单调有界证法欣赏

数列 单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一. 证法一（ Riemann最先给出这一证法 ）设 应用二项式展开，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 + 注意到 且 比 多一项 EMBED Equation.3 即 ↗. 有界. 综上, 数列{ }单调有界. 评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度. 证法二 ( 利用Bernoulli不等式 ) 注意到Bernoulli不等式 为正整数 ), 有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由 利用Bernoulli不等式,有 ↗. 为证{ }上方有界, 考虑数列 可类证 ↘. 事实上, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (此处利用了Bernoulli不等式 ) ↘. 显然有 有 即数列{ }有上界. 评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处. 证法三(利用均值不等式)在均值不等式 中, 令 就有 即 ↗. 令 可仿上证得 时 ↗, ( 时无意义, 时诸 = , 不能用均值不等式. ) 当 时, 由 由 ↗ ↘. < 4. 评注: 该证法很奇巧. 以上证法二和证法三可参阅《数学通报》1980.№4 P22. 证法四 (仍利用均值不等式) EMBED Equation.3 < 即 ↗. 有界性证法可参阅上述各证法. 评注: 该证法以简单而奇妙见长.证法四可参阅《数学教学研究》1991.№1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”. 证法五 先证明:对 和正整数 ,有不等式 事实上， EMBED Equation.3 < 该不等式又可变形为 ( 为正整数 ) 在此不等式中, 取 则有 就有 ↗. 取 又有 对 成立, EMBED Equation.3 又由 评注: 该证法真叫绝, [1]采用这一证法.可参阅《 The American Mathematical Monthly》1974. Vol 81. №9 P1011—1012. _1060444398.unknown _1060460302.unknown _1060461796.unknown _1060465009.unknown _1060465734.unknown _1061061876.unknown _1136408445.unknown _1139428785.unknown _1136407957.unknown _1060465955.unknown _1060466089.unknown _1060466161.unknown _1060466050.unknown _1060465883.unknown _1060465250.unknown _1060465347.unknown _1060465238.unknown _1060463288.unknown _1060464810.unknown _1060464922.unknown _1060464421.unknown _1060463083.unknown _1060463134.unknown _1060462270.unknown _1060460712.unknown _1060460881.unknown _1060461795.unknown _1060460764.unknown _1060460450.unknown _1060460615.unknown _1060460407.unknown _1060459198.unknown _1060460029.unknown _1060460251.unknown _1060460276.unknown _1060460211.unknown _1060459821.unknown _1060459956.unknown _1060459618.unknown _1060459675.unknown _1060445108.unknown _1060445249.unknown _1060458530.unknown _1060445170.unknown _1060444597.unknown _1060444890.unknown _1060444477.unknown _1060441998.unknown _1060443568.unknown _1060443995.unknown _1060444153.unknown _1060444244.unknown _1060444069.unknown _1060443855.unknown _1060443933.unknown _1060443650.unknown _1060442960.unknown _1060443194.unknown _1060443291.unknown _1060443521.unknown _1060443090.unknown _1060442240.unknown _1060442486.unknown _1060442071.unknown _1060441421.unknown _1060441856.unknown _1060441915.unknown _1060441946.unknown _1060441874.unknown _1060441579.unknown _1060441746.unknown _1060441500.unknown _1060439563.unknown _1060440792.unknown _1060441046.unknown _1060441075.unknown _1060439660.unknown _1060439299.unknown _1060439454.unknown _1060425970.unknown