康托尔（g

康托尔（g 康托尔(G.Cantor,1845—1918德国)集合论的创立者 康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自17世纪牛顿、莱布尼茨创立微积分理论体系之后，在近一二百年的时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表术，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始，柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化工作。他们建立了极限理论，并把极限理论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又是什么呢,康托尔试图用集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。 出于这一目的，康托尔用集合论的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有有理数和所有整数之间是一一对应的，平面上所有的点和直线上所有的点是一一对应的，概言之，在 无穷的世界里，整体的所有元素和部分的所有元素之间是可以一一对应的，另外，无穷集合并不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的，因而，无穷集合是有大小的，等等。无穷世界里的这些性质，初看起来令人头晕目眩。甚至康托尔本人在最初，也时时感到心神不安。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑根据的，并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的作用。这样一来坚定了康托尔的信心，更加勇往直前地挖掘无穷世界里的宝藏。 康托尔的研究成果发表之后，马上遭到一些赫赫有名的数学家的激烈攻击，其中最厉害的要数德国数学家克罗内克。克罗内克比康托尔年长22岁，是康托尔在柏林大学读书时的老师，也是一个著名的数学家，尤其在高等代数方面有很多贡献。然而他有一个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意见不一致的数学家。他主张，除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出来，否则不能认为它在数学上是存在的。他常常讥笑魏尔斯特拉斯的工作:“有趣，可惜不是数学。”还对数学家林德曼说:“你那个关于的漂亮研究有什么用呢, 无理数根本就不存在，你为什么要研究这种问题,”对于与他的主张大相径庭的康托尔，他根本不能容忍，用非常尖刻的语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在许多数学家看来是很过分的事情。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金微薄，几次想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位，都是由于克罗内克的横加阻挠而未获成功。克罗内克的专横无理令人震惊，他的激烈攻击极大地损害了康托尔的精神健康。与此同时，还有其他一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家庞加莱把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，数学家施瓦兹原来是康托尔的好友，由于反对集合论而和他断交。 在克罗内克等人的围攻和反对下，康托尔 的精神逐渐崩溃。他天性神经过敏，容易激动，经受不了这种暴风雨般的攻击。尽管有希尔伯特等著名数学家赞同他的集合论(希尔伯特说过:没有任何人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中清除出去)，尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功，仍为能使康托尔感到欣慰和满足。从1884年起，即他在40岁的时候，患上了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发作，使得他不得不经常住到精神病院疗养。1918年，康托尔后在哈勒大学附属精神病院去世。 康托尔的遭遇无疑是一个悲剧。