周期函数Fourier级数展开式的唯一性

周期函数Fourier级数展开式的唯一性 周期函数Fourier级数展开式的唯一性 第17卷第5期 200J年10月 工科数学 JOURNALOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY Vo1.17,N9.5 Oct.2001 周期函数Fourier级数展开式的唯一性 梁志彬 (南京师范大学数学与计算机科学学院.南京210097) [摘要]以2为周期的函数,()也可看作周期为2kl(k=1.2,3.…).设,()满足Diriehlet充分条件, [2j证明了按[1]展开的以2为周期的Fourier级数和以4为周期的Fourier级数对应的不同达形式是 一 致的.本文则在[2]的基础上,进一步证明了按[1]方法展开的以2为周期的Fourier级数和以2k/(k=1,2, 3,…)为周期的Fourier级数对应的表达式的一致性.从而得出结论:任一周期函数f(x)按[1]方法展开的 Fourier级数是唯一的. [美蕾词]周期函数~Fourier级数;一致性 [中圈分类号]O174.2[文献标识码]c[文章编号1007—4120(2001)050095—03 如L1J所述,周期为2的周期函数f)在满足Diriehlet充分条件的前提下,其在连续点处的Fouri- er展开式为 ,()=考+(cos写兰+b.sin丁n~r2s】,(1) 其中 = ?l,()c0sTn~r.rd,:0,l,2,…,'' (2) 6=?fl,)sin丁n~r2s出,=1,2,3,…. 若其以周期为2(=1,2,3,…)展开,则类似于(1),(2),有 ,c一等+耋(cos箐+sin】,cs,()一等+?{c0s+sinI,(3) 其中 = 击)cos=.'l,2,…, - ~V,(in",2…. … 本文则利用积分性质和矢量和的性质证明了以上两个表达式(】),(3)的一致性,eP 定理1设周期为2l的周期函数,()满足Diriehlet充分条件,则 考+薯【s字sin一7-】=警+耋c.s等in寄j,? 其中a,口(一0,1,2,…),,(—l,2,3,…)是由上(2),(4)式给出的Fourier级数系数. 类似于[2],定理1等价于? 定理2设条件同定理l,则 去,"+薹,(t)eos出=,c蒯卅耋击『=,(u)eos—n~'(x--一u)cs [收稿日期20001128 工科数学第17卷 在证明定理2之前,我们先引出以下结论. 引理l:如果_厂)是在[z,z]上按段连续的1.'22l为周期的周期函数.则对于任意n.有 2t lf(x)dx=lf(x)dx.J4J, 引理2已知矢量和 A=?cos??iq-sinam?刀(=1,2.3,…), 一 一 【.n一2. A=?i=ki. ii)当?2时,下面只证为锐角且0<鼬?的情形.n? 】AI一2Rsin.(11) 1 = Rsin号,…) (7) (8) (9) (1O) ak sm IAI_专,S『n 从而结论得证. 利用引理2结论,很容易得 . 妾cos={::'c.z.s,…一…, 耋sin=.c.z,s,… 下面利用引理1,引理3和引理4证明定理2. 定理2的证明1.利用引理1.有 ?"mm= (")d"+m+ J一^,JJJ 而 lf(u)du(一1,2,…,), l;载龇崮l幽l.-? 图l向量台成示意图 . (13) (14) , 一一 r??J 故 第5期粱志彬:周期函数Fourier级数展开式的唯一性97 又 2.由引理l l,(")幽,(")dM一tf(u)du. a"=mcosa" = 瓢mcos吾m 2(m-I )cosd J)m 代人(15)式,有 几)cos巫d" )cos出 c.s [一垫二]1——一一——i厂j' 一 ~ 壹_ 1Jo cos 一s 耋一2n~(7 再由引理3,引理4结论.可得 t)2nn"(一1)Z 1)ng(x一一 十"— 1)(一一 十—— 堕sin塑d} 堕壹i一I Znlr(m f"S(.)cosd"=1f,.).0型三=出,: km (ml,2,3,…) r.?, 故由1.,2.可知,(6)式左端的第项,对应了(6)式右端的第kn项,从而定理2得证. 最后可得结论:任一周期函数,(z)按[1]方法展开的Fourier级数是唯一的. [参考文献] 高等数学(上,下册)[M].北京:高等教育出版社,l996. [1]同济大学. _2]刘缵武等.关于Fourier级数的一点推广.工科数学.1999.15(3)153l55 [3]吉林大学.数学(中,下册)[M].北京:人民教育出版社t1978. TheUniquenessoftheFourierSeriesofthePeriodicFunction LIANGzhi—bin (Institute0fMathematicsandComputerScience,NanjingNormalUniversity.Nanjing2100 97) (15) AbstractTheperiodic~unction0fperiod2/isalsotheperiodicfunctionofperiod2M(k=1,2, …).TheirFourierseries aredikerinf0rm.Inthispaper,weprovethatthetwoexpressionsareoneandthesame.then,wed erivedaconclusion that.theFourierseries0fperiodicfunctionareunique. Keywords:period0ffunction}Fourierseriesiuniqueness ? " ,, 苜rJ r??L , ?一