举一反三六年级第23周 周期工程问题

第二十三周 周期工程问题 专题简析： 周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。 例1： 一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？ 把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。 1 需循环的次数为：1÷（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）= EQ \F(36,5) ＞7（次） 2 7个循环后剩下的工作量是：1-（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,18) ）×7= EQ \F(1,36) 3 余下的工作两还需甲做的时间为： EQ \F(1,36) ÷ EQ \F(1,12) = EQ \F(1,3) （小时） 4 完成任务共用的时间为：2×7+ EQ \F(1,3) =14 EQ \F(1,3) （小时） 答：完成任务时需共用14 EQ \F(1,3) 小时。 练习1： 1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？ 2、 一部稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？ 3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？ 例2： 一项工程，甲、乙合作26 EQ \F(2,3) 天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙 EQ \F(1,2) 甲 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。 1 甲每天能做这项工程的1÷26 EQ \F(2,3) × EQ \F(2,1+2) = EQ \F(1,40) 2 甲单独做完成的时间1÷ EQ \F(1,40) =40（天） 答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。 练习2： 1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？ 2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 EQ \F(1,3) 天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？ 3、 一项工程，甲、乙合作12 EQ \F(3,5) 小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多 EQ \F(1,3) 小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？ 4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？ 例3： 一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？ 由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下： 甲乙甲乙……甲乙 甲 乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个 竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。 甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个） 乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个） 答：甲每天做150个，乙每天做90个。 练习3： 1、 一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？ 2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多 EQ \F(2,5) 天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2 EQ \F(5,8) 天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？ 3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？ 例4： 打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？ 根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。 1 每循环一次，他们共完成全部工程的（ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,15) ）×3＝ EQ \F(9,20) 2 总工作量里包含几个9/20：1÷ EQ \F(9,20) =2 EQ \F(2,9) 3 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1- EQ \F(9,20) ×2＝ EQ \F(1,10) 4 由于 EQ \F(1,10) ＞ EQ \F(1,12) ，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（ EQ \F(1,10) - EQ \F(1,12) ）÷ EQ \F(1,15) ＝ EQ \F(1,4) 5 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+ EQ \F(1,4) =13 EQ \F(1,4) （小时） 答：打印这部稿件共需13 EQ \F(1,4) 小时。 练习4： 1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？ 2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？ 3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的 EQ \F(52,75) 为几月几日？ 4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？ 例5： 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,3) 天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙 EQ \F(1,2) 丙 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙 EQ \F(1,3) 甲 从中可以退出：丙= EQ \F(2,3) 甲；由于乙=甲－ EQ \F(1,2) 丙=甲－ EQ \F(2,3) 甲× EQ \F(1,2) ，又推出乙= EQ \F(2,3) 甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示： 甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙 乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙 EQ \F(1,2) 甲 丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲 EQ \F(1,3) 乙 由此推出：丙= EQ \F(1,2) 甲，丙= EQ \F(2,3) 乙 1 丙队每天做这项工程的 EQ \F(1,13) × EQ \F(1,2) = EQ \F(1,26) 2 乙队每天做这项工程的 EQ \F(1,26) ÷ EQ \F(2,3) = EQ \F(3,52) 3 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（ EQ \F(1,13) + EQ \F(1,26) + EQ \F(3,52) ）=5 EQ \F(7,9) （天） 答：甲、乙、丙合作要5 EQ \F(7,9) 天完工。 练习5： 1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,3) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,4) 天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 2、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,2) 天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？ 