而这悲剧的成因不仅仅是克罗内克的粗暴攻击和一些著名数学家的反对(外因)，自身方面因素也是同样值得重视。康托尔相信自己在创立一种合理的有关无穷的理论方面迈出了第一步，也是最后的一步。他迫切希望人们给予承认和高度赞赏。缺乏承认的局面激怒了他，使他控制不了自己的情绪，不自觉地进入忧郁症的状态。他缺乏非欧几何的创立者罗巴切夫斯基那样冷静的头脑和宽阔胸怀(非欧几何创立之初的命运与集合论一样)。他过于自信，但不坚定;他十分勇敢，但不沉着。还缺少对反对意见和讥讽嘲笑的充足思想准备。 欧拉(Leonhard Euler 1707.4.5,1783.9.18) 欧拉18岁开始其数学研究生涯。在当时的瑞士，青年数学家的工作条件非常艰难，而俄国新组建的圣彼德堡科学院正在网罗人才，经人推荐，20岁的欧拉告别故乡，来到圣彼得堡。从那时起他再也没回过瑞士，但出于对祖国的浓厚感情，欧拉始终保留了瑞士国籍。 在圣彼得堡的前14年间，欧拉以无可匹敌的工作效率在分析学、数论和力学等领域作出了许多辉煌的成就，声望与日俱增，但由于过度的劳累，1738年欧拉在一场疾病之后右眼失明了。但他仍旧坚忍不拔地工作。他也热爱生活，酷爱音乐。他非常喜欢孩子。(他一生有过13个孩子，除5个以外都夭折了)写论文时，往往膝上抱着婴儿，大一点儿的孩子则绕膝戏耍。1740年欧拉接受了普鲁士国王腓特烈(Frederick 又译为弗雷德里克)的邀请，到柏林主持普鲁士研究院，在那里工作了27年。也是其科学研究的鼎盛时期，他被腓特烈称赞为才华横溢的典范，但性格纯朴的他不喜张扬，与腓特烈关系并不融洽，因而在那里过得不太愉快。而他在柏林期间，俄国人仍保留了他的圣彼得堡科学院院士的资格，薪水照 发不误。腓特烈宫庭的冷遇与俄罗斯人的热情相对照，导致1766年欧拉接受叶卡捷林娜二世之邀，重返圣彼得堡科学院，并在那里度过了生命的最后十七年。返回圣彼得堡不久便双目失明，又遭受毁灭性火灾和丧偶的打击。而他那惊人的多产一点没有受到影响。他依靠惊人的记忆和甚至在最嘈杂的扰乱中精力高度集中的能力继续进行创造性的工作，口述给他的秘书或在大石板上写下公式，让秘书抄下来。他的不朽著作是包括886本书和论文的欧拉全集。他是数学史著作最丰富的数学家。人们把他和阿基米德、牛顿、高斯并列一起，称为历史上最伟大的数学家。1783年9月18日，与同事讨论天王星轨迹计算的欧拉，突然从椅子上滑下，说了声:“我要死了。”再也没有睁开眼睛。 欧拉在数学和科学上的贡献太多了。他从18岁开始发表论文，每年以800页的速度发表高质量的独创性研究成果。他的全集比英国百科全书的页数还多。彼得堡科学院为了整理他的著作，竞足足忙碌了47年。除了在数学上有突出的成就，在力学、天文学、物理学等方面也闪现着耀眼的光芒。其知识渊博，兴趣广泛，涉及医学、植物学、化学元素、神学、音乐等方面。在这里我们仅仅指出他的一些不难理解的贡献。首先，他采用了一些简明、精炼的数学符号，如用f(x)表示函数，用e表示自然对数的底，用a、b、c表示ΔABC的三边，r、R表示三角形 2内外切圆半径，?表示求和符号，i表示，?y、?y „„表示有限差分，还 有现代三角函数符号等等。著名的欧拉公式;当时，成为 。 联系着数学中五个最重要的数。 欧拉的科学足迹不但遍及数学的各个分支，而且遍及当时科学的各个领域，所以人们从很多的地方都可以看到欧拉的名字，以他的名字命名的公式、定理、函数、方程多达20多个，如初等几何中的欧拉线，多面体的欧拉定理，解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉定理和欧拉Ф函数，级数理 论中的欧拉常数、微分方程中的欧拉方程、变分学中的欧拉方程、复变函数中的欧拉公式等数不胜数，高等微积分中的β和γ函数也归功于欧拉。这些数学成果只占他研究成果的40%。他的著作主要是应用数学解决各种科学问题，尤其是月球运动理论、潮汐、天体力学的三体问题，椭球间的引力、水力学、船舶建造、火炮和音乐理论。 有意思的是:从未在大学工作的欧拉是一位熟练的教材作者。他编的教材，非常通俗易懂，材料丰富，如《无穷分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》，这些书连同其它关于力学和代数的书，比起任何别的著作来，对于今天的许多大学课本，在样式、范围和记号方面均够得上典范。欧拉的课本很著名并长时间被普遍采用，今天谈起来也很有趣，很有教益。在他之后的许许多多大数学家都承认受益于他。 还有一点事实也颇耐人寻味。他常靠一些不谨慎的步骤(当然他本意是力求严谨的)，幸运地得到真正丰富的结果。如他没有能适当地注意包含无限过程的公式的收敛性和数学存在性;他不小心地把只对有限和有效的定律应用于无限级数;他把幂级数当作无限次多项式，不留意地把有限多项式的著名性质推广到它们身上。 