于X的边缘分布函数 其边缘概率密度函数 null同理，用联合分布函数F(X,Y)计算边缘分布函数FY(y)，有 用联合密度函数 f(x,y)计算边缘密度函数fY(y), 有 fX(x)，fY(y)分别称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X，Y的边缘分布密度。即(X,Y)的分量的分布密度。null例10 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为 试分别求出X 及 Y 的边缘概率密度。 解 nullnull例11 设(X,Y)在椭圆 所围成的区域上服 从均匀分布。即其联合密度为 求X,Y的边缘密度。 解 (1)当︱x︱>a时， null(2)当︱x︱≤a时，null同理，可得关于Y的边缘密度null例12 求二维正态分布的边缘密度函数。 解 二维正态分布的密度函数为 null对积分作变量代换： null 由此可见，二维正态分布的边缘分布是一维正态分布。 但联合分布密度中的r取不同数值时，得到不同的二维正态分布，而这些不同的二维正态分布却有相同的边缘分布密度φX(x)，φY(y)(即边缘密度与r无关)。这表明，关于X,Y的边缘分布不能确定(X,Y)的联合分布；但联合分布可以唯一地确定边缘分布。 实际上，当X、Y相互独立时，边缘分布可唯一地确定联合分布。 null4.5 随机变量的相互独立性 定义 设(X,Y)是二维随机变量, F(x,y)、FX(x)及FY(y)分别是(X,Y)的联合分布函数及边缘分布函数，若对任意实数x,y有 F(x,y)= FX(x)·FY(y) 即 P{X＜x,Y＜y}=P{X＜x}·P{Y＜y} 则称随机变量X, Y是相互独立的。 随机变量的相互独立性定义与前面的随机事件A，B独立性的说法是一致的： A={X＜x},B={Y＜y} P(AB)=P(X＜x,Y＜y)=P{X＜x}·P{Y＜y}=P(A)P(B) A,B是独立的。null定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，x,y、 Xx及Yy分别是(X,Y)的联合分布密度及边缘分布密度，且x,y及 Xx Yy均为连续函数，则X,Y相互独立的充要条件是：对任意点(x,y)，有 x,y = Xx·Yy 证明 充分性 null证明 必要性 若X,Y相互独立，即有 此式的两边对x及y求导，便可得到 null定理3 设(X,Y)是二维离散型随机变量，则X,Y相互独立的充要条件是：对(X,Y)的任一组可能值xi，yj有 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yj} (i,j=1,2,…) 即 pij=pi•p•j (i,j=1,2,…) 证 (只证充分性) 设 P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}·P{Y=yi} i,j=1,2,… 则 即X，Y相互独立。(必要性证明略。)null例13 5件产品中有3件正品2件次品。现(有放回)抽出2件。 设 求(X,Y)的联合分布律，并判断X,Y是否相互独立？ 解 X, Y=0，1 其联合分布律： 可见，pij= pi•p•j (i,j = 0,1) X，Y是相互独立的。null若无放回地抽出2件，则联合分布律： 可见，p 11  p1• p•1 ，故X，Y不相互独立。null例14 在例11中，(X,Y)在椭圆形区域中服从均匀分布，且 容易看出，φ(x,y)≠φX(x)·φY(y)，由定理2知， X,Y不相互独立。null例15 设(X,Y)是二维正态随机变量，其分布密度为 试证： X，Y相互独立的充要条件是参数r=0 证 由(X,Y)的联合密度函数可知，(X,Y)的边缘分布密度函数为 null(1) 充分性 若r=0，则 有x,y=XxYy，即X,Y相互独立。 null(2)必要性 设X,Y相互独立，则对任意点(x,y)，有 x,y = Xx·Yy 取 x=1，y=2，有r 是X , Y的相关系数null例16 一个旅客到达火车站的时刻X均匀分布在7:55～8:00，设X[0,5]；火车在这段时间开出的时刻是Y，且Y的密度函数为 求旅客能乘上火车的概率。 解 X在[0,5]上均匀分布，其密度函数为：null P{“能乘上火车”}=P{X标准

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