3.由奇与偶函数的和生成的一类高考试题

3.由奇与偶函数的和生成的一类高考试题 [高考数学母题一千题](第0001号) 由奇与偶函数的和生成的一类高考试题 奇与偶函数的和函数的母题 奇函数f(x)与偶函数g(x)的和函数M(x)具有如下性质,它是生成一类高考试题的出发点,它具有显着的母题特征. [母题结构]:函数M(x)的定义域关于原点对称的充要条件是M(x)可分解成一个奇函数f(x)与一个偶函数g(x)的和. M(x)，M(,x)M(x),M(,x)[母题解析]:(必要性)若函数M(x)的定义域关于原点对称,令f(x)=,g(x)=,则M(x)=f(x)+g(x), 22 且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数; (充分性)若M(x)=f(x)+g(x),由奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域均关于原点对称M(x)的定义域关于原点对称. , 1.判断奇偶性 x-xx-x 子题类型?:(2010年广东高考试题)若函数f(x)=3+3与g(x)=3-3的定义域均为R,则 (A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 (C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 xx-xx-x[分析]:由h(x)=3的定义域关于原点对称f(x)=h(x)+h(-x)= 3+3为偶函数,g(x)=h(x)-h(-x)=3-3为奇函数. , x[解析]:令h(x)=3,则h(x)的定义域关于原点对称f(x)=h(x)+h(-x)为偶函数,g(x)=h(x)-h(-x)为奇函数.故选(B). , 判断函数奇偶性的一般方法是定义法,母题的一个副产品:“若函数M(x)的定义域关于原点对称,则f(x)=M(x)- [点评]: M(-x)是奇函数,g(x)=M(x)+M(-x)是偶函数”,提供了判断一类函数奇偶性的快捷方法. 2.求分解函数 x 子题类型?:(2011年湖北高考试题)(文)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=e,则g(x)=( ) 111x-xx-x-xxx-x(A)e-e (B)(e+e) (C)(e-e) (D)(e-e) 222 1xx-xM(x),M(,x)[分析]:令M(x)=e,则奇函数g(x)==(e-e). 22 1x-x-xx-x[解析]:由f(x)+g(x)=ef(-x)+g(-x)=ef(x)-g(x)=eg(x)=(e-e).故选(D). ,,,2 22[点评]:若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=M(x),则:?f(x)-g(x)=-M(-x);?f(a)-g(a)=-M(a)M(-a). 3.研究分解函数 x 子题类型?:(2008年安徽高考试题)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)-g(x)=e,则有( ) (A)f(2)f(2)>f(0)=0>-1=g(0).故选(D). [点评]:若奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=M(x),研究奇函数f(x)和偶函数g(x)的性质是母题的引伸问题,解决问题的关键还是由母题求奇函数f(x)和偶函数g(x). 4.子题系列: 1.(2014年重庆高考试题)下列函数为偶函数的是( ) 3x-xx-x(A)f(x)=x-1 (B)f(x)=x+x (C)f(x)=2-2 (D)f(x)=2+2 x4，12.(2010年重庆高考试题)函数f(x)=的图象( ) x2 (A)关于原点对称 (B)关于直线y=x对称 (C)关于x轴对称 (D)关于y轴对称 3.(2013年湖南高考试题)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 324.(2014年湖南高考试题)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x+x+1,则 f(1)+g(1)=( ) (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 25.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=x+2x+3,则f(x)+g(x)= . 26.(2004年全国高中数学联赛湖南预赛试题)己知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)-g(x)=x+9x+12,则f(x)+g(x)=( ) 2222(A)-x+9x-12 (B)x+9x-12 (C)-x-9x+12 (D)x-9x+12 17.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)函数y=(x?1)可以表示成一个偶函数f(x)与一个奇函,x,1 数g(x)的和,则f(x)= . 28.(2002年第十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)将函数f(x)=lg(x-x+1)写成一个偶函数及一个奇函数的和,其中的奇函数为 . 9.(2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足:f(x)+g(x) 2 =x+x+1,则g(2)= . 21，x，x10.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设f(x)+g(x)=,且y=f(x)和y=g(x)依次是偶函数和奇函数,则f(3)= . 1，cos2x,,11.(1987海市高中数学竞赛(新知杯)试题)f(x)+g(x)=(x?(-,)),且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则221,sinx 22[f(x)]-[g(x)]= . 1，cos2x,,12.(2007年福建省高一数学夏令营选拔试题)设f(x)+g(x)=(x?(-,)),且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,221,sinx ,,22则[f()]-[g()]= . 44 13.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设x?[-1,1],f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)= g(x)lg(2–x),则g(x)= ,10的最大值是 . 14.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)已知函数f(x)是R上的奇函数,函数g(x)是R上的偶函 24数,且f(x)-g(x)=4-3sinx-2x-x.记函数f(x)的最大值为M,g(x)的最小值为m,则M+m=( ) (A)-8 (B)-7 (C)-2 (D)-1 75215.(2003年上海交通大学保送生考试试题)已知f(x)=ax+bx+x+2x-1,f(2)=-8,则f(-2)= . 43216.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=ax+bsinx+cx+dx+2满足:f(1)=7,f(-1)=9,且f(2)+f(-2)=124,则f()+f(-)=( ) 22 4.子题详解: xx-x,1.解:由g(x)=2的定义域关于原点对称f(x)=g(x)+g(-x)=2+2是偶函数.故选(D). x4，1x-x2.解:由f(x)==2+2是偶函数.故选(D). x2 ,3.解:由-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4g(1)=3.故选(B). 324.解:由函数奇偶性f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)+(-1)+1=1.故选(C). 25.解:由f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x)=-(x-2x+3). 26.解:由f(x)+g(x)=-f(-x)+g(-x)=-(x-9x+12).故选(A). 11117.解:由f(x)=(+)=(x?1). ,2,x,12x,1x,1 2x,x，1118.解:由奇函数=[f(x)-f(-x)]=lg. 222x，x，1 1229.解:由g(2)=[2+2+1-(-2)-(-2)-1]=2. 2 11221371，3，310.解:由f(3)=[+]=(+). 1，(,3)，(,3)22 1，cos2x1，cos2x1，cos(,2x)22,11.解:由[f(x)]-[g(x)]=-=-=-2cosx. cox1,sinx1,sin(,x) ,,2222212.解:由[f(x)]-[g(x)]=-2cosx[f()]-[g()]=-. ,44 2，x1113g(x)13.解:由g(x)=lg?lg10的最大值=. ,2,x2233 4214.解:由f(x)=-3sinx,g(x)=x+2x-4M=3,m=-4M+m=-1.故选(D). ,, 7522215.解:令g(x)=ax+bx+2x,则g(x)是奇函数,且f(x)=g(x)+x-1f(2)+f(-2)=[g(2)+2-1]+[g(-2)+(-2)-1]=[g(2)+ , f(-2)=14. g(-2)]+6, 42316.解:令g(x)=ax+cx+2,h(x)=bsinx+dx,则g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,且f(x)=g(x)+h(x)f(x)+f(-x)=2g(x),由 , 4f(1)=7,f(-1)=9f(1)+f(-1)=16g(1)=8a+c=6;由f(2)+f(-2)=124g(2)=624a+c=15a=3,c=3g(x)=3x+ ,,,,,,, 23x+2f()+f(-)=2g()=40.故选(D). ,222