关于他非凡的记忆力和心算能力，有这样的事实为证:他在70岁还能准确地回忆起他年轻时读的荷马史诗《伊里亚特》每页的头行和末行。他能够背诵出当时数学领域的主要公式和前100个素数的前六次幂。在他双目失明，家里发生大火，书籍及研究论文大多被付之一炬，他凭着记忆，由儿子，发表论文400多篇，论著多部，几乎占了毕生著作的半数。有一个例子足以说明他的心算本领:欧拉的两个弟子把一个颇为复杂的收敛级数的17项相加起来，算到第50位数字 因相差一个单位而产生了争执。为了确定谁正确，欧拉对整个计算过程作了心算，最后找出了错误。 伯努利家族 17—18世纪，在欧洲数学界出现了一个大的数学家族—伯努利家族(Bernoulli)这个家族的三代人中有8位数学家，他们几乎对当时数学的各个分支都作出了许多重大贡献，其中以第一代的雅各布.伯努利和约翰.伯努利兄弟及第二代的丹尼尔.伯努利最为著名。整个家族谱系为: 第一代:雅各布.伯努利、尼古拉。伯努利和约翰.伯努利三兄弟 第二代:尼古拉的儿子尼古拉;约翰的三个儿子尼古拉、丹尼尔、约 翰 第三代:丹尼尔的三个儿子:约翰三世、丹尼尔、雅各布 这个家族的祖先原籍是比利时的安特卫普，1583年由于受到天主教的迫害，首先迁往法兰克福(Frankfurt)避难，以后定居在瑞士的巴塞尔(Basel)。 雅各布?伯努利 1654年12月27日出生在瑞士的巴塞尔，1705年8月16日卒于巴塞尔。在数学、力学、天文学等领域内都有贡献。 以雅各布?伯努利的名字命名的数学成果主要有:概率统计中的伯努利分布和伯努利定理;高等数学中的伯努利方程和伯努利双纽线，在等时线问题的伯努利解中，第一次出现现代通用的“integral”(积分)这个字;数论中的伯努利数和伯努利多项式。他还发现:等角(对数)螺线在多种变换下仍然变成对数螺 线，于是他模仿阿基米德，要求把这样的螺线连同碑文“纵使变化，依然故我～”刻在自己的墓碑上，以作永久纪念。 约翰?伯努利是雅各布的二弟，1667年8月6日生于瑞士的巴塞尔，1748年1月1日卒于巴塞尔。在数学、力学领域作出了重大贡献，比他的哥哥更为多产。虽然他爱嫉妒、脾气不好，但他是那个时代最成功的教师之一。他大大地丰富了微积分学，并且使这门学科的作用在欧洲大陆得到正确评价。约翰幼年时他的父亲像要求雅各布一样，试图要他去学经商，他认为自己不适宜从事商业，拒绝了父亲的劝告。1683年进入巴塞尔大学学习，1685年通过逻辑论文答辩，获得艺术硕士学位。接着他又攻读医学，1690年获得医学硕士学位，成为一名内科大夫，但他从未以大夫的名义从过医。约翰在巴塞尔大学学习期间，怀着对数学的兴趣和热情，跟哥哥雅各布秘密学习数学，并开始研究数学，兄弟俩均熟悉并发展了莱布尼茨(G.W.Leibniz)的微积分，成为微积分的主要奠基者。 1691年他到达巴黎，在那里他会见了洛比达(L’Hospital)，为洛比达讲授微积分，并开始写作微积分的有关著作。洛比达与约翰订了一个奇怪的财务，1696年把约翰.伯努利的资料汇进他的微积分课本(也是世界上第一本微积分课本)，书中给出的求“0/0型”未定式极限的被人们称为的“洛比达法则”实际上是约翰的成果。不过他的最值得注意的工作之一是在“最速降线问题”上的贡献(正是这项成果导致300年后收音机、电视机的发明)。 丹尼尔?伯努利是约翰的第二个儿子，是这个家族中最杰出的一位。他1700年2月8日出生在荷兰的格罗宁根，1782年3月17日卒于瑞士的巴塞尔。曾与欧拉(L.Euler)一起工作。1733年回到巴塞尔，直到1777年的40多年中，先后任解剖学、植物学、生理学、物理学和哲学教授，他的学术著作非常丰富，全部数学 和力学著作、论文超过80多种，为此，他先后获得巴黎科学院的10次以上的奖赏，受到欧洲学者们的爱戴，获得了相当高的荣誉。1747年他成为柏林科学院的成员，1748年成为巴黎科学院的成员，1750年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚(意大利)、伯尼尔(瑞士)、都灵(意大)、苏黎世(瑞士)和慕尼黑(德国)等科学院或科学协会的会员，在他的有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的头衔。 伯努利家族的成功，对我们具有重要的启发意义 (一) 家族的数学传统与数学学习 伯努利家族的8位数学家有一个共同的特点，即从父辈不允许他们学习数学，要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯，并成为著名数学家的道路，这一规律重复出现在三代人的身上，原因是什么?