整数整除的概念和性质

整数整除的概念和性质 第一讲 整数整除的概念和性质 1(已知a～b是整数～求证:a+b～ab、a-b这三个数之中～至少有一个是3的倍数( 解答:证明:对于a～b～若至少有1个数是3的倍数～则ab是3的倍数, 若a～b都不是3的倍数 ?当a=3m+1～b=3n+1时～a-b=3,m-n,～a-b是3的倍数, ?当a=3m+1～b=3n+2时～a+b=3,m+n+1,～a+b是3的倍数, ?当a=3m+2～b=3n+2时～a-b=3,m-n,～a-b是3的倍数, ?a+b～ab、a-b这三个数之中～至少有一个是3的倍数( 2.已知7位数是72的倍数～求出所有的符合条件的7位数( 解答:解:?72|～?8|～9|。 由此得:1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数～而0,x?9～0,y?9～ 则x+y=3或12～又必是8的倍数～必是4的倍数～ 则y=1～3～5～7或9～ 当y=1时～x=2～8|216, 当y=3时～x=0或9～8不能整除36,不符合题意,～8|936,符合题意,, 当y=5时～x=7～8不能整除756,不符合题意,, 当y=7时～x=5～8|756, 当y=9时～x=3～8不能整除396,不符合题意,, 综上可得:当y=1～x=2,y=3～x=9～,y=7～x=5时所得的7位数满足条件( ?符合条件的7位数为:1287216～1287936～1287576( 3.,1,若a、b、c、d是互不相等的整数～且整数x满足等式,x-a,,x-b,,x-c,,x-d,-9=0～求证:4|,a+b+c+d,( ,2,已知两个三位数与的和+能被37整除～证明:六位数也能被37整除( 解答:证明:,1,?9=1×,-1,×3×,-3,～ ?可设x-a=1～x-b=-1～x-c=3～x-d=-3～ ?a=x-1～b=x+1～c=x-3～d=x+3～ ?a+b+c+d=4x～ 即4|,a+b+c+d,, ,2,?= ×1000+ = ×999+,+, 又?和,+,能被37整除～ ?×999+,+,能被37整除～即六位数能被37整除( 4.某商场向顾客发放9999张购物券～每张购物券上印有一个四位数的号码～从0001到9999号～如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和～则称这张购物券为“幸运券”(证明:这个商场所发放的购物券中～所有的幸运券的号码之和能被101整除( 解答:解:由已知～显然～号码为9999是幸运券～除这张外～如果某个号码n是幸运券～那么号m=9999-n也是幸运券～由于9是奇数～所以m?n(由于m+n=9999相加时不出现进位～这就是说～除去号码9999这张幸运券外～其余所有幸运券可全部两两配对～而每一对两个号码之和均为9999～即所有幸运券号码之和是9999的整倍数～而101|9999～故知所有幸运券号码之和也能被101整除( 5.写出都是合数的13个连续自然数( 解答:解:我们知道～若一个自然数a是2的倍数～则a+2也是2的倍数～若是3的倍数～则a+3也是3的倍数～…～若a是14的倍数～则a+14也是14的倍数～ ～所以只要取a为2～3～…～14的倍数～则a+2～a+3～…～a+14分别为23～…～14的倍数～从而它们是13个连续的自然( 所以～取a=2×3×4×…×14～则a+2～a+3～…～a+14必为13个都是合数的连续的自然数( 6.已知定理“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c～则a+b+c是整数n的倍数”(试问:这个定理中的整数n的最大可能值是多少,请证明你的结论( 解答:证明:?a+b+c=a+b+2a+5b=3,a+2b,～ 显然～3|a+b+c～ rrrr若设a、b被3整除后的余数分别为、～则?0～?0( bbaa rrrrrr若?～则=2～=1或=1～=2～ bbbaaa 则2a+5b=2,3m+2,+5,3n+1,=3,2m+5n+3,～或者2a+5b=2,3p+1,+5,3q+2,=3,2p+5q+4,～ 即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾( rrrrrr?