深圳大学线性代数试卷A

示 (B) b必不可由a，c，d线性表示 (C) d必可由a，b，c线性表示 (D) d必不可由a，b，c线性表示 二、填空（每题4分，共20分） ab0...00111. 设行列式D= 0ab...0022 ＝ .................. ,1,1000...abnn bn00...0an TTTT2. 已知，，，，，，,,1,2,3,,3,2,1,,1,2,4,,,,,,,,则3+2-5+4= ，，,,,2,0,212431243 1*,13. 已知A，B均是3阶矩阵，且ABAB,,2=5，，则＝ 3 1－10 123，，,,4. 当k= 时，A=不可逆。 456,,,,32k，， -15. 已知三阶矩阵A的特征值为-1,2,3，则(2A)的特征值为 三、计算（每题10分，共30分；附加题10分） 1. 已知，，,,5,1,6，，,，，,,，求该向量组的一个极大无关组，并把其他向量用,,1,2,1,,4,2,6，，,,3,0,44123 该极大无关组线性表示。 2. 已知矩阵A=11,1221，，，，,,,,，B=，求矩阵X，使AX=B。 02240,2,,,,,,,,1,10066，，，， 3. 求一个正交的相似变化矩阵，将矩阵A=22,2，，,,化为对角矩阵。 25,4,,,,,2,45，， 四、证明（每题10分，共30分；附加题10分） 1. 证明满足A2-1-3A-2E=0的n阶方阵A是可逆矩阵，并求出A。 2. 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵， a) 若m>n，请问AB是否可逆，并证明之 2－10 b) 若m0，则>0 AB (D) 必有可逆矩阵P与Q，使PAQ=B成立 10. 设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（ ） (A) E-A=E-B ,, (B) A与B有相同的特征值和特征向量 (C) 对任意常数t，tE-A与tE-B相似 (D) A与B都相似于一个对角矩阵 二、填空（每题4分，共20分） 6. D=12,3，，,,的代数余子式A= 21,201,,,,3,1,2，， TTT7. 已知，，，，,,1,4,3,,2,t,,1,,线性相关,则t= ，，,,,2,3,1123 28. 已知A是四阶方阵，A=6，则3A= 003，，1-19. 已知A=,,，则A= 130,,2,,250，， 1，，00,,210. A-1,,BA=18A+BA，其中A=，则B= 1,,003,,1,,00,,4，， 三、计算（每题10分，共30分；附加题10分） 6－10 ,x，x，x,,,3,123,x，,x，x,,24. 有方程组，讨论取值与方程组解的关系。 ,,123 ,x，x，,x,,2123, 5. 求矩阵X，使AX=B，其中，A=25123，，，，,,,,，B=。 22131,,,,,,,,43343，，，， 6. 求一个正交变换，把二次型f=2x222+3x+3x+4xx化为

标准

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型。 12323 四、证明（每题10分，共30分；附加题10分） 4. 已知A是n阶方阵， A?0，证明对任意的向量b，Ax＝b必有解。 5. 已知A为n阶方阵，满足(A-E)22-1=2(A+E)，证明A+E可逆，并求出(A+E) 7－10 6. 已知n维向量非零且两两正交，证明线性无关。 ,,,,,,...,,,,,,,,...,,123s123s 一、选择题（15分） 1、设 A,0且AB,0，是n阶方阵，则（ ） A，B 222（A）（A,B）,A，B （B） （C） （D） B,0A,0或B,0BA,0 2、设线性方程组是的导出组，若有非零解，则 AX,OAX,bAX,OAX,b（A）必有无穷多解 （B）必有非零解 （C）必有唯一解 （D）不能确定其解的情况 3、设向量组 ， ， 线性相关，则,应满足 ,,1,1,2,,,1,2,1,,,,1,,1，，，，，，123 （A） （B） （C） （D） ,,2,,2,,,2,,,2 12,14、设,,(A)是n阶可逆矩阵Ａ属于特征值2的特征向量，则也是矩阵属于特征值（ ）的特征向量 34311（A） （B） （C） （D） 3424５、当,,（ ）时，齐次线性方程组 ,x，3x,2x,0,123, 必有非零解 4x,（,，3）x，,2x,0,123 ,2x，3x，（,,4）x,0,123 （A）,,1,,,1,,1,,,1 （B） （C） （D） 二、填空题（15分） ,1*1、设是三阶方阵，且A,,1，则 3AA，4AA, 。 A 2、设,,,,，,(1,2,3,4),(0,1,2,3),,,,,AX,br(A),3, 是四元线性方程组的三个解向量,且，, 则123123 AX,b的通解的具体表达式可写成_____________. 312,130，，，， ,,,,3、设A,501B,421322()AXBXI,，,,，，且满足，求 。 X,,,,, ,,,,412012，，，， 11，，4、设，则与可交换的一般矩阵形式为 A,A,,10，， ５、已经某经济系统在一个生产周期内产品的生产与分配如下表 8－10 部门间 消耗 最 终 流量 1 2 3 总产品 产 品 部门 生产部门 1 80 50 30 ｙ200 １ 2 60 40 40 y170 2 3 70 80 35 y210 3 则各部门最终产品= 。 yyy,,，，123 三、计算行列式（12分） xyyy？y 2,512yxyy？y ,37,14 1、 2、 D,yyxy？yD,n5,327？？？？？？4,612yyyy？x 四、确定 ,的值使方程组： ,xxx，,,21,123, 321xxx，,,, 123, ,123,，，,341xxx,, （1）有唯一解 ；（2）有无穷多解；（3）无解（12分） 五、求 ,,,(3,2,3,4),,,(4,3,1,3),,(2,,1,3,5),,(4,,1,15,17)，，，的一个极大无关组，并用此极大无1234关组表示其余向量。（10分） 9－10 求解方程组（用基础解系表示其全部解）（10分） xxxx，,，,2232,1234,25345xxxx，,，, 1234, ,123451281112xxxx，,，,, 01011,，，，，七、设,,,,A,,111B,20，，且满足，求矩阵。（10分） AXBX，,X,,,, ,,,,,,10153，，，， 八、求下列矩阵的特征值与对应的特征向量 （12分） 111,,, ,,A,,242 ,,,,,,335,, 九设 ,,,,,,,,,,，,,,，，，，322,，,，,,，,，, 如果线性无关，则线性无关。（6123123112223331 分） 10－10