他们为什么能在数学上取得重大成就呢?父辈们要他们经商、从医或做律师等职业,是因为这些职业在当时便于谋生，而从事数学特别是要谋到一个大学数学教授的职务是很困难的，只有在有人退休或死亡后，空出教授的位子才有递补的机会，而且这个职务的薪水又是不高的，必须再去做别的工作才能负担家庭。但是，父辈们的要求并没有约束或压抑住他们，他们的数学热情、兴趣，数学的天才以及这个家庭的良好的数学传统的熏陶成为他们成功的主客观原因。从方法论角度看，“对于科研人员来说，最基本的两种品格就是对科学的热爱和难以满足的好奇心”(贝弗里奇)。这是科学家确定自己的科研方向和选择课题的重要条件，他们具备了这个条件。对数学的极大热情和兴趣，使伯努利家族的成员们看到了数学的光辉前景，确定了自己的理想和事业的目标，成为他们研究数学的非常可贵的动力，致使雅格布醉心于天文学和数学，独自地学习和研究它们，约翰敢于向雅各布及欧洲的数学 家们挑战，丹尼尔敢于独自开辟数学应用的新领域。同时，家庭内的数学影响:如雅各布对约翰的数学熏陶，尼古拉 I受到叔父雅各布及约翰的数学教育，丹尼尔及第三代人作为父辈们的学生所学习的数学，使他们更增加了数学的热情，有了良好的数学素养，运用他们的数学才能善于抓住当时各数学分支中最关键的、需要发展和完善的基本概念和基本问题创造性地去工作，从而在数学上做出了突出的成就。 善于和勤于学习，是他们成功的又一重要方法。读书可以获得知识，笔记可以积累资料，雅各布从1678一1682年曾两次到瑞士、法国、荷兰、英国和德国进行学术旅行，首先熟悉了笛卡儿及其追随者的方法论科学观，学习了笛卡儿的《几何学》，沃利斯(J. Wallis)的《无穷的算术》，巴罗(I.Barrow)的《几何学讲义》，研读并独立地弄懂了莱布尼茨的微积分，结识了物理学家赫德(Hadde)、玻义耳(R.Boyle)、胡克(R.Hooke)及惠更斯(C. Huuygenos)等人，通过走访和阅读科学文献，大大地丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣和思路。从1667年起，雅各布还养成了记学术日记的习惯，这一习惯他保持终生。学术日记记录了对各种问题解答和理论方面的结论，并常常附上对问题的完整的，他把这些学术日记称为“沉思录”(Meditaione)，他在后来准备出版数学著作时，曾广泛应用到这些笔记。约翰跟其哥哥雅各布学习并共同钻研莱布尼茨的微积分成为他在数学领织成功的关金。丹尼尔的数学天才以及他的医学学习，包括他的关于呼吸的博士论文的写作，为他在数学的各分支及流体力学等技术学科应用数学奠定十良好的基础 (二) 学术通信与学术争论 17世纪以前，由于数学研究多以个人或小团体的形式进行，高等学校又不把数学作为单独的一门学科开设，加上印刷条件的限制，影响了数学家之间的学术交流，即使有交流也多以口头和通信的方式进行。18世纪，科学社团的成立和少数科学杂志的出版使这种局面有所改善，但是没有根本的改变，尤其当时新兴的数学分支，如微积分、微分方程等学科还缺乏严密的逻辑基础，数学家或科学家之间经常进行学术上的讨论或辩论，在这种情况下，学术通信或学术刊物仍然是数学研究、交流的重要途径。伯努利家族的成员们，在17一18世纪的100多年间，与当时的数学家和科学家建立了广泛地通信联系，在通信中他们交流学术思想、学术观点，进行学术的辩论，相互促进，提高了他们的学术水平，促进了数学的发展与完善。在他们的学术通信和争论中，最有价值的是:雅各布、约翰与莱布尼茨之间的通信。雅各布与约翰之间以及丹尼尔与18世纪欧洲数学界的中心人物——欧拉的通信。据记载，雅各布与莱布尼茨的通信有21封，而约翰与莱布尼茨的通信有275封，他还与100多位学者有通信联系，全部的学术通信将近2500封，这些通信与他在《教师学报》等刊物上发表的文章，使得他在数学分析及其在几何学、力学等方面应用微积分的一系列新成果得以发表和交流。 除学术通信外，学术争论也成为这个家族成功的方法论因素。在学术争论中，最引人注目而且起了极大作用的是雅各布与约翰兄弟之间的争论。约翰开始跟哥哥雅各布学习数学，很快成才，由于约翰对“悬链线”等问题的解决，使他产生了骄傲情绪，他急于要显示自己的数学才能，于 1696年6月，在《教师学报》上向欧洲数学家挑战，提出了一个难题，即“最速降线问题”。这个问题是:“设不在同一铅直线上的两点 A与B，使一质点只在重力的影响下从 A点滑向 B点，求所需时间最短的途径(摩擦和空气阻力不计)”。作为还击，雅各布在1697年5月又向约翰提出了另一个难题:含有几种情形的相当复杂的“等周问题”，约翰 和雅各布都研究并解决了这个问题。