尺规作图

尺规作图 EDOI 第38章 尺规作图 一、选择题 11. (2011浙江绍兴，8，4分)如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 的长为半径ABAB,ABC2 画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接.若的周长为10，，DADMN,MNBC,ADCAB,7 则的周长为( ) ,ABC A.7 B.14 C.17 D.20 CN D AB M (第8题图) 【答案】C 二、填空题 三、解答题 1. (2011江苏扬州，26,10分)已知，如图，在Rt?ABC中，?C=90º，?BAC的角平分线AD交BC边于D。 (1)以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作?O(不写作法，保留作图痕迹)，再判断直线BC与?O的位置关系，并说明理由; (2)若(1)中的?O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=, 求线段BD、BE与劣弧DE23 所围成的图形面积。(结果保留根号和) , 【答案】(1)如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。 EDOI 判断结果:BC是?O的切线。连结OD。 ?AD平分?BAC ??DAC=?DAB ?OA=OD ??ODA=?DAB ??DAC=?ODA ?OD?AC ??ODB=?C ??C=90º ??ODB=90º 即:OD?BC ?OD是?O的半径 ? BC是?O的切线。 (2) 如图，连结DE。 设?O的半径为r，则OB=6-r， 在Rt?ODB中，?ODB=90º， 222 222 ? 0B=OD+BD 即:(6-r)= r+() 23 ?r=2 ?OB=4 ??OBD=30º，?DOB=60º 602122??ODB的面积为，扇形ODE的面积为 ，23，2,23，,，,,36032 2?阴影部分的面积为—。 23,3 2. (2011山东滨州，23，9分)根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把?ABC恰好 分割成两个等腰三角形(不写做法，但需保留作图痕迹);并根据每种情况分别猜想:?A与?B有怎 样的数量关系时才能完成以上作图,并举例验证猜想所得结论。 (1)如图??ABC中，?C=90?，?A=24? EDOI C AB (第23题图?) ?作图: ?猜想: ?验证: (2)如图??ABC中，?C=84?，?A=24?. C AB (第23题图?) ?作图: ?猜想: ?验证: 【答案】 (1)?作图:痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作?ACD=?A(或?BCD=?B)两 类方法均可， 在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………2分 ?猜想:?A+?B=90?，………………4分 ?验证:如在?ABC中，?A=30?，?B=60?时，有?A+?B=90?，此时就能找到一条把?ABC恰好 分割成两个等腰三角形的直线。………………5分 (2)答:?作图:痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作?ACD=?A或在线段 CA上截取CD=CB三种方法均可。 在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求………………6分 ?猜想:?B=3?A………………8分 ?验证:如在?ABC中，?A=32?，?B=96，有?B=3?A，此时就能找到一条把?ABC恰好分割成 两个等腰三角形的直线。………………9分 EDOI 3. (2011山东威海，20，8分)我们学习过:在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某一个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫旋转中心( (1)如图?，?ABC??DEF，?DEF能否由?ABC通过一次旋转得到,若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由(图? (2)如图?，?ABC??MNK，?MNK能否由?ABC通过一次旋转得到,若能，请用直尺和圆规画出旋转中心，若不能，试简要说明理由( ,保留必要的作图痕迹, 图? 图? 【答案】 解:(1)能，点就是所求作的旋转中心( O1 图? 图? (1)能，点O就是所求作的旋转中心( 2 4. (2011浙江杭州，18，6)四条线段a，b，c，d如图，a:b:c:d,1:2:3:4( (1)选择其中的三条线段为边作一个三角形(尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法); (2)任取三条线段，求以它们为边能作出三角形的概率( 【答案】(1)只能取b,c,d三条线段，作图略 EDOI (2) 四条线段中任取三条共有四种等可性结果:(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)， (b，c，d)，其中能组成三角形的只有(b，c，d)，所以以它们为边能作出三角形的概 1率是( 4 5. (2011四川重庆，20，6分)为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音 乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B 之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示(请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M、位置((要 求:不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图) 【答案】 6. (2011甘肃兰州，25，9分)如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C。 (1)请完成如下操作: ?以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系;?用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连结AD、CD。 (2)请在(1)的基础上，完成下列问题: ?写出点的坐标:C 、D ; ??D的半径= (结果保留根号); ?若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面面积为 (结果保留π); ?若E(7，0)，试判断直线EC与?D的位置关系并说明你的理由。 EDOI A B C O 【答案】(1) y A B C D O x E (2) ? C(6，2)，D(2，0) ? 25 5? ,4 ?相切。 理由:?CD=，CE=，DE=5 255 222?CD+CE=25=DE ??DCE=90?即CE?CD ?CE与?D相切。 7. ( 2011重庆江津， 23，10分)A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x轴建 立如图所示的平面直角坐标系,且点A的坐标是(2,2),点B的坐标是(7,3). (1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C点到A、B两校的距离相等,如果有?