(第45讲)特征方程法求递推数列的通项公式 特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、(一阶线性递推式)设已知数列
的项满足
,其中
求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程
称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为
,则当
时,
为常数列,即
,其中
是以
为公比的等比数列,即
.
证明:因为
由特征方程得
作换元
则
当
时,
,数...
特征方程法求解递推关系中的数列通项
一、(一阶线性递推式)设已知数列
的项满足
,其中
求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题,然而这样做太过繁琐,而且在猜想通项公式中容易出错,本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程
称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.
定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为
,则当
时,
为常数列,即
,其中
是以
为公比的等比数列,即
.
证明:因为
由特征方程得
作换元
则
当
时,
,数列
是以
为公比的等比数列,故
当
时,
,
为0数列,故
(证毕)
下面列举两例,说明定理1的应用.
例1.已知数列
满足:
求
解:作方程
当
时,
数列
是以
为公比的等比数列.于是
二、(二阶线性递推式)定理2:对于由递推公式
,
给出的数列
,方程
,叫做数列
的特征方程。
若
是特征方程的两个根,当
时,数列
的通项为
,其中A,B由
决定(即把
和
,代入
,得到关于A、B的方程组);当
时,数列
的通项为
,其中A,B由
决定(即把
和
,代入
,得到关于A、B的方程组)。
例2:已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由
,得
,
且
。
则数列
是以
为首项,
为公比的等比数列,于是
。把
代入,得
,
,
,
。
把以上各式相加,得
EMBED Equation.3 。
。
解法二(特征根法):数列
:
,
的特征方程是:
。
,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 。
又由
,于是
故
三、(分式递推式)定理3:如果数列
满足下列条件:已知
的值且对于
,都有
(其中p、q、r、h均为常数,且
),那么,可作特征方程
.
(1)当特征方程有两个相同的根
(称作特征根)时,
若
则
若
,则
其中
特别地,当存在
使
时,无穷数列
不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根
、
(称作特征根)时,则
,
其中
例3、已知数列满足性质:对于
且
求
的通项公式.
解:依定理作特征方程
变形得
其根为
故特征方程有两个相异的根,使用定理3的第(2)部分,则有
∴
∴
即
例4.已知数列
满足:对于
都有
(1)若
求
(2)若
求
(3)若
求
(4)当
取哪些值时,无穷数列
不存在?
解:作特征方程
变形得
特征方程有两个相同的特征根
依定理3的第(1)部分解答.
(1)∵
对于
都有
(2)∵
∴
令
,得
.故数列
从第5项开始都不存在,
当
≤4,
时,
.
(3)∵
∴
∴
令
则
∴对于
∴
(4)、显然当
时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,
时,数列
是存在的,当
时,则有
令
则得
且
≥2.
∴当
(其中
且N≥2)时,数列
从第
项开始便不存在.
于是知:当
在集合
或
且
≥2}上取值时,无穷数列
都不存在.
练习题:
求下列数列的通项公式:
1、 在数列
中,
EMBED Equation.3 ,求
。(key:
)
2、 在数列
中,
且
,求
。(key:
)
3、 在数列
中,
EMBED Equation.3 ,求
。(key:
)
4、 在数列
中,
EMBED Equation.3 ,求
。(key:
)
5、 在数列
中,
EMBED Equation.3 ,求
。(key:
)
6、 在数列
中,
EMBED Equation.3 ,且
.求
.(key:
时,
;
时,
)
7、 在数列
中,
EMBED Equation.3 (
是非0常数).求
.(key:
(
);
)(
)
8、在数列
中,
给定,
.求
.(key:
;若
,上式不能应用,此时,
附定理3的证明
定理3(分式递推问题):如果数列
满足下列条件:已知
的值且对于
,都有
(其中p、q、r、h均为常数,且
),那么,可作特征方程
.
(1)当特征方程有两个相同的根
(称作特征根)时,
若
则
若
,则
其中
特别地,当存在
使
时,无穷数列
不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根
、
(称作特征根)时,则
,
其中
证明:先证明定理的第(1)部分.
作交换
则
①
∵
是特征方程的根,∴
EMBED Equation.3
将该式代入①式得
②
将
代入特征方程可整理得
这与已知条件
矛盾.故特征方程的根
EMBED Equation.3 于是
③
当
,即
=
时,由②式得
故
当
即
时,由②、③两式可得
此时可对②式作如下变化:
④
由
是方程
的两个相同的根可以求得
∴
将此式代入④式得
令
则
故数列
是以
为公差的等差数列.
∴
其中
当
时,
当存在
使
时,
无意义.故此时,无穷数列
是不存在的.
再证明定理的第(2)部分如下:
∵特征方程有两个相异的根
、
,∴其中必有一个特征根不等于
,不妨令
于是可作变换
故
,将
代入再整理得
⑤
由第(1)部分的证明过程知
不是特征方程的根,故
故
所以由⑤式可得:
⑥
∵特征方程
有两个相异根
、
EMBED Equation.3 方程
有两个相异根
、
,而方程
与方程
又是同解方程.
∴
将上两式代入⑥式得
当
即
时,数列
是等比数列,公比为
.此时对于
都有
当
即
时,上式也成立.
由
且
可知
所以
(证毕)
注:当
时,
会退化为常数;当
时,
可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.
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