只有=～则==1或==2( bbbaaa 于是a+2b必是3的倍数～从而a+b+c是9的倍数( 又2a+5b=2×11十5×5=47时～ a+b+c=11+5+47=63～ 2a+5b=2×13十5×7=61时～ a+b+c=13+7+61=81～ 而,63～81,=9～故9为最大可能值( 7.一个正整数N的各位数字不全相等～如果将N的各位数字重新排列～必可得到一个最大数和一个最小数～若最大数与最小数的差正好等于原来的数N～则称N为“新生数”～试求所有的三位“新生数”( 解答:解:设N是所求的三位“新生数”～它的各位数字分别为a、b、c,a、b、c不全相等,～将其各位数字重新排列后～连同原数共得6个三位数:～不妨设其中的最大数为～则最小数为(由“新生数”的定义～得N=-=,100a+l0b+c,一,100c+l0b+d,=99,a-c,( abccba 由上式知N为99的整数倍～这样的三位数可能为:198～297～396～495～594～693～792～891～990(这九个数中～只有954-459=495符合条件～故495是唯一的三位‘新生数”( 8.从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行～从左向右从1到11报数～报到11的同学原地不动～其余同学出列,然后～留下的同学再从左向右从1到11报数～报到11的同学留下～其余同学出列,留下的同学再从左向左从1到11地报数～报到11的同学留下～ 问最后留下的同学有多少,他们的编号是几号, 其余同学出列( 解答:解:由题意～第一次报数后留下的同学～他们的编号必为11的倍数, 第二次报数后留下的同学～他们的编号必为112=121的倍数, 第三次报数后留下的同学～他们的编号必为113=1331的倍数( 因此～最后留下的同学编号为1331的倍数～我们知道从1，2002中～1331的倍数只有一个～ 即1331号～ 所以～最后留下一位同学～其编号为1331( 9.在一种游戏中～魔术师请一个人随意想一个三位数～把的和N告诉魔术师～于是魔术师就能说出这个人所想的数(现在设N=3194～请你做魔术师～求出数来( acb解答:解:将也加到和N上～这样a、b、c就在每一位上都恰好出现 acb两次～所以有+N=222,a+b+c,～ 从而3194+100?222,a+b+c,?3194+999～而a、b、c是整数( 所以15?a十b十c?18?( 因为222×15-3194=136～222×16-3194=358～222×17-3194=580～222×18-3194=802～ 其中只有3+5+8=16能满足?式～ ?=385( 10.在下边的加法算式中～每个口表示一个数字～任意两个数字都不同:试求A和B乘积的最大值( 解答:解:先通过运算的进位～将能确定的口确定下来～再来求出A和B乘积的最大值( 设算式为 显然～g=1～d=9～h=0( a+c+f=10+B～b+e=9+A～ ?A?6( ?2,A+B,+19=2+3+4+5+6+7+8=35～ ?A+B=8( 要想A×B最大～?A?6～ ?取A=5～B=3( e=8～a=2～c=4,f=7～ 此时b=6～ 故A×B最大值为15( 11.任给一个自然数N～把N的各位数字按相反的顺序写出来～得到一个新的自然数N′～试证明:|N-N′|能被9整除( 解答:解:令N=～则N′=( aa,,,aaa,,,a12nnn,11 所以～N除以9所得的余数等于除以9所a，a，,,,，a得的余数～ 12n而N′除以9所得的余数等于a，a，,,,a除以9所得的的余数( nn,11 显然～a，a，,,,，aa，a，,,,a=(因此～N与N′除以9所得的余数相同12nnn,11 ～从而|N-N'|能被9整除( 12.,1,证明:形如的六位数一定能被7～1l～13整除( ,2,若4b+2c+d=32～试问能否被8整除,请说明理由( 解答:解:,1,=1001,100a+10b+c,=7×11×13,100a+10b+c,～ ?形如的六位数一定能被7～1l～13整除( ,2,=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+,4b+2c+d, =1000a+96b+8c+32～ 以上各式均能被8整除～ 故若4b+2c+d=32～能被8整除(