在同一年，约翰又提出了:在凸曲面上求两点间的最短弧问题。这些问题的提出、争论及解决，促使雅格布和约翰成为新的数学分支——变分法的重要奠基者。约翰在与雅各布的争论中，显示了他灵敏而聪颖的数学头脑，而雅各布则显示了稳健而深厚的数学功底。当然兄弟二人在争论中也进行了人身攻击，伤了感情，甚至差点使雅各布的最重要的学术著作《猜度术》被埋没，这是不可取的。但是，探讨真理，坚持、相信真理，这是学术研究成功的可贵精神 (三) 在继承的基础上大胆创新 在继承已有科学成果的基础上进行大胆创新，是伯努利家族成员从事科学研究的一个共同特点。 17世纪至18世纪，整个数学思想方法曾经过两次重大的转折。一次是从常量数学(以不变的数量和固定的图形为其研究对象的数学)到变量数学(从量上描述事物运动变化规律的数学)的转折，以“坐标几何”、微积分学的萌发、成长为主要标志;另一次是从必然数学(研究和描述必然现象及其规律的的数学)到或然数学(从量的方面研究和描述偶然现象及其规律的数学)的转折，以“概率论”的产生为标志。 与当时的整个数学思想方法处于上述转变时期相契合，伯努利家族主要成员，在思想方法上的改进、突破，也主要体现在坐标几何、微积分、概率论等几个方面。他们继承和发展了这些尚不成熟的思想，使之完善。因此雅各布和约翰兄弟才能成为继牛顿、莱布尼茨之后，微积分的两个最重要的奠基者。 拉格朗日(Joseph lousi lagrange 1736-1813)数学家、力学家、天文学家。 拉格朗日出生于意大利都灵，他的家境本来很不错，在他少年时，他的父亲进行投机买卖，把家产耗尽，拉格朗日后来回顾这本来可以继承一大笔财产而转眼之间变成穷光蛋的自己时，这样评述:“这是好事，如果我继承了财产，可能我就不会搞数学了。”那样的话，很可能是意大利多了一个纨绔子弟，人类少了一个杰出的数学家。 少年时代的拉格朗日并不喜欢数学。17岁时，在哈雷的《分析方法的优越性》一文的影响下，从事数学分析的研究。19岁就因成绩卓著任都林皇家炮兵学院教授。1764年，1766年两次用微分方程的理论和方法解决了法国科学院悬赏征答的数学难题。他是18世纪后半叶19世纪初最伟大的数学家之一，也是18世纪科学的象征，曾被拿破仑称为“数学科学上高耸的金字塔”。 拉格朗日最早的工作是对变分法的研究。他的纯解析的变分法充满了创造性的发现，体现了数学史上第一个真正的纯粹的分析学家的特点，由变分法而派生出对被积函数具有高阶导数的单重和多重积分的研究。拉格朗日在讨论天体力学时首次引入三重积分概念，在利用直角坐标计算碰到困难后，迅速转向利用球坐标计算，从而开创了多重积分变换的研究，从1772年到1797年，拉格朗日在微积分方面得到了著名的拉格朗日中值定理，拉格朗日余项及拉格朗日方程。 48岁时，拉格朗日在柏林科学院工作时，不得不承受丧失贤妻的巨痛与孤独，此时感情和事业的两大支持者相继丧失，他的心情极为沮丧，他离开柏林前往法国，对法国革命中的恐怖行为表示反感。当大化学家拉瓦锡(Lavoisier)被送上断头台时，拉格朗日对这愚蠢的判决表示愤慨，他说:“暴徒在刹那间就能砍掉他的头，但是一百年也不能再生出这样一个人才来～”在他五十六岁时，他的一好友，法国天文学家莱蒙涅经常邀请他来家里吃饭聊天。他那比拉格朗日小近四十岁的 女儿，对拉格朗日的处境表示同情，坚持要与他结婚，希望他能振作起来，继续从事科研工作。拉格朗日接受了她的爱，并重新唤起了工作和生活的希望。第二次结婚与第一次一样是很幸福的。 柯西(Augustin louis Cauchy 1789---1857, 生于巴黎) 柯西是十九世纪前半叶最杰出的分析学家。柯西在幼年时，他的父亲常带领 他到法国参议院内的办公室，并在那里指导他进行学习，因此他有机会遇到参 议员拉普拉斯和拉格朗日这两位大数学家。他们对他的才能十分赏识，拉格朗 日认为他将来必定成为大数学家，但对他父亲建议在柯西学好文科前不要让他 学数学。长大后，柯西进了道路桥梁工程学院，准备将来当土木工程师。在拉 格朗日和拉普拉斯的劝导下，他决定放弃土木工程而致力于纯科学。 柯西在纯数学和应用数学两方面的著作渊博而深奥。他在写作数量上仅次于欧拉，他的著作质量参差不齐，因此，曾被人们评论为:高产而轻率。与柯西惊人的高产联系，有一个逗人发笑的故事:科学院的《会刊》于1835年创刊，柯西向它提供论文如此之快，以至科学院为印刷费的增加感到惊讶，并且因此通过了一条至今有效的:所有发表的论文最长为四页。柯西只得为其较长的论文(有的超过100页)另找出路。 柯西对高等数学的大量贡献包括:无穷级数的敛散性，实变和复变函数论，微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究。