【doc】关于c＋d整除c·a^n＋d·b^n的一个充分条件

【doc】关于c＋d整除c·a^n＋d·b^n的一个充分条件 关于c，d整除c?a^n，d?b^n的一个充 分条件 中学数学杂志(高中)2ooo年第3期 关于c+d整除C?+d?b的一个充分条件 湖北谷城县城关二中441700程鹏 在高中数学教材中,关于整除性问的习题颇 多.例如:?若为自然数,证明3+2能被7 整除;?证明:3+能被13整除(为非负整 数);?如果今天是星期日.那么2天以后的那天 是星期几? 高中教材在解决此娄问题时,主要用了三种方 法:其一.数学归纳法,如?;其二,因式分解法.如 ?;其三,用二项式定理,如?等 本文旨在借助于初等散论中整除的理论知识, 给出c+d整除c?+d?的一个充分条件.上 述习题都是本文定理的特殊例子.本文弓『用记号l 示整除. 定理设4,6.c,d均为整数.为正整数.且 C+d?0.则(+)l(c?a+d?b)的充分条 件是(c+)l(.一6) 证明因为c?a+d- =c?+d?十d?一d? : (f+d)a一d(a一),(t) 又因为(f十d)l(d一6) 而d一 = (n一6)(?+db+…+.一+一), 所以(+)l(c+d)a,(c+d)l(a一). 即()式右端能被c+d整除,故(t)式左端 亦能被f+d整除.即(c+d)(c-d+d?b). 根据这个定理,可以计算c+d能否整除d一 的问题.颇有新意. 倒1设是非负整数.求证:II+12 能被I33整除. 证明因为为非负整数.I1+I22= 121,I1+12?144 令c=12I,d:12,0=11,b:14 则c+d:133.d一6=一133,即有(c+l (a一6). 据本文定理知:133I(121-儿+12-144) 所以133l(tl+12) 倒2若n是自然数,求证:6+3十3能 被儿整除. 证明因为是自然数,6h+3?+3:36 +10?3. 令f:1.d:10,a:36,6:3, 则c+d=II,.一b33,即有(f+)l(? 一 6). 据本文定理知:11l(36+l0?3), 所以I1l(62+3+3). 这类同题的一般形式是: 如果n是正整数,?是任意整数.那么.I斗+(? +1)"能被d+.+1整除.(请读者自证). 应用率文定理及其推论还可解答一些有关整除 的问题: 例3求幂3的末位数字. 解因为3嘲+1:32?(3')+I:9.81埘 +I, 令c:9.d:I,d=81,b=1, 则c+d:10,?一6:踟,即有 (c+d){(d一6). 据本文定理知:10l(9-8I+1). +1), 即10l(3嘲 由此可见:3瞄脒以1O余一l,即余9. 所以3螂的末位数字是9. 倒4求4被l1除所得的余数. 解根据本文推论可知:(45一I)l(45一1) 所以44l(45一I),45一1能被儿整除. 因此,45.被II除所得的余数是1. 例5如果今天是星期日.那么哪灭以后的那 天是星期几? 解因为2一1=(2)一I=8一I 根据本文推论可知:(8—1)l(8一1)' 所以7I(2一1),于是2除以7余I.郾290那 天是星期一