椭圆焦半径公式及应用

椭圆焦半径公式及应用 . 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 一、公式的推导 设P(，)是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。 证法1: 。 因为，所以 ? 又因为，所以 ?， 证法2:设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 ，又，所以，而 。 ?，。 二、公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A()、B()、C()到焦点F(4，0)的距离成等差数列，求的值。 解:在已知椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为 ，则、、。 ?，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ?，即，。 评析:涉及椭圆上点到焦点的距离问题，一般采用焦半径公式求解，即利用焦半径公式可求出A、B、C三点到焦点的距离，再利用等差数列的性质即可求出 的值。 例2 设为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上。已知P、、是一个直角三角形的三个顶点，且，求的值。 解:由椭圆方程可知a=3，b=2，并求得，离心率。 由椭圆的对称性，不妨设P(，)()是椭圆上的一点，则由题意知应为左焦半径，应为右焦半径。 由焦半径公式，得，。 (1)若?为直角，则，即 ，解得，故。 (2)若?为直角，则，即 = ，解得，故。 评析:当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离时，常利用焦半径公式把问题转化，此例就利用焦半径公式成功地求出值。 例3 已知椭圆C:，为其两个焦点，问能否在椭圆C上找一点M，使点M到左准线的距离|MN|是与的等比中项。若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由。 解:设存在点M()，使，由已知得a=2，，c=1，左准线为x=,4，则，即，48=0，解得，或。 因此，点M不存在。 评析:在涉及到椭圆上的点与其焦点的距离时，如果直接用两点间距离公式，运算将非常复杂，而选用焦半径公式可使运算简