能分拆成连续整数和的整数的特性

2007年第11期 中学数学月刊 -31· 能分拆成连续整数和的整数的特性 周士藩 (苏州大学数学科学学院215006) 先从一个实例谈起：一个大剧院共30 排，第一排有29个座位，从第二排起，每排比 前一排多1个座位，那么该剧院内共有多少 个座位? 这个问题，就是化归为30个连续整数 29．30．⋯，58的和l305． 现在把问题倒过来考虑，已知一个整数 (比如l305)能分拆成若干个连续整数的 和，共有几种不同拆法?为此，先介绍三个性 质． 性质1 2n～1个连续整数的和必是2n 一1的倍数，并且这个倍数正是它们的平均 数，也是其中最小的数与最大的数的平均数． 也是这2n一1个数从小剑大排列中的第n个 数(”∈N+)． 证明 设2n一1个连续整数是 d+1，日+2．⋯，d+n，n+n+1，⋯， d+2”1． (1) 于是它们的和是 (Ⅱ+1)+(d+2)+⋯+“+(2”一 1)一(2”一1)(“+”)． 可见和是2”一l的倍数，这个倍数是d +”，正是(1)式中第”个数，也是“+1与a +2n1的平均数． -|生质22n个连续整数的和是n的奇数 倍数，并且这个奇数倍数正是它们平均数的 2倍，也是它们中的最小的数与最大的数的 和，也是这2n个数从小到大排列中间的第” 一1，与第n个数的和． 证明 设2n个连续整数是 口+1，d+2，⋯，d+n，n+“+1，⋯， 口+2m． (2) 于是它们的和是 (n+1)+∞+2)+⋯+(n+2n)一 2“n+n(2n+1)一n(2口+2n+1)． 可见和是n的奇数倍数，这个奇数倍数 是2n+2n+1．它等于这2一个数的平均数 垫j≤攀的2倍，也是(2)式中最小的数 L 与最大的数的和，又是(2)式中最中间的相 邻两个数n+”与n+”+l的和． 说明 从性质1，2中可知，若干个连续 整数的和必是奇数的倍数． 现在我“J利用性质1，2以及其中(1)、 (2)，两式来探索“任意一个整数分拆成若干 个连续整数之和”的问题．现在先看一个例 子： 例1 将整数(2n一1)￡分拆成若干个连 续整数的和，共有几种拆法?(”∈N+，}是非 零整数)． 分析与解 从性质1知，奇数个连续整 数的和必是这奇数的倍数；由性质2知，偶数 个(设为2n)连续整数的和必是m的奇数倍 数，也就是说，要分拆一个整数。必须从正奇 数人手． 对照性质1，因整数(2n—1)}是2”一1 的倍数，即有2n一1个￡，于是可以分拆成下 列2n一1个连续整数的和： z n+1，⋯，￡ l，￡，f+1，⋯，￡+nl (3) ——■X 一 ：———————————百朽一—— 对照性质2，因整数2” 1是正奇数“当 ￡是正数时，可以分拆成下列2f个连续整数 的和(其中每个2“ 1分拆成2个整数之和： n 1与n，"2与n+1，⋯，nt与”+ f一1)． x 当n一1时，H是十整数￡，为了叙述方便，一个}分拆为个￡，也算种分拆 万方数据 ·32· 中学数学月刊 2007年第1l期 n—f，⋯，n—l，n，⋯．”+f—l(4) 、莉￡■ ———————1干并i——————一 当￡是负数时，可以拆成2￡1个连续整 数的和(其中每个 2n+1分拆成2个整数 之和：一n与 月+1，一n1与一月+2， ⋯，一m+fl与一月～f+2)： 叫+}l，⋯，一”，一n+l，⋯，一n一￡+2 —1幂葛鬲一 ——————————1不罩再■————————一 (47) 说明 从例l中可知，一个整数有一个 正奇约数，必有上述两种不同的分拆法． 定理l 设整数S恰有m个不同的正奇 约数，那么s分拆成若干个连续整数的和，共 有2m种拆法． 证 若2”一l是5的一个正奇约数，利 用2n—l，由例l知可以将s分拆成两种连 续整数的和；反之，利用(3)式以及性质1可 得唯一的整数S．又利用(4)式或(4’)式，以 及性质2，也可得唯一的整数s．这就是说，一 个正奇约数，正好可将s分拆成两种连续整 数的和． 从(1)式与(2)式的结构看，针对不同的 正奇约数的各种分拆是互不相同的，而s恰 有m个不同的正奇约数，所以共有2m种不 同拆法． 例2 35分拆成若干个连续整数的和， 共有8种拆法． 解 因35—1×35—5×7，故35有 4个正奇约数．于是据定理1可知，35共有(4 ×2一)8种拆法．具体拆法是： (1)35t (2) 34，⋯，一2，一l’0，l，2，3，⋯，35 丙 ——■叮—一 ————1析——一 i ———。—————谇丁——————一 即分拆成(35×2一)70个连续整数之和； (3)5，6，7，8，9； (4)一4，⋯，l，2，3，4，5，⋯，9，即分拆成 (7×2一)14个连续整数之和； (5)2，3，4，5，6，7，8； (6)一1，o，1，2，3，4，5，⋯，8，即分拆成 (5×2一)10个连续整数之和． (7)一l6，⋯，一1，0，l，2，3，⋯，16，17， 18，即分拆成35个连续整数之和； (8)17，18． 注意到，上述分拆中，一个正奇约数的确 有两种分拆法，但是这两种分拆中必有一种 分拆有非正整数出现．现在针对非零自然数 s的分拆，仅在N+中分拆，那么就有下面的． 定理2设非零自然数s恰有m个不同 的正奇约数，那么S分拆成连续正整数的和， 共有m种拆法． 证 设S一(2”一1)≠(n，￡∈N+)． (1)当￡>n一1时，就有例1中的(3) 式，即有2”一1个连续正整数的和．注意到 由￡>n—l，可知n～f≤O，所以例1中的 (4)式中就有非正整数出现，在这里就不合 题意了． (2)当}≤”一l时，例1中的(3)式就有 非正整数出现，这就不合题意，但是这时有n ￡≥1，例1中(4)式就是2f个连续正整数 的和． 由此可见，S的每一个正奇约数，就恰有 一种拆法；不同的正奇约数有不同拆法，所以 S共有m种拆法． 例3 45在正整数集中分拆成若干个连 续自然数的和，共有6种拆法． 解 因为45—32×5，故有6个正奇约 数，所以45有6种拆法．具体拆法如下： (1)45；(2)22，23；(3)14，15，16；(4)7，8， 9，10，11；(5)1，2，3，4，5，6，7，8，9；(6)5，6，7， 8，9．10； 例4正整数1305分拆成连续正整数 的和，共有多少种不同拆法? 解 因1305—32×5×29，故有正奇 约数12个，由定理2知，共有12种不同拆法． 万方数据 能分拆成连续整数和的整数的特性 作者： 周士藩 作者单位： 苏州大学数学科学学院,215006 刊名： 中学数学月刊 英文刊名： ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 年，卷(期)： 2007(11) 被引用次数： 1次 参考文献(1条) 1.当n=1时,只是一个整数t,为了叙述方便,一个t分拆为一个t,也算一种分拆 引证文献(1条) 1.甘志国 公差为2的正整数等差分拆[期刊论文]-上海中学数学 2008(4) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxyk200711013.aspx