分段函数_函数的可积性与原函数存在性

　[收稿日期 ] 2006211202 　[基金项目 ] 陕西省第三轮高等教育教学改革项目 (2005295) ;陕西省精品课程项目 (2006256) 第 25 卷第 2 期 大　学　数　学 Vol. 25 , №. 2 2009 年 4 月 COLL EGE MA T H EMA TICS Apr . 2009 分段函数、函数的可积性与原函数存在性 马保国 , 　王延军 (延安大学 数学与计算机科学学院 ,陕西 延安 716000) 　　[摘 　要 ] 论述了分段函数在数学中的作用 ,并以分段函数为工具 ,给出了函数的原函数存在和黎曼 可积之间的关系 ,有助于全面掌握原函数和定积分这两个重要概念. [关键词 ] 分段函数 ;可积性 ;原函数 ;间断点 [中图分类号 ] O174 　　[文献标识码 ] C 　　[文章编号 ] 167221454 (2009) 0220200204 在一元函数积分学中 ,原函数 (不定积分) 和定积分概念 ,虽然它们建立的背景有很大的不同 ,但是 , 当我们建立了微积分基本定理之后 ,就把二者联系起来了. 于是 ,许多初学者就产生错觉 ,认为函数的原 函数存在 ,则函数就黎曼可积 (简称可积) ;或者函数可积 ,则其原函数就一定存在. 在现行的数学分析教 材中 ,尽管也指出原函数存在和函数可积没有必然的联系 ,但由于教材篇幅和讲授学时的限制 ,对原函 数存在性和可积性间的关系 ,没有作一般性的讨论. 本文以数学分析教材内容为基础 ,利用分段函数对 函数的原函数存在性和可积性作一些补充讨论 ,以帮助初学者弄清原函数存在性和可积性这两个重要 概念之间的相互关系. 1 　分段函数 众所周知 ,在数学分析中重点讨论的是有广泛应用的初等函数. 对于非初等函数的讨论常出现在一 些重要概念和理论问题的进一步剖析和讨论中 ,它的主要应用之一就是构造满足某些要求的反例 ,由此 对概念或定理进行辨析与阐述 ,分段函数就是这样一类重要的函数. 如 ,狄利克莱函数、黎曼函数、符号 函数等就是这方面应用的典范. 所谓分段函数 ,是指在函数定义域的不同部分不是用一个解析式示 ,而是用几个不同的解析式来 表达的函数 ,有时可能要用无穷多个解析式. 分段函数一般定义为 :设 I 是一个区间 , f 在 I 上有意义且 满足 (i) I = ∪ n i = 1 I i , I i ∩I j = Á ( i ≠j) ; 　(ii) f ( x) = f i ( x) , x ∈I i , 　i = 1 ,2 , ⋯, n , 则称 f 为 I 上的分段函数. 由于数学分析中遇的分段函数 ,每个 f i 都是 I i 上的初等函数 ,所以和初等函数一样我们可以去讨 论它们的极限、连续、可微和可积等分析性质. 由于这类函数在函数定义域的不同部分用不同的解析式 来表示的 ,所以它们经常具有某些独特的性态 ,这也正是我们所关注的. 特别在函数解析表达式的分界 点处 ,是出现这类独特性态的敏感点 ,因而是讨论的重点. 通过对分界点的讨论可以论证函数的一些典 型的或重要的性质. 例如 ,为了强调函数在一点连续性是函数的局部性质 ,在数学分析中给出了黎曼函数 ,并证明它在 有理点处都不连续 ,在无理点处都连续. 从而使学生对函数在一点连续的局部特征有更强烈的印象. 概括地说 ,利用分段函数可以强化数学分析中的一些基本概念 ;利用分段函数可以辨析函数的连续 性、可导性、可积性等之间的关系 ;利用分段函数可以构造具有某些特殊性质的函数 ;利用分段函数可以 解答数学分析中的一些疑难问题. 总之 ,分段函数是一类具有特殊性质的重要函数 ,在数学分析 (乃至整个高等数学) 中有重要应用和 地位[3 ,6 ] . 在教学中 ,如果我们能充分的应用分段函数的特点 ,引导学生掌握基本概念和理论正面和反 面的意义 ,进而准确理解和掌握这些基本概念和理论 ,这对于提高数学分析教学效果是十分重要的. 2 　函数的可积性与原函数存在性 2 . 1 　函数的可积性与原函数存在性的基本结论 在数学分析教材中[1 ] ,对区间[ a , b]上的函数 f 的可积性一般给出如下基本结果 (定理 1) ,通常称 为积分的充分条件 (可积函数类) . 