全错位排列

全错位排列 先看下面例子: 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，共有多少种不同的站法。 例1 这个问题在高中很多参考书上都有，有几种解法，其中一解法是用排除法: 先考虑5个有的全排列，有A55种不同的排法，然后除去甲排第一(有A44种)与乙排第二(也有A44种)，但两种又有重复部分，因此多减，必须加上多减部分，这样得到共有:A55,2A44，A33,78种。 现在考虑: 例2 5个人站成一排，其中甲不站第一位，乙不站第二位，丙不站第三位，共有多少种不同的站法。 仿上可得:A55,3A44，3A33,A22,64种 这与全错位排列很相似。 全错位排列——即n个元素全部都不在相应位置的排列。看下面的问题 例3 5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，共有多少种不同的站法。 解析:上面例1，例2实际上可以看成n个不同元素中有m(m?n)不排在相应位置。 公式一:n个不同元素排成一排，有m个元素(m?n)不排在相应位置的排列种数共有:Ann,C(m,1)•A(n-1,n-1)+C(m,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^m•C(m,m)•A(n-m,n-m) 这个公式在n,m时亦成立 从而这个问题可能用上面的公式得出: A55,C(5,1)•A44，C(5,2)•A33,C(5,3)•A22，C(5,4)•A11,C(5,5)•A00,44种 (注意C(n,0)= A00,0!,1) 再看1993年高考题: 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来。然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡。则四张贺年卡不同的分配方式有 (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 解析:由上面公式得: A44,C(4,1)•A33，C(4,2)•A22,C(4,3)•A11，C(4,4)•A00,9种，?选择B答案 因此可得到全错位排列的公式: n个不同元素排成一排，第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位，……，第n个元素不在第n位的排列数为: Ann-C(n,1)•A(n-1,n-1)+C(n,2)•A(n-2,n-2)+……+(-1)^n•C(n,n)•A(n-n,n-n) 这实际上是公式一的特殊情况。这个公式很有用，只要有特殊元素不站特殊位置的问题，都可以用这个公式很快得到解决，希望这个公式对大家有所帮助。 S=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!….+(-1)^n/n!) D(n)=n*d(n-1)+(-1)^n (2)设集合，如果S中元素的一个排列满足 ，则称该排列为S的一个错位排列(本例就属错位排列问题(如将S的所有错位排列数记为，则有如下三个计算公式(李宇襄编著《组合数学》，北京 师范大学出版社出版): ? ? ?