破而后立

破而后立 ——建模思想在《乘法分配律》一课中的“另类”体验 济南市友谊 李杨 数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。在教学《乘法分配律》一课时，我进行了一些尝试: 【案例】 一、自主学习，初步建立数学模型。 1.自学材料 6×78表示:6个78 4×78表示:4个78 那么: 6×78+4×78 我们可以想象成:6个78加4个78，一共( + )个78, 用算式表示:6×78+4×78 =(6+4)×78 =10×78 =780 2.小组合作、全班交流: (1)你可以用上面的方法说一说下面的算式吗, 7×56+3×56 预设: 生1:7×56+3×56 想象成7个56加3个56，一共有(7+3)个56。 7×56+3×56 =(7+3)×56 =10×56 =560 (2)你能试着举几个这样的例子吗, 3×4+2×4=(3+2)×4 5×6+5×7=5×(6+7) ...... 3.引导概括、建立模型。 师:这就是今天我们要学习的乘法分配律，能结合这些例子试着说一说，你对乘法分配律的认识吗, (1)小组内试着说一说。 (2)交流。 预设: 生1:3个4加2个4，一共( 3 + 2 )个4. 引导:观察两道算式，先算什么,再算什么,结果怎么样, 生1:先算3×4与2×4的积再算他们的和等于先算(3+2)的和再算积。 ...... 小结:两个数分别与同一个数相乘，再把积相加，等于两个数的和与这个数相乘。 在过去的学习生活中，我们曾经应用乘法分配律解决过一些问题，一起来看一下。 二、回顾旧知，深化认识。 1. 每件上衣65元，每条裤子35元，买5套衣服一共多少钱, 生:65×5+35×5 生2:(65+35)×5 =325+175 = 100×5 =500(元) =500(元) 师:每种算法，先算什么,再算什么,结果怎样,结果相等，我们可以怎样连接这两个算式, 板书:65×5+35×5 =(65+35)×5 小结:两个数分别与同一个数相乘，再把积相加，可以先求两个数的和，再与这一个数相乘，结果不变。 完善板书: 65×5+35×5 =(65+35)×5 =100×5 =500(元) 你能用字母a、b、c、来表示吗,小组谈论一下。 交流展示:a×b+a×c=(b+c)×a 2. 24×12= 我们原来是怎样计算这个题目的, 生:24 ×12 48 24 288 师引导并板书:我们先算的什么,再算的什么,然后呢, 24×12 =24×2+24×10 2和10怎么来的,(12拆成2+10) 补充并完善板书: 24×12 =24×(2+10) =24×2+24×10 =48+240 =288 小结:两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘， 再把两个积相加，结果不变。 你能用字母a、b、c、来表示吗,小组谈论一下。 交流展示:a×(b+c)=a×b+a×c 三、分层练习。 92×67+8×67 103×12 95×78+2×78+3×78 引导小结:三个数分别与同一个数相乘，再把积相加，可以先求三个数的和，再与这一个数相乘，结果不变。 四、拓展延伸 今天我们学习了乘法分配律的部分知识，你还有其他的猜想吗, 生1:两个数的差乘一个数，是否等于这两个数分别去乘这一个数，再把两次乘得的积相减, 生2:两个数分别去乘这一个数，再把两次乘得的积相减，能不能先求这两个数的差，再与另一个数相乘, ...... 课下选择一个你喜欢的话题，验证一下。 ...... 【案例的几点取舍与反思】 1.如何帮助学生“由内到外”理解乘法分配律。 在以往的乘法分配律教学中，先设计贴近学生的生活原型(例如第二环节中的买衣服问题)，再通过引导学生观察、探索、计算、猜想、验证等一系列活动进而发现乘法分配律的一般形式，来完成实际问题到数学问题的转化。这样的设计能帮助学生体会到数学来源于生 活、应用于生活，能使学生体会到学习数学的价值，进而增强学生学习的兴趣。但是，在以往的教学中发现:学生学习的兴趣有了，乘法分配律的模型建立了，但仅仅是一种表象的积累。怎样在这些优势的基础上，帮助学生进一步的认识乘法分配律的本质呢,也就是为什么 65×5+35×5 =(65+35)×5，这仅仅是大量算式验证后的规律, 给予上述思考，结合四年级学生的认知特点及我校自主合作学习的研究。我采用了案例中的开课方式，设计了从意义理解乘法分配律这一环节。然后再借助贴近学生的生活原型，即第二环节中的买衣服问题和三年级下学期学习的两位数乘两位数，帮助学生建立数学模型。 2.初步感知中的正向引导。 在自学材料中有这样一个环节:“6×78表示:6个78;4×78表示:4个78”。到底是用“6×78表示:( )”这种填空形式;还是用“6×78表示:6个78”这种给出答案的形式,如果用“6×78表示:( )”这种形式，学生会得出6×78表示:6个78和6×78表示:78个6两种正确答案，这会给下面的分析制造很多“困难”，但这个“困难”如果能解决好，学生对乘法分配律的认识会上升到一个高度(初中的提取公因式)。结合四年级学生的思维特点，我选用了6×78表示:6个78这种形式呈现，给孩子们一个正向的引导，帮助他们理解乘法分配律。从学生的练习中看，没有出现类似于65×5+35×5 =(65+5)×35这样的错例，间接说明了正向引导的价值，如果出现，我们也可以在纠错中体会“公有因数”。 3.引导概括，建立模型。 从乘法的意义入手，帮助学生很快掌握了乘法分配律a×(b+c)与a×b+a×c之间的相等关系，通过回顾过去学习生活中的乘法分配律现象，加深了学生对乘法分配律的认识，在回顾中增强学生学习信心。进而抛出核心问题“能不能用字母来表示乘法分配律,”在这个过程中，帮助学生运用所学知识，观察、分析、讨论，使学生能够抽象、概括其本质，并转化为数学模型。