向量法求二面角

向量法求二面角 巧用法向量求二面角 数学教研组 宣森义 随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，向量已成为解决立几问题的一个不可或缺的工具。事实证明，向量在立体几何求角、距离和证明中都有着广泛的应用。而法向量更是由于其特殊的性质而使得表面上非常复杂的求角与距离的题目甚至是证明平行与垂直的题目变得简洁明了，成为解决传统的立体几何问题的一个有效工具。本文例说法向量在求解二面角中的一些应用。 P 设点P是二面角α,l,β内一点，过点P向α、β引垂线，垂 足分别为A、B，则PA、PB确定平面PAB，延伸平面ABC，交直 线l于点O，根据二面角的平面角的定义，易得?AOB就是二面角 A α B β α,l,β的平面角。而?APB可看成α、β的法向量所成的角(或O l 其补角)。 例1:(2005年高考福建卷)如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB且。求二面角B—AC—E的大小。 AE,面BCE 解:以线段AB的中点为原点O，OE所在直线 z 为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于 C D AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz， 如图.面BCE，BE,面BCE， ？AE, ， ？AE,BE 在Rt,AEB中,AB,2,O为AB的中点， ？OE,1.？A(0,,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).O A B y AE,(1,1,0),AC,(0,2,2). E 设平面AEC的一个法向量为， n,(x,y,z)x ,AE,n,0,x，y,0,,,y,,x,,则 解得 即,,,2y，2x,0.z,x,,,,AC,n,0,, 令得是平面AEC的一个法向量. x,1,n,(1,,1,1) ,m,n13又平面BAC的一个法向量为， m,OE,(1,0,0)？cos(m,n),,,.33|m|,|n| 3?二面角B—AC—E的大小为 arccos.3 例2:(2005年高考湖南卷)如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO折成直二面角，如图2。 1 (?)证明:AC?BO;(?)求二面角O,AC,O的大小。 11 z O1 D C O1 C D A O B O y B 图2 图1 x A (?)证明 : 由题设知OA?OO，OB?OO. 所以?AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA?OB. 11 故可以O为原点，OA、OB、OO所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， x1 如图2，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，1，)，O(0，0，)， 313从而 所以AC?BO. AC,(,3,1,3),BO,(0,,3,3),AC,BO,,3，3,3,0.111 (?)解:因为所以BO?OC， BO,OC,,3，3,3,0,11 由(1)AC?BO，所以BO?平面OAC，是平面OAC的一个法向量. 11BO1 设是0平面OAC的一个法向量， n,(x,y,z)1 ,,n,AC,0,3x，y，3z,0,,由 得. n,(1,0,3),取z,3,,,y,0.,n,OC,0,1, 设二面角O—AC—O的大小为，由、的方向可知，>， ,nnBO,,,BO111 n,BO31所以cos，>= ,,cos,nBO,.14|n|,|BO|1 3所以二面角O,AC,O的大小为 1arccos.4 用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。用法向量求解立体几何题时，若可以建立空间直角坐标系，则解题非常方便，若不能建立空间直角坐标系，可采用基底表示的方法，此时过程稍有些繁杂，但问题还是可以顺利解决的。