3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用 EQ \F(1,2) 天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用 EQ \F(1,3) 天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13 EQ \F(7,9) 天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？ 4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有 EQ \F(1,6) 池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？ ： 练1 1、 （1）需循环的次数 1÷（ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,10) ）＝ EQ \F(15,4) ＞3 （2）3个循环后剩下的工作量 1－（ EQ \F(1,6) + EQ \F(1,10) ）×3＝ EQ \F(1,5) （3）最后由乙做的时间 （ EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) ）÷ EQ \F(1,10) ＝ EQ \F(1,3) 小时 （4）需要的总时间 2×3+1+ EQ \F(1,3) ＝7 EQ \F(1,3) 小时 2、 （1）需循环的次数 1÷（ EQ \F(1,14) + EQ \F(1,20) ）＝ EQ \F(140,17) ＞8 （2）3个循环后剩下的工作量 1－（ EQ \F(1,14) + EQ \F(1,20) ）×8＝ EQ \F(4,140) （3）最后由乙做的时间 EQ \F(4,140) ÷ EQ \F(1,14) ＝ EQ \F(2,5) 小时 （4）需要的总时间 2×8+ EQ \F(2,5) ＝16 EQ \F(2,5) 小时 3、 （1）需循环的次数 EQ \F(2,3) ÷（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,12) ）＝ EQ \F(24,7) ＞3 （2）3个循环后剩下的工作量 EQ \F(2,3) －（ EQ \F(1,9) + EQ \F(1,12) ）×3＝ EQ \F(1,12) （3）最后由乙做的时间 EQ \F(1,12) ÷ EQ \F(1,9) ＝ EQ \F(3,4) 小时 （4）需要的总时间 2×3+ EQ \F(3,4) ＝6 EQ \F(3,4) 小时 练2 1、 提示：甲的效率是乙的2倍 20÷2＝10天 2、 提示：乙的效率是甲的 EQ \F(2,3) 1÷【 EQ \F(1,6) ×（1－ EQ \F(1,3) ）+ EQ \F(1,6) 】＝3 EQ \F(3,5) 天 3、 提示：乙的效率是甲的 EQ \F(2,3) 1÷（1÷12 EQ \F(3,5) × EQ \F(3,3－1+3) ）＝21小时 4、 （1）需几个周期 EQ \F(1,2) ÷（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,5) ）×3＝ EQ \F(15,4) ＞3 （2）3个周期后剩下的水 EQ \F(1,2) －（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,5) ）×3＝ EQ \F(1,10) （3）需要的时间 2×3+1+（ EQ \F(1,10) + EQ \F(1,5) ）÷ EQ \F(1,3) ＝7 EQ \F(9,10) 小时 练3 1、 师傅：84÷（7－4）×7＝196个 徒弟：84÷（7－4）×4＝112个 2、 提示：乙的效率是甲的（1－ EQ \F(2,5) ）＝ EQ \F(3,5) 1÷（1÷2 EQ \F(5,8) × EQ \F(3,5－2+5) ）＝7天 3、 3小时36分＝3 EQ \F(3,5) 小时 师、徒效率和：1080÷3 EQ \F(3,5) ＝300个 师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个 徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个 练4 1、 提示：把6分钟看作一个循环 （1） 每循环一次的工作量 （ EQ \F(1,24) + EQ \F(1,18) ）×（1+2）＝ EQ \F(7,24) （2） 总工作量里面有几个 EQ \F(7,24) 1÷ EQ \F(7,24) ＝3 EQ \F(3,7) （3） 3个循环后剩下的工作量 1－ EQ \F(7,24) ×3＝ EQ \F(1,8) （4） 一共需要的时间 6×3+1+（ EQ \F(1,8) － EQ \F(1,24) ）÷ EQ \F(1,18) ＝20 EQ \F(1,2) 分钟 2、 提示：把6分钟看作一个循环 （1） 1个循环的工作量 （ EQ \F(1,12) + EQ \F(1,15) ）×（1+2）＝ EQ \F(9,20) （2） 总工作量里面有几个 EQ \F(9,20) 1÷ EQ \F(9,20) ＝2 EQ \F(2,9) （3） 3个循环后剩下的工作量 1－ EQ \F(9,20) ×2＝ EQ \F(1,10) （4） 一共需要的时间 6×2+ EQ \F(1,10) ÷ EQ \F(1,12) ＝13 EQ \F(1,5) 小时 说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用 EQ \F(1,10) ÷ EQ \F(1,12) 3、 提示：把12天看作一个循环 12天中甲的工作量 EQ \F(1,50) ×（3+3+3）＝ EQ \F(9,50) 12天中乙的工作量 EQ \F(1,60) ×（5+5）＝ EQ \F(1,6) 总共需要的天数 EQ \F(52,75) ÷（ EQ \F(9,50) + EQ \F(1,6) ）＝2 （12天减去最后休息的1天） 12×2－1＝23天 完成全部任务的 EQ \F(52,75) 为3月24日。 4、 提示：把7天看作一个周期 1÷（ EQ \F(2,3) ×5+ EQ \F(2,3) ×6）＝15 7×15－1＝104天 练5 1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的 EQ \F(2,3) ，丙的效率也是乙的 EQ \F(3,4) 。 （1） 丙的工作效率 EQ \F(1,7) × EQ \F(2,3) ＝ EQ \F(2,21) （2） 乙的工作效率 EQ \F(2,21) ÷ EQ \F(3,4) ＝ EQ \F(8,63) （3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ EQ \F(1,7) + EQ \F(2,21) + EQ \F(8,63) ）＝2 EQ \F(17,23) 天 2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的 EQ \F(1,2) ，乙的效率是甲的 EQ \F(3,4) 。 （1） 丙的效率 EQ \F(1,10) × EQ \F(1,2) ＝ EQ \F(1,20) （2） 乙的效率 EQ \F(1,10) ×（1－ EQ \F(1,2) × EQ \F(1,2) ）＝ EQ \F(3,40) （3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（ EQ \F(1,10) + EQ \F(1,20) + EQ \F(3,40) ）＝4 EQ \F(4,9) 天 3、 由题意可以推出，丙的效率是甲的 EQ \F(1,2) ＝ EQ \F(2,4) ，丙的效率是乙的 EQ \F(2,3) ，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。 1÷（1÷13 EQ \F(7,9) × EQ \F(4,4+3+2) ）＝31天 4、 提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过 EQ \F(2,3) ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。 （1） 水池里的水超过 EQ \F(2,3) 时需要几个循环 （ EQ \F(2,3) － EQ \F(1,6) ）÷（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) ）＝ EQ \F(30,7) ＞4 （2） 循环5次以后，池中水占 EQ \F(1,6) +（ EQ \F(1,3) － EQ \F(1,4) + EQ \F(1,5) － EQ \F(1,6) ）×5＝ EQ \F(3,4) （3） 总共需要的时间 4×5+（1－ EQ \F(3,4) ）÷ EQ \F(1,3) ＝20 EQ \F(3,4) 小时