定理 1 　(i) 若函数 f 在区间[ a , b]上连续 ,则 f 在区间[ a , b]上可积 ; (ii) 若有界函数 f 在区间[ a , b]上仅有有限个间断点 ,则 f 在[ a , b]上可积 ; (iii) 若函数 f 在区间[ a , b]上单调 ,则 f 在[ a , b]上可积. 根据定义 ,所谓 f 在某区间上原函数存在 ,是指在该区间上能找到一个函数 F ,使得在该区间上等 式 F′( x) = f ( x) 成立. 对原函数的存在性 ,我们有 定理 2 　若函数 f 在区间[ a , b]上连续 ,则 f 在区间[ a , b]上原函数存在. 以上两个定理在数学分析教材中均有证明 ,这里不再赘述. 进一步 ,对函数原函数的存在性 ,我们有 下列事实 : 定理 3 　(i) 若函数 f 在区间[ a , b]上含有第一类间断点 ,则 f 在[ a , b]上不存在原函数 ; (ii) 若函数 f 在区间[ a , b]上有无穷型间断点 ,则 f 在[ a , b]上不存在原函数 ; (iii) 若函数 f 在区间[ a , b]上存在原函数 ,则 f 在[ a , b]上的间断点是第二类的. 证　(i) 设 x0 ∈[ a , b]是 f 的第一类间断点 ,且 f 在区间[ a , b]上存在原函数 F ,则 F′( x) = f ( x) , x ∈[ a , b]. 从而由导数的极限定理得 lim x →x +0 f ( x) = lim x →x +0 F′( x) = F+ ′( x0 ) = F′( x0 ) = f ( x0 ) . 同理 lim x →x -0 f ( x) = lim x →x -0 F′( x) = F - ′( x0 ) = F′( x0 ) = f ( x0 ) . 可见 , f 在 x 0 连续 ,矛盾. (ii) 设 x0 ∈[ a , b]使得 lim x →x0 f ( x) = ∞,且 f 在[ a , b]上存在原函数 F,于是有 F′( x0 ) = lim x →x0 F( x) - F( x0 ) x - x0 = lim x →x0 F′( x) = ∞, 这与 F′( x0 ) = f ( x0 ) 矛盾 ,故 f 在[ a , b]上不存在原函数. (iii) 若 f 在[ a , b]上存在原函数 , x0 ∈[ a , b]是 f 的间断点 ,由 (i) , x0 不可能是 f 的第一类间断点 , 从而只能是第二类间断点. 由以上的三个定理可见 ,有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是 可积的 ;连续函数的原函数一定存在 ,含有第一类间断点的函数、含有无穷型的第二类间断点的函数一 定不存在原函数. 2 . 2 　可积函数的原函数存在性讨论 首先 ,第一类可积函数 ,即连续函数一定存在原函数 (定理 1) . 这时 ,原函数可用变上限定积分来表 示. 即若 f 在[ a , b]上连续 ,则 F( x) =∫ x a f ( t) d t 是 f 在[ a , b]上的一个原函数. 其次 ,对于第二类可积函数 ,即只有有限个间断点的有界函数. 由定理 3 (ii) ,若 f 在区间[ a , b]上含 有第一类间断点 ,则 f 在[ a , b]上不存在原函数 ;若 f 在区间[ a , b]上含有无穷型第二类间断点 ,则 f 在 102第 2 期　　　　　　　马保国 ,等 :分段函数、函数的可积性与原函数存在性 [ a , b]上不存在原函数 ;若 f 在区间[ a , b]上含有非无穷型第二类间断点 ,则 f 在 [ a , b]上原函数存在性 不定. 请看下面的例子. 例 1 　设 f ( x) = 1 , x ≥0 , 0 , x < 0 , 讨论函数 f 的可积性与原函数存在性. 解　因为 lim x →0 + f ( x) = 1 ≠lim x →0 - f ( x) = 0 ,故 x = 0 是 f 的第一类间断点. 