如大学生们会遇到的判别正项级数的柯西判别法;两级数的柯西乘积。在复变函数中，柯西不等式、柯西积分公式以及柯西,黎曼微分方程。 大家都知道微积分是由牛顿和来布尼茨创立的。而目前我们所学习的极限和连续 性的定义，导数的这种定义，以及微分 定积分用 无穷多个无穷小的和极限定义，实质上都是柯西给出的，在线性代数中，我们知道若A,B为n阶方阵，则det(AB)=detA.detB。这个定理就是柯西给出并予以证明的。称 为矩阵A的特征方程的，就是柯西。 在宗教方面，柯西很执拗，根本不能容忍别的教义。他花了很多时间努力使别人皈依他特殊的信念。他是一位毕生孜孜不倦的学者，但心胸狭隘而自负，并且常忽视年轻人的功绩。但也应该指出:柯西于1843年以公开信的形式宣传要保护良心和思想的自由。这封信有助于揭发政府在学术上的专制的笨拙行为。他临终前还和巴黎大主教谈话，他对大主教说的最后一句话是:“人总是要死的，但是，他们的业绩永存。” 黎曼,Georg Friedrich Bernhard Riemann 1826,1866德国汉诺威) 黎曼1826年出生于汉诺威一个小村庄，父亲是路德派的牧师。由于家庭生活困难，黎曼的六个兄弟姐妹中多数夭亡。黎曼本人身体也很虚弱。 19岁时，黎曼依父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学，以便将来成为一名牧师。当时的哥廷根大学由于有高斯而成为世界数学的中心之一，受这里数学研究气氛的感染，从小就在数学上显露才华的黎曼决定放弃神学，专攻数学。于是转到柏林大学，从雅可比、狄利克雷、史坦纳那里受教，而进入新的数学领域。1846年春回到哥廷根大学完成数学学业，并取得博士学位。高斯对他的这篇题为“单复变函数一般理论基础”的博士论文给予了较高的评价。 为在哥廷根大学谋求正式的但没有薪水的讲师职位(当时的讲师收取听课学生学费而没有薪水)，他必须通过一次试验性的演讲。他给系里提供三个题目， 其中前两个是他已有所准备的，但他无意中给的第三个题目――几何学基础。高斯考虑了十六年之久，而黎曼自己没什么准备，偏偏高斯指定了第三个题目。经过不到两个月时间的准备，黎曼在1854年作了“论作为几何基础的假设”的演讲。这被认为是数学史上发表的内容最丰富的长篇论文。提出了一种新的几何体系，后人称之为黎曼几何。爱因斯坦成功地以黎曼几何为工具，将广义相对论几何化。黎曼几何已成为现代理论物理必备的数学基础。该篇论文中一大堆陌生概念，一长串复杂的计算，竟然使被誉为世界数学中心的哥廷根大学全体教员除高斯以外一个个眼花缭乱，不得其解。论文在表述上堪称典范，高斯带着少有的热情在同事面前表示了高度评价。 第一次上课的黎曼开设了“偏微分方程及其在物理学上的应用”，有,个学生来听课，使他非常高兴，他也逐渐改变了害羞的毛病，能够更好的讲课，接着又开了一门全新的阿贝尔函数论课程，听课者只有三位，其中之一是后来成为著名数学家的戴德金，直到1859年，因狄利克雷去世，他继承了教授职位，经济状况才有改善。 1862年，36岁的黎曼与妹妹的朋友爱丽丝结婚。女儿伊达于第二年出生,但他因病不得不休假到温暖一些的意大利养病。1866年，黎曼病逝于意大利。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学的发展建立了丰功伟绩。 牛顿(1642-1727) 牛顿出生在英国乌尔索普镇一个不太富裕的农场主家里。在牛顿诞生前不久，他的父亲就去世了，而且死之前就让儿子也务农。少年时代，他的学习成绩 并不优秀，经常受到同学们的嘲笑和歧视。据说有一次为了使家里喂的两只狗进出方便，他在墙下打了大小不同的两个洞。回答别人说:“大狗用大洞，小狗用小洞”。直到别人笑他是“傻瓜”时才醒悟过来。但他在设计灵巧的机械模型和做实验上，显示出了爱好和才能。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院。大学期间，为了减轻家庭负担，课余要干一些杂工，以减免自己的学费。当时，他除了对机械设计有兴趣外，并没有表现出有什么特殊的才华。1665年，牛顿从剑桥大学毕业，并取得学士学位。同年伦敦地区鼠疫流行，学校关闭，他离开剑桥，回到家乡。1665-1666年，他在家乡从事机械、数学、光学方面的研究。当时牛顿年仅23岁，在自然科学的近代数学、近代光学，经典力学、近代天文学四大领域作出了开创性的奠基性的工作。莱布尼兹对牛顿在数学方面的工作评价说:“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过一半。” 