请用 尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标. (2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并 求出它的坐标. y .B(7, 3) .A(2, 2) O x 第23题图 EDOI 【答案】(1)存在满足条件的点C: 作出图形，如图所示，作图略; // (2)作出点A关于x轴的对称点A(2,-2), 连接AB，与x轴的交点即为所求的点P. // 设AB所在的直线的解析式为: y=kx+b, 把A(2,-2), B(7,3)分别代入得: 7k，b,3k,1,, 解得:? ,,2k，b,,2b,,4,, 所以: y=x-4? 当y=0时，x=4,所以交点P为(4，0)? 8. (2011重庆綦江，19，6分)为了推进农村新型合作医疗改革,准备在某镇新建一个医疗点P，使P到 该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图)， 请你用尺规作图的方法确定点P的位置. 要求: 写出已知、求作;不写作法，保留作图痕迹( 解:已知: 求作: 【答案】:解:已知:ABC三点不在同一直线上. 、、 求作:一点P，使PA,PB,PC. (或经过A、B、C三点的外接圆圆心P) 正确作出任意两条线段的垂直平分线，并标出交点P 9. (2011江苏南京，27，9分)如图?，P为?ABC内一点，连接PA、PB、PC，在?PAB、?PBC和?PAC 中，如果存在一个三角形与?ABC相似，那么就称P为?ABC的自相似点( EDOI ?如图?，已知Rt?ABC中，?ACB=90?，?ACB,?A，CD是AB上的中线，过点B作BE?CD， 垂足为E，试说明E是?ABC的自相似点( ?在?ABC中，?A,?B,?C( ?如图?，利用尺规作出?ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹); ?若?ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数( A A A D P E B C B C B C ? ? ? (第27题) 【答案】解:?在Rt ?ABC中，?ACB,90?，CD是AB上的中线， 1?，?CD=BD( CDAB,2 ??BCE,?ABC(?BE?CD，??BEC,90?， ??BEC,?ACB(??BCE??ABC( ?E是?ABC的自相似点( ??作图略( 作法如下:(i)在?ABC内，作?CBD,?A; (ii)在?ACB内，作?BCE,?ABC;BD交CE于点P( 则P为?ABC的自相似点( 11?连接PB、PC(?P为?ABC的内心，?，( ，,，PCBACB，,，PBCABC22 ?P为?ABC的自相似点，??BCP??ABC( ??PBC,?A，?BCP,?ABC=2?PBC =2?A， ?ACB,2?BCP=4?A(??A+?ABC+?ACB,180?( ??A+2?A+4?A,180?( 180180360720?(?该三角形三个内角的度数分别为、、( ，,A7777 10((2011江苏无锡，26，6分)(本题满分6分)如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个 底角为60?。正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合。现将正方形ABCD 在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。 EDOI (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图; (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ 所围成图形的面积S。 N P C D B Q A(M) 【答案】解:(1)如右图所示(……………………(3分) 11150222 (2)S = 2[π?1 + π?(2) + 1 + π?1] 44360 7π = + 2(………………………(6分) 3 P N C D B Q A(M) 11. (2011重庆市潼南,19,6分)画?ABC,使其两边为已知线段a、b，夹角为. , (要求:用尺规作图，写出已知、求作;保留作图痕迹;不在已知的线、角上作图;不 写作法). 已知: ab 求作: , 19题图 【答案】已知:线段a、b 、角 -------------1分 , 求作:?ABC使边BC=a，AC= b，?C= ------------2分 , 画图(保留作图痕迹图略) --------------6分 12. (2011湖北宜昌，23，10分)如图1,Rt?ABC两直角边的边长为AC = 1，BC =2. EDOI (1) 如图2, ?O 与Rt?ABC的边AB 相切于点X，与边CB相切于点Y.请你在图2 中作出并标明?O 的圆心0;(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和) (2) P 是这个Rt?ABC上和其内部的动点，以P 为圆心的?P 与Rt?ABC 的两条边相切.设?P 的面积为S，你认为能否确定S 的最大值, 若能，请你求出S 的最大值;若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由. (第23题图1) (第23题图2) 【答案】解:(1)共2分.(标出了圆心，没有作图痕迹的评1分)看见垂足为Y(X)的一 条 垂 线 (或 者?ABC的平分线)即评1分， (2)?当?P与Rt?ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是?ABC的平分线BM上的点，如图1，在?ABC的平分线BM上任意确定点P (不为?ABC的顶1点)， ? OX ,BOsin?ABM，PZ,BPsin?ABM(当 BP,BO 时 ，PZ,OX,即P与B的1111 距离越大，?P的面积越大(这时，BM与AC的交点P是符合题意的BP长度最大的点. (3分.此处没有证明和结论不影响后续评分) 如图2，??BPA,90?，过点P作PE?AB，垂足为E，则E在边AB上. ?以P为圆心、PC为半径作圆，则?P与边CB相切于C，与边AB相切于E，即这时的?P是符合题意的圆.(4分.此处没有证明和结论不影响后续评分)这时?P的面积就是S的最大值. ??A,?A，?BCA,?AEP,90?,? Rt?ABC?Rt?APE，(5分) PAPE? =.?AC,1，BC,2，?AB, . 5ABBC 设PC,x，则PA,AC,PC,1,x,PC,PE， 1,x2x? =，?x,((6分) 252，5 ? 如图3，同理可得:当?P与Rt?ABC的边AB和AC相切时， 22,yy设PC,y，则 =，?y= (7分) 151，5 EDOI 2,zz? 如图4，同理可得:当?P与Rt?ABC的边BC和AC相切时，设PF,z，则=，21 2?z=(8分)由?，?，?可知:? ,2，? ，2,，1,3，?当分子、5553 2分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，(或者:?x,, 2，5 25,1 ,4, y= = ， 2521，5 49,45?y-x=>0,?y>x. 2 27,455,1222?z-y=, =>0，?2> > ，(9分，没有过程直接得出32631，52，5 酌情扣1分)? z,y,x. 4??P的面积S的最大值为π.(10分) 9 C C P PM O 1 A B A E B X Z C (第23题答图1) (第23题答图1) C P A B A B (第23题答图3) (第23题答图4)