利用第一类换元积分法求不定积分应注意的问题

利用第一类换元积分法求不定积分应注意的问 利用第一类换元积分法求不定积分应注意 的问题 第20卷第l1期 2006年l1月 成都教育学院 JOURNALOFCHENGDUCOILEGEOFEDUCATION V0l20.No.11 Nov.2006 利用第一类换元积分法 求不定积分应注意的问题 刘雷 (徐州医药高等职业学校江苏徐州221116) 【摘要】对被积数为复合函数的不定积分,容易确定中间变量的问题,可以先确定其中间变量.对于无法一下确定 中间变量的函数可以先观察其形,要进行化简后确定其中问变量再求解.熟练记忆常用凑微分公式对熟练运用第一类换元 积分法能起到事半功倍的效果. 【关键词】中间变量;凑微分公式;解的不同示方法;高次冥 【中国图分类号】O172.2【文献标识码】B【文章编号】1008—9144(2006)11 —0098—02 求不定积分的方法很多,可用直接积分法求解,可用第 一 类换元积分法也可用第二类换元积分法,可用分部积分法 也可查简易积分表等等方法求解.第一类换元积分法是一种 比较常用,但也是比较难于掌握的方法,笔者根据多年教学 经验,对利用第一类换元积分法求不定积分时需要注意的问 题归纳如下,希望对其他学习者有所帮助. 一 ,紧紧抓住第一类换元积分法的核心 这是指主要用来解决复合函数的不定积分.所谓复合函 数,简单地说是由二个或二个以上的函数复合而成的函数, 其表现形式为Y=fE()].其定义为:设Y是u的函数Y= TCu),u6B,而u是的函数u=(),?A.若()的 值域,那么Y=()]称为Y=u)与u=妒()的复 合函数,简称为的复合函数,u为中间变量,其定义域为D = {?Al()?B}.所以对被积函数为复合函数的不定 积分,容易确定中间变量的问题,可以先确定其中间变量,并 设为u,然后用u把进行替换,即可求出不定积分的解. r 例如:求不定积分Icos3xdx J 分析:显而易见,中间变量为3,设u=3x,用u把进 行代换,即可. 解:设u=3,则du=3dx,dx=?du,原式=J 1r1 ?Icosudu={si'n//,+C=sirt3x+c.从上可知,对于容易JJJ 确定中间变量的复合函数不定积分的求解,确定中间变量 u,并用u替换,是解决问题的关键.如果运算比较熟练,就 无须设出u,直接用3替换.即可. 1r1 解:原式=?Icos3xd3x=?sirt3x+cJJJ 二,学会观察不定积分的"形" 对于无法一下确定中间变量的函数的不定积分,可以先 【收稿日期12006—04—10 【作者简介】刘雷(1)男,徐州医药高等职业学校,讲师. ? 98? 观祭兵彤,必妥H寸进仃化瑚后确足兵甲1日J变量冉求解. 例1,求』 分析:可以看出』‰,形如』du,这时只要设2为u 即可,或把dx凑成d(2x+1). 解:设u=2x+1,则du=2dx 原式=吉』=llnu+c=llrd+c 亦可解:原式={』=1lIl2+c N2,求Jidx 分析:其形如J,但需要简单变形化简,对被积函 数?,分子分母同除以d2,可得',可以看 出?为中间变量,设u=?,用u替换,或把dx凑成d三 即可求出解. 解:设u:,则du:d羔: 原式=志=也=扣anu 1 +c=——aretan——+c 婀融=南 :f——L—d羔:-!-arctan+c 1+(詈)... 从上可知,对于形似某种不定积分公式时,可通过一定变 20慧举月刘雷:利用第一类换元积分法求不定积分应注意的问题No.11Nov.20o6 形,确定其中间变量,再进行替换. 三,牢牢记住凑微分公式 在用第一类换元积分法求不定积分时,要熟练记忆常用 凑微分公式,这样对熟练运用第一类换元积分法能起到事半 功倍的效果. 例1.求l坐 分析:由凑微分公式?=dinII可以看出中间变量 可以确定为lnx即可求出解. 解:原式=J-lnxdln=J-z=吉2+c={l+c 熟练以后,亦可解:原式=Ilnxdlnx=41n:+c 例2.求Itanxdx 分析:因为tanx:,由凑微分公式sinxdx:一dcos COS 可知中间变量可确定为COS,其解可求出. 解:原式=J-tan=J-如=一1dc.s =一InlCOSXl+0 从上可知,熟练掌握凑微分公式,对灵活运用第一类换 元积分法有较大的作用. 四,注意不定积分的解的不同表示方法 许多学生在用第一类换元积分法求解时,常遇到方法正 确而解有所不同的情况.这时就要注意由于中间变量选定的 差异,可能造成解的形式有差异,但这些解经过一定变形后, 也可化成相同形式. 例如:求Isinxcosxdx 分析:经过一定变形,或用不同的凑微分公式可以确定 不同的中间变量,可以用不同的方法解出. 解一:原式=Isinxdsinx1sl~n2+c 解二:原式=一Icosxdcosx=一告c08+cl =一 号(?一sinx2)+c.=吉sin2+c,一吉 = 吉s+c 解三:原式={J-sin2如=丢J-sin2d2 =一 {cos2+c,=一1(1—2sin:)+c3=吉si+c,一丢 = {sin:+c 从上可知三种方法,三个中间变量,得到三种不同形式 的解,但最终都可化成一种形式. 五,学会"化高为低" 对于被积函数的高次冥,尽可能化成低次冥,然后化简, 确定中间变量,用凑微分方法求解. 例1.求ICOS3xdx 分析:把被积函数COS3化成cos:和COSX相乘的形式, 然后利用凑微分公式再求解. 解:原式=Icos:xcosxdx=一I(1一sin:x)dsinx =一 J-dsjn+J-sinx:dsjn=n+{si+c 例2.求Ic0s2xdx 分析:可利用二倍角公式把.s2化成L,达到降 次并能利用凑微分公式来求解. 解:原式=J-如=吉J-如+吉J-c. = 吉1Fsin2+c 从上可知,利用第一类求不定积分,学会从高次冥化为 低次冥,再利用凑微分公式求解也是一种常用有效求不定积 分的方法. (上接第9r7页) Spanthe"BlackBox"ofEFL —— ID0katEFLfromtheAngdofCommunication Abstract:Foreignlanguageteachingandlearning玎:seblesInasscommunicationinthattheybothhavetocommunicateorconveyinfor- mation;bothhavetheprocessofencodinganddecoding;botharelimitedintheeffects.Thebra inmcchallislnandpsychologicalprocessofthe leamer,ordecoder,playanimportantroleintheforeignlanguagestudy.Thisinvisible"blackb ox"hascloserelationshiptotheageproblemof thelearners.,I1lmughreviewtheresearchesONlearner'Sage,wecanrealizewhatitis,andtherefore,bothteachersandlearnerscafIspanthe "blackbox"andimprovetheeffectsofforeignl=gu~teachingandlearning. Keywords:communication;age;blackbox ? 99?