1667年，牛顿回到剑桥，获得硕士学位，并被选为三一学院的研究员。在三一学院期间，他提出的许多独创性材料并没有得到同事们的注意。只有巴罗和天文学家哈雷(Halley)认识到他的伟大，并给以鼓励。1669年39岁的巴罗把他的卢卡斯讲座教授职位让给牛顿，他坦然宣称，牛顿的学识已经超过自己。这在科学史上被称作伯乐识马的佳话，广为流传。 牛顿勤奋好学，献身于他自认为既枯燥又艰苦的科学研究工作30多年，在“枯燥艰苦的工作中”他始终“对自己寻觅的对象作连续不断的思考。”由于长期连续不断地超强度工作，牛顿30岁时头发就白了。牛顿在当了25年的教授后，终因用脑过度，患有严重的神经衰弱症，他不得不放弃一些研究工作。1695年，牛顿接受任命，担任伦敦不列颠造币厂监察。这以后，物质条件大大改善，晚年生活富裕，并将主要精力从事化学、炼丹和神学的研究。 牛顿创立了微积分，为近代数学奠定了基础;首先进行了光谱分析实验，为近代光学奠定了基础;发现了力学三大定律，奠定了经典力学的基础;发现了万有引力定律，奠定了近代天文学的基础。这四项，那怕只有一项，就能成为著名的科学家，更何况集四项于一身。拉格朗日曾经说过，牛顿是历史上最有才能的人，也是最幸运的人——因为宇宙体系只能被发现一次。他的成就被英国诗人波普用诗表达: 自然和自然的规律沉浸在一片黑暗之中～ 上帝说:生出牛顿来～一切都变得明朗。 面对巨大的赞誉，牛顿对自己的工作有这样谦虚的评价:“我不知道世间把我看成什么样的人，但对我自己来说，就象一个在海边玩耍的小孩，有时找到一块比较平滑的卵石或格外漂亮的贝壳。感到高兴，在我前面是完全没有被发现的真理的大海洋。”在尊重前辈的成果方面，他说:“我之所以看得远些，是因为站在巨人肩膀上。” 曾有这样的报道:牛顿经常一天内工作18、19个小时，并且有超人的集中注意的能力。下面这几个有趣的故事，也许不足凭信，说的是他如何聚精会神忘记一切。 例如，有个故事说，一次他请一些朋友吃饭，他离席去拿一瓶酒，可他跑回房间竟然把取酒的事忘了，进了实验室。等了许久的客人以为发生了什么事情，就起身去看。却发现牛顿正在聚精会神地做实验呢～ 另一次，牛顿的朋友斯图克利博士请他吃鸡肉饭，牛顿出去了一会儿，忘记吃饭这事，超过了时间，斯图克利把鸡吃了，然后在把骨头放在盖着的盘子里。牛 顿回来后，发现只剩下骨头，就说道:“亲爱的，我竟然忘了我们已经吃了饭。”还有一次，牛顿上饭馆吃饭，吃了一半时突然想起实验中的一个难题，连忙放下餐具，朝门外跑去。以为他要赖帐的餐馆老板慌了神，追上来气冲冲地问道:“你吃饭怎么不付钱就跑,”牛顿惊奇地两手一摊说:“先生，你搞错了吧,我什么时候吃过饭的,”还没有从实验难题中醒悟过来的牛顿最后不得不交付两倍的饭钱。忙于实验的牛顿还曾将金表当作鸡蛋煮在锅里。 有一天，他从外边骑马回家时，下马步行牵着它上山，牛顿不知道马在上山时滑脱了，到了山顶准备再上马时，才发现手里只剩下个空缰绳。 终身未婚的牛顿在年轻时也曾向一位姑娘求婚。他轻轻地握住女友的手，含情脉脉地表白。正在这美妙的时刻，牛顿的思想却突然飞向了数学世界，他仿佛在做梦一样。他把女友的手当成是通烟斗的通条，硬往烟斗里塞。疼得姑娘哇哇大叫。如梦初醒的牛顿不好意思地道歉:“啊，亲爱的，饶恕我吧～我知道，这是不行了。看来，我该一辈子打光棍的～” 牛顿是世界上最伟大的科学家，但他并不是一位成功的教员，在三一学院期间，听他的课的学生很少。 牛顿逝世后，举行了在英国只有宫廷成员安葬时才能享有的仪式，在他的墓碑上，用拉丁文刻了以下题词:“他以几乎神一般的思维力，最先说明了行星的运动和图象，慧星的轨道和大海的潮汐。让普通平凡的人们因为他们中间出现过一个人杰而感到高兴吧。” 莱布尼茨(G?W?Leibniz 1646-1716) 莱布尼茨生于德国莱比锡。他的父亲是莱比锡大学的道德哲学教授。莱布尼茨自幼聪颖好学，利用他父亲丰富的藏书，8岁自学拉丁文，14岁自学希腊文，15岁入莱比锡大学法学系学习，是罕见的“神童”。大学毕业时，尽管他有非常好的成绩，但是他没有能够马上取得学位，因为他过于年轻。 1666年，20岁的莱布尼茨就以论文《论组合的艺术》成为阿尔特道夫(Altdof)大学的哲学博士，并获得法学教授席位。(据莱布尼茨说)直到1672年(26)他还基本上不懂数学。他作为外交官三次出差巴黎，使他与一些科学家和数学家接触，特别是惠更斯，从而激发了他对数学的兴趣。1671年左右，他制造出他的计算机。1673年，他到了伦敦，遇到另外一些科学家和数学家，并开始了微积分的研究。仅用3、4年就创立了微积分学，年仅30岁。 除了外交官，莱布尼茨还是哲学家、法学家、历史学家和先驱的地质学家。