当 x ≠0 时 , f 连续. 因此 , f 在任何包含原点的区间上均不存在原函数. 但 f 在任何包含原点的区间上是可积的. 例 2 　设 f ( x) = sin 1 x - 1 + sgn x , x ≠0 ,1 , 0 , x = 0 ,1 , 讨论函数 f 在[ - 1 ,1 ]的可积性与原函数存在性. 解　由于 f 在[ - 1 ,1 ]上有界 ,且仅有一个第一类间断点 x = 0 和一个第二类间断点 x = 1 ,因此 f 在[ - 1 ,1 ]上可积. f 在[ - 1 ,1 ]上不存在原函数. 事实上 ,假设 f 在 [ - 1 , 1 ]上存在原函数 F ,则 F′= f ,但是 , F′在 [ - 1 ,1 ]上存在第一类间断点 x = 0 ,这是不可能的. 例 3 　设 f ( x) = 2 xsin 1 x - cos 1 x , x ≠0 , A , x = 0 , 讨论函数 f 在 ( - ∞, + ∞) 上的原函数存在性. 解　x = 0 是函数 f 的唯一一个间断点. 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 2 xsin 1 x - cos 1 x 不存在 ,从而点 x = 0 是函数 f 的非无穷型的第二类间断点. 显然 ,当 A = 0 时 , f 有原函数 F( x) = x 2 sin 1 x , x ≠0 , 0 , x = 0 . 当 A ≠0 时 , f 在含有原点的任何区间上均不存在原函数. 另外 ,显然函数 f 在任何包含原点的有限闭区间[ a , b]上是有界的 ,且只用一个间断点 x = 0 . 从而 f 在区间[ a , b]上可积. 该例说明 ,存在含有非无穷型第二类间断点的可积函数 ,它不存在原函数 ;同时 ,给出了一个不连续 的函数 ,既是可积的 ,又存在原函数. 最后 ,对于第三类可积函数即单调函数. 如果 f 在闭区间 [ a , b]上单调且连续 ,则自然 f 在区间 [ a , b]上存在原函数 ;如果 f 在闭区间[ a , b]上单调但不连续 ,那么 ,由于单调函数的间断点是第一类的 , 根据定理 3 中的 (i) , f 在区间[ a , b]上不存在原函数. 例如 ,阶梯型函数 f ( x) = [ x ] (实际上是一分段函数) ,在整个实数轴上是单调递增的 ,有无穷多个 跳跃间断点 ,它不存在原函数. 2 . 3 　原函数存在的函数的可积性讨论 显然 ,若 f 在区间[ a , b]上连续 ,则 f 在区间 [ a , b]上可积 ;若 f 在区间[ a , b]上不连续 ,一般来说 , 即使在区间[ a , b]上 f 的原函数 F ( x) 存在 , f 在区间[ a , b]上也不一定可积. 例 4 　设 f ( x) = 2 xsin 1 x 2 - 2 x cos 1 x 2 , x ≠0 , 0 , x = 0 , 则在闭区间[ - 1 ,1 ]上 , f 存在原函数 ,但不可积. 解　令 F( x) = x 2 sin 1 x , x ≠0 , 0 , x = 0 , 则当 x ≠0 时 , F′( x) = 2 xsin 1 x 2 - 2 x cos 1 x 2 ,又 lim x →0 F( x) - F(0) x - 0 = limx →0 x 2 sin 1 x - 0 x = lim x →0 xsin 1 x 2 = 0 , 所以 , F是 f 在[ - 1 ,1 ]上一个原函数. 202 大 　学 　数 　学 　　　　　　　　　　　　　　第 25 卷 又 f 在[ - 1 ,1 ]上无界. 事实上 ,对任意 M > 0 ,取 n = ( [ M ] + 1) 2 , x0 = 1 2 nπ ∈[ - 1 ,1 ] ,有 | f ( x0 ) | = 2 2 nπ sin2 nπ- 2 nπcos2 nπ = 2 2 nπ> n = [ M ] + 1 > M. 因此 , f 在[ - 1 ,1 ]上不可积. 我们来看一看 Dirichlet 函数、Riemann 函数的原函数存在性与可积性. 