一九九七年全国高中数学联合竞赛

一九九七年全国高中数学联合竞赛 一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.1(已知数列{X}满足X= X – X (n , 2). X = a, X =b. 记S = X + X + …+ nn+1 nn –1 12n 1 2 X , n 则下列结论正确的是___________. (A) X = – a , S =2b –a (B) X = – b, S =2b –a 100 100100 100 (C) X = – b, S = b –a (D) X = – a, S = b –a 100 100100 100 2.如图, 正四面体ABCD中，E在棱AB上， A F在棱CD上. 使得 = = λ, E (0<λ< +?). 记f (λ)=α+β. 其中α D ,,, 示EF与AC 所成的角,B表示EF与BD B , 所成的角。则_______. G F (A) (A) f (λ)在 (0, +?)上单调增加 C (B) (B) f (λ)在 (0, +?)上单调减少 (C) f (λ)在 (0, 1 ) 上单调增加,而在在(1,+?)上单调减少 (D) f (λ)在 (0, +?)上为常数. 23.设等差数列的首项及公差均为非负整数, 项数不少于3, 且各项的和为97. 则这样的 数 列共有_________个. (A) (A) 2 (B)3 (C)4 (D)5 2 2 2 4.在平面直角坐标系中, 若方程m ( x+ y+ 2y + 1) = (x –2 y + 3)表示的曲线为椭圆, 则m的取值范围是_________ . (A) (0, 1) (B)(,，+?) (C) (0, 5) (D) (5, +?) 25.设f(x)=x-,x,,=arcsin ,,=arctg ,, =arccos(- ),,=arcctg(- ).则_____. (A)f(,)>f(,)>f(,)>f(,) (B)f(,)>f(,)>f(,)>f(,) (C) f(,)>f(,)>f(,)>f(,) (D)f(,)>f(,)>f(,)>f(,) 6.如果空间三条直线a、b、c两两成异面直线，那么与a、b、c都相交的直线有________. (A) 0条 (B)1条 (C)多于1的有限条 (D)无穷多条 二、二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 3 (x –1 )+ 1997(x –1 ) = -1 1(1(设x, y为实数，且满足 则x + y = __________. 3 (y –1 )+ 1997(y –1 ) = 1 222.过双曲线x – y = 1的右焦点作直线l 交双曲线于A、B两点. 若实数, 使得|AB|=,的直线恰有3条，则,= _________. 3.已知复数z满足|2z + | = 1. 则z的辐角主值范围是________________. 4.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形, SA=SB=SC=2, AB=1. 设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为________. 5.设ABCDEF为正六边形, 一只青蛙在顶点A处, 它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点, 则停止跳动; 若5次之内不能到达D点, 则跳完5次也停止跳动. 那么这只青蛙从开始到停止, 可能出现的不同跳法共____________种. –1 –1 –1 6.设a = lgz + lg[x(yz)+ 1], b = lgx+ lg(xyz + 1), c = lgy + lg[(xyz)+ 1]。记a、b、c 中的最大数为M，则M的最小值为_____________. 三、三、(本题满分20分) 设x , y , z , , , 且x + y + z = , , 求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值. 四、四、(本题满分20分) y C 1 设双曲线xy = 1的两支为C, C (如图) Q 12 正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上， R (1) 求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上. (2) (2) 设P(–1，–1)在C上，Q、R在C上， C o x 212 求顶点Q、R的坐标. P(–1, –1) 五、五、(本题满分20分) aaaa,3524 ,,,,,aaaa,1234.,11111, 4()a，a，a，a，a,，，，，,S12345,aaaaa12345, 设非零复数a, a, a,a,a满足: 123 4 5 其中S为实数且|S| , 2，求证:复数a、a、a、a、a在复平面上所对应的点位于同一12345 圆周上.