定积分的计算

定积分的计算 —— 0404 定积分的计算 课程 机电数学 课题 授课对象 机电类专业三年制高职生 课时 2 教材 《简明微积分》 主编:李亚杰，高等教育出版社 1、掌握Newton —Leibniz 公式; 认知 2、掌握定积分的换元积分法; 目标 3掌握定积分的分部积分法。 1、能熟练运用Newton —Leibniz 公式进行运算; 教学 能力2、能运用第一类换元积分法计算相关题型的定积分; 目标 目标 3、能运用分部积分法计算相关题型的定积分; 4、逐步提高数学思维能力与分析问题解决问题的能力。 素质 提高数学文化修养，培养正确的思维方法;提高用数学方法分析 目标 问题的能力。 1、Newton —Leibniz 公式; 教学2、第一类换元积分法; 重点 3、分部积分法。 教学 综合运用公式、积分方法求初等函数的定积分。 难点 由实例引出Newton —Leibniz 公式，通过例题中讲解学会运用公式;对比教学不定积分的换元积分法和分部积分法讲解定积分对应的方法，易于学生接受，思路 并注意与不定积分对应方法的区别。典型例题结合练习巩固所学知识;利于学 生数学素质的提高。 学习效果 作业反馈与提问 评价方式 教 学 过 程 步时间教/学活动 教学内容 骤 (分) 教师板书 01 一、微积分基本公式 引例[变速直线运动路程的计算问题] 教师举例02 启发讲 如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间v(t)(,0)解，学生 上所经过的路程(图4-9)为 [a,b] 参与思考 b (1) s,v(t)dtab过程 , a 另一方面，设路程和时间的函数关系式为，那么sts,s(t) t,b物体从到所经过的路程为 t,a (2) s,s(b),s(a)ab 由(1)和(2)式，得 b v(t)dt (3) ,s(b),s(a) ,a s(a)s(b),s(a) (a)(b)SOAB s(b) 图4-9 b学生思考 03 f(x)dx如何求值, ,a 教师归纳04 如果是连续函数在区间上的一个原函数，F(x)f(x)[a,b]引入牛-b bf(x)dx,F(x),F(b),F(a)则 ,a莱公式a PPT 上述公式通常叫做牛顿—莱布尼兹公式，也叫做微积分基本 公式. 计算定积分的问题，由此归结为求原函数的问题。 教师指出 05 例1 计算下列定积分: 教师举例06 启发讲解 , e12cosxdxdx (1); (2); 适时问答 ,,10x e1e dx,[lnx],lne,ln1,1 解 (1); 1,1x , ,,22cosxdx,[sinx],sin,sin0,1(2). 0,02 21引导学生 (2x，)dx例2 计算. ,1x求解，教 解 师及时解 2惑 1 (2x，)dx,1 x 22 1 222 ,2xdx，dx,[x]，[lnx],(4,1)，(ln2,ln1)11,,11 x ,3，ln2 . ,32 例3 计算. (x，3)cosxdx ,,,启发讲解2 注重分析 33 解 被积函数，其中第一(x，3)cosx,xcosx，3cosx提问相关 性质 ,,[,,]项是奇函数，第二项是偶函数，而积分区间是，所以 22 ,, ,32232xcosxdx，3cosxdx (x，3)cosxdx = ,,,,,,,,,22 2 ,, 2 2,0，6cosxdx,,6sinx,6 = 0,0 2 2例4 计算(x,1)dx. ,0通过例407 的解决过 ,1,1,,2xx,2(,1),|,1|,xx程，教师解 由于，所以， ,1,x,0,x,1,归纳方法 212 2(x,1)dx,(1,x)dx，(x,1)dx ,,,001 1211，，，，22 ,x,x，x,x,,,,22，，，，01 11，，，， ,(1,),0，(2,2),(,1),1 ,,,,22，，，， 二、定积分的换元法 教师板书 08 PPT 直接积分法与微积分基本公式从本质上解决了定积分的计 b f(x)dx算.但在计算定积分时，如果被积函数的原函数要用第,a 二类换元积分法求得，那么该定积分的计算还可以用更简便的方 法——定积分的换元积分法: f(x) 设在上连续，而x,,(t)满足下列条件: [a,b] (1),(,),a，,(,),b; (2)x,,(t)在(或)上具有连续导数; [,,,][,,,] x[a,b](3)当在(或)内变化时，相应的在[,,,]t[,,,] 内变化而不超出. [a,b] 那么有 b, , f(x)dx,f,,,(t),(t)dt,,启发换元a09 , 思想，注 3x 例5 计算. dx重分析 ,01，x 2 dx,2tdt解 设 ，即， 则， 1，x,tx,t,1(t,0) t,1x,0t,2x,3且当 时，; 时，. 于是, 3x注意与不 dx,01，x定积分对 应方法的 2222118t,，，23区别。 ,,tdt,t,dt,t,t,22(1)2 ,,,,1133t，， 1 , 22sinxcosxdx 例6 计算. ,0 sinx,ucosxdx,duu,0x,0 解 设，则，且时，; ,u,1x,时，. 于是 2 1,111，，223 2sinxcosxdx . ,udu,u,,,,,0033 ，， 0“凑”的10 这个积分中被积函数的原函数也可采用凑微分法求得， 过程，由 ,,,211，，2学生完成 23 22sinxcosxdxsin(sin)sin . ,xdx,x,,,,,0033 ，，0 可以看出，此时由于没有进行变量代换，积分区间不变，所 以计算更为简便. 教师板书 11 三、定积分的分部积分法 设函数及在区间上具有连续导数，[a,b]u,u(x)v,v(x) 则有定积分的分部积分公式: bb b ,,udv,uv,vdu . ,,a教师举例 aa12 ,启发讲解 xcosxdx例7 计算. ,0适时问答 dv,cosxdxu,x 解 令，.则 ,d(sinx) ,,, ,xcosxdx,xd(sinx),,,xsinx,sinxdx. 0,,,000 , ,0，,,cosx,,20教师举例 13 1启发讲解 x2xedx例8 计算. ,0 同一题中14 111分部积分 1xxxx222 解 ,,xedx,xd(e),xe,2xedx0,,,公式可累0 00 111次使用。 xxx,,,,e2xe2edx,,, ,(e,0),2xd(e),,0,,00注意与不,, 定积分对 1,,x,e,2e,2e,e,2e，2(e,1),e,2应方法的. ,,0,,区别。 91.求下列定积分: 212 (1); (2); xxdx()1，()xdx，,4,41x 13学生练习 15 dxdx2(3); (4); 112,,2能力训练 ,，1x1x,23 ,22,dx (5); (6)( sinxdx,,,,e101，x 2.用定积分的换元法计算下列各定积分: 1,dx,(1); (2); sin()xdx，,3 ,, ,2()115，x33 ,, 33 sincosxxdx(sin)1,,,d(3); (4)( ,,00 3.用分部积分法计算下列定积分: 1e ttedtxxdxln(1); (2); ,, 10 ,4lnxx3 dx(3); (4); dx,,2,1xsinx 4 ,1 2x 2exdxcosxarctanxdx(5); (6)( ,,00 师生互动16 1、Newton —Leibniz 公式 教师 牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的工具，它把不定积分板书 和定积分联系起来，是微积分中的基本公式。 2、定积分的换元法 3、分部积分公式 换元积分法和分部积分法是两种十分重要的方法，注意与 不定积分对应方法的区别。 课后任务 17 教材习题