浅谈高数中求解函数极限的方法

浅谈高数中求解函数极限的方法 浅谈高数中求解函数极限的方法 discussion on the methods of solving function limit in higher mathematics gui lihong (云南广播电视大学成教学院，昆明650223) (yunnan radio & tv university college of adult education, kunming 650223, china) 摘要: 极限是微积分中至为重要的基础概念，也是建立及应用微 积分学中各种计算方法、相关概念的基础之一。极限的求解方法很 多，应用也比较灵活，本文就针对常用的几种进行讨论。 abstract: the limit is paramount basic concept in calculus, but also is one of the foundations to establish and apply all kinds of calculation methods and related concept in calculus. there are many ways of solving the limit, and the application is also more flexible, this paper discussed several methods that are commonly used. 关键词: 高等 函数极限 求解 key words: higher mathematics;function limit;solving 1函数极限的相关概念及性质 函数的极限与数列的极限比较类似，可以考虑自变量x?+?时，f (x)所呈现出的变化趋势;也可以考虑当自变量x?a时，f(x) 所呈现出的变化趋势。不过与数列的极限相比而言，函数的极限复杂程度比较高，其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性。不过通过分析可以发现，这种复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面，而在其它方面，例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似。在理解函数的极限概念时，主要有以下两个定义: 第一，设f是定义在[a，+?)的函数，其中a为实数，在任给的ε>0的条件下，有正数,(?a)存在，如果x>m，则有| f(x)a| 0，δ(0，使得当00或者0或者f(x)<-r<0;第四，函数极限现出相应的迫敛性，即当函数g(x)?f(x)?h(x)以及limg(x)=a，limh(x)=a两个条件同时具备时，则imf(x)存在并且等于a。 2求解函数极限的方法 在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧，以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法。 2.1 利用极限的描述性定义我们可以将极限的描述性进行如下定义:如果自变量的绝对值|x|无限增大，则函数值f(x)也会相应与常数a无限的接近，此时就可以称当x趋向无穷时函数f(x)以a为极限;或者f(x)收敛至a，可以记为a或f(x)?a(x??)。通过上述描述性说明就可以进行函数极限的估算，而且方法非常简 单。六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义，与图像相结合后方便的得出。不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握，这也是求解复杂函数极限的基础理论。但是一些极限的定义容易被混淆，在实际应用的过程中要特别注意。 2.2 运用两个重要极限求函数极限 ?重要极限一。?中，sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函数和一次函数之间建立起关系，二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛，在解决一些实际问时非常有效。例如下题: 求:??的极限 解:??=??=?? =??=lim2*?????=? 某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出。比如: lim?，或者lim?等等，通过该重要极限均可将这些函数的极限方便、快捷的求出。 ?重要极限二。?1+??=e 求lim1+??，这其中a和b均为常数。 解:lim1+??=lim1+??=e? 在该重要极限中，x趋近无穷，而x1趋近于0，该条件与上个重要极限一样，要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得x=?，因为x??，因此y?0，则该重要极限可以进行如下代换: ?(1+y)?，则可进一步得出重要极限的另外一种形式，因此该极限能够扩充为两个极限，为:?1+??=e，以及lim(1+x)?。在运用该极限时必须注意的是要看x所趋近的是0还是?，如果x??，括号内一定要是?，其指数为x;如果x?0，则括号内为x，指数为?，这些在应用时必须注意相对应，不可混淆，如果有一项无法匹配，该重要极限就不能用。 3结语 此外，还有四则运算法则等方法，不过因为四则运算方法是最基础的方法之一，它与结构良性知识比较接近，在实际的应用过程中，只需掌握相关四则运算法则就能够将法则直接套用进去最终求解，因此此处不做赘述。总之，高等数学中极限的地位非常突出，而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出。 参考文献: 数学学习与研究， [1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[j]. 2011(1). [2]扶炜，刘松.常见的函数极限求法分析[j].教育时空，2010(4). [3]张锐.函数极限求解方法归纳[j].考试周刊，2011(5). ———————————— 作者简介:桂黎红(1969-)，女，回族，云南曲靖人，讲师，大学本科，云南民族大学数学系，理学士学位，研究方向为数学教学(高职高专)。