1676年他被任命为汉诺威选帝侯的图书馆管理员和顾问，莱布尼茨卷入了各种政治活动，爱好和平的莱布尼茨在政治舞台上并不很成功，他的试图制止法国进攻德国的计划的外交活动以失败告终;尔后，为促进英国与荷兰之间和解的斡旋也没有结果。但这些活动帮助他与各国的一些著名学者建立了广泛地联系，开阔他的工作领域，业余活动的范围也十分广泛，当然主要朝向数学和自然科学方面发展。他用通信保持和人们的接触，最远的到达锡兰和中国。 1700年他力促普鲁士王建立柏林科学院并出任第一任院长。他在逻辑学、力学、光学、流体静力学、气体学、航海学和计算方面都有重大建树。虽然他的教授席位是法学的，但他在数学和哲学方面的著作列为世界上最优秀的著作之中，成绩卓越。 莱布尼茨一有机会总是鼓吹他的编写百科全书、建立科学院以及利用技术改造社会的计划。后来维也纳科学院、彼得堡科学院都建立起来了。莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想非常关注，收集了不少关于中国的材料，在他的信件中有200多封谈到了中国。他可谓是第一位全面认识东方文化尤其是中国文化的西方学者。传说他曾写信建议康熙皇帝在北京建立科学院。 莱布尼茨终身未婚，他平时从不进教堂，因此人们送他一个绰号:Lovenix，即什么也不信的人。弥留之际，陪伴他的只有所信任的大夫和他的秘书，1716年莱布尼茨去世时，教士以此为借口，不予理睬，宫廷也不过问。只有他忠实的秘书艾克哈特 (Eckhark) 参加他的葬礼。 阿基米德(Archimedes，公元前287-212) 数学史家贝尔(E.T.Bell)曾说过:“任何一张列出有史以来最伟大的三个数学家的名单中，必定包含阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯，不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，还应首推阿基米德。”还有人称他为“数学之神”。据说阿基米德常常忘记吃饭，完全忽视关心自己的身体，经常要人强迫他去洗澡，擦上香油膏，然而这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形。他的科学思考总是那样深刻，以致周围的一切都被忘记了。 阿基米德称金冠之事想必人们已耳熟能详。叙拉古当时的统治者海厄罗王为了报答诸神的恩泽，决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的金冠作为奉献物。金匠如期完成任务，这时有人告密说金匠私吞了部分金子，以等重的银子掺入。愤怒但无法确有其事的国王请来阿基米德作鉴定。一时想不出办法来的阿基米德在澡盆洗澡时突受启发，豁然开朗，惊喜得跳了起来，赤身奔回家中，口中不断 大呼“尤里卡”(eureku，表达突然获得某种发现时的惊呼，意思为“我发现了～”)，偷金子的金匠受到了处罚。 在阿基米德的一生中，最为悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯。罗马名将马塞勒斯率领大军围攻叙拉古。可是当他们的战船靠近城墙时，被阿基米德发明的起重机抓了起来，然后狠狠地摔下去。受此重挫的马塞勒斯不甘示弱，将所有5层的战船连锁在一起，像云梯一样继续攻城。这时阿基米德发明的驽炮又发威了，这种可调整射程且带有活动射杆的武器能把重物射到靠近城墙的敌舰上，吓得目瞪口呆的马塞勒斯不得不下令退兵。后来又使出种种招数都被击败的马塞勒斯放弃正面进攻，改用长期围困的策略。叙拉古终因粮尽而失陷。岛城叙拉古由于阿基米德的防卫武器在强大的罗马军队的进攻之下守了三年之久。马塞勒斯出于对阿基米德的敬佩，下令不准伤害这位杰出的数学家，可是阿基米德还是被愚昧的士兵给杀害了。关于他的死，有几种颇有出入的记载，但一般认为，正在进行数学研究的阿基米德没有理会奉命带走他的士兵，被激怒的士兵一剑杀死了这位老人。马塞勒斯严肃处理了这个士兵，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，并按照阿基米德生前的愿望，在其墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念。 阿基米德还发明过螺旋抽水机，用来灌溉农田、排沼泽地的水和从船中抽水。这种机械装置至今还在埃及使用。 阿基米德的著作是数学阐述的典范，在一定程度上类似于现代杂志的论文。写得完整、简炼，显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。他对数学的最大贡献，也许是某些积分学方法的早期萌芽。