例 5 　设 D ( x) = 1 , x 是无理数 , 0 , x 是有理数 (Dirichlet 函数) ,则它在任一有限区间上 , D ( x) 既不存在原函 数 ,也不可积. 解　事实上 ,任意实数都是 Dirichlet 函数的非无穷型间断点 ,由于它不具有介值性 ,所以不存在原 函数 ;又知 ,可作二不相等的积分和 ,所以 ,Dirichlet 函数在任一有限区间上不可积. 例 6 　设 R ( x) = 1 q , x = p q , p、q 互素 , q > p , 0 , x = 0 ,1 以及 (0 ,1) 内的无理数 ( Riemann 函数) ,则在[0 ,1 ]上可积 ,但不存 在原函数. 解　事实上 ,尽管 Riemann 函数在无理点连续 ,在有理点不连续 ,它在 [ 0 ,1 ]上是可积的 (证明见 [1 ]) . 但 Riemann 函数不存在原函数 (理由同 Dirichlet 函数) . Dirichlet 函数和 Riemann 函数的主要区别在于连续点的“数量”,前者的不连续点是不可数个 ,而 后者的不连续点是可数个. 从而 ,导致了一个不可积 ,另一个可积. 因为 ,黎曼积分本质上是连续函数的 积分 ,要使函数可积 ,它的连续点的数量就应该很多 ,多到是一个稠密集. 从上面的讨论可见 ,函数的可积性和原函数存在 ,是两个不同的概念 ,它们互不蕴涵. 这就是说 ,可 积函数既可能存在原函数 ,也可能不存在原函数 ;原函数存在的函数 ,有可能可积 ,也可能不可积. 当然 也存在既不可积 ,也不存在原函数的函数. [参 　考 　文 　献 ] [1 ] 　华东师范大学数学系. 数学分析 (第三版) [ M ]. 北京 :高等教育出版社 ,2001. [2 ] 　刘玉琏 ,傅沛仁. 数学分析讲义 (第三版) [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,1992. [3 ] 　胡平. 分段函数在数学分析中的应用[J ] . 青海师范大学学报 ,1995 ,17 (4) :19 - 22. [4 ] 　张守田.分段函数在数学分析教学中的应用[J ] . 锦州师范学院学报 ,2003 ,24 (2) :60 - 62. [5 ] 　阎彦宗 ,陈海鸿 ,岳晓红. 可积性与原函数存在性的关系[J ] . 安庆师范学院学报 ,2003 ,22 (2) :96 - 98. [6 ] 　张永清.分段函数在高等数学中的地位和作用[J ] . 辽宁师范大学学报 ,1996 ,19 (2) :159 - 163. Piece wise Function , Integrabil ity and Existence of Primitive Function M A B ao2g uo , 　W A N G Yan2j un (College of Mathematics and Computer Science , Yanan University , Yanan 716000 , China) Abstract : The role of piecewise function in mathematical analysis is discussed and by using piecewise function the relationship between primitive function and Riemann integrable is presented , which contributes to making the two important concept s of primitive function and definite integral mastered completely. Key words : piecewise function ; integrability ; primitive functipn ; discontinuity point 302第 2 期　　　　　　　马保国 ,等 :分段函数、函数的可积性与原函数存在性