超几何分布与二项分布

超几何分布与二项分布 超几何分布与二项分布 一(选择题(共9小题) 1((2004•辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下，则P(ξ=10)=( ) ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A( B( C( D( 2((2011•黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…)，其中a是常数，则的值为( ) A( B( C( D( 3((2008•石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是( ) A( B( C( D( 1 4(设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)，则=( ) A( B( C( D( 5(电子手表厂生产某批电子手表正品，次品率为率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(1?X?2013)等于( ) A( B( C( D( 6((2010•江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测(方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚(国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1(则(和P ) 2 A( B( P=P P,P 1212 C( D(以上三种情 况都有可能 P,P 12 7((2011•潍坊二模)设X为随机变量，X,B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P(X=2)等于( ) A( B( C( D( 28((2012•衡阳模拟)已知随机变量ξ,N(0，)，且ap(ξ,1)=p(ξ,a,3)的值为( ) A( B( ,2 C( D( 2 0 1 9(设随机变量ξ,N(0，1)，若P(ξ?1)=p，则P(,1,ξ,0)=( ) A(1 ,p B( C( D( p +p ,P 二(填空题(共5小题) 10((2010•上海模拟)在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 (_____ ____ 11(有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为 (_____ ____ 12((2010•枣庄模拟)设随机变量X,B(n，0.5)，且DX=2，则事件“X=1”的概率为 _________(作数字作答 () 13(若随机变量X服从二项分布，且X,B(10，0.8)，则EX、DX分别是 _____，____ _____ ____ ( 14((2011•浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的(记X为该毕业生 =，则随机变量X的数学期望E(X)= _________( 得到面试的公司个数(若P(X=0) 三(解答题(共3小题) 15((2009•朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n(2?n?5，且n?3)个，其余的球为红球( (?)若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率; (?)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个‎‎数; (?)在(?)的条件下，从袋里任意取出2个球(若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分(用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ( 16(某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2(若从该批产品中任意抽取3件， (1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率; (2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望( 17((2006•崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术:顽强防守，0:0逼平甲队进入点球大战(假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均(现规定:为点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求: (I)乙队以4:3点球取胜的概率有多大, (II)设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望( 参考答案与试题解析 一(选择题(共9小题) 1((2004•辽宁)已知随机变量ξ的概率分布如下，则P(ξ=10)=( ) ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A( B( C( D( 考点: 离散型随机变量及其分布列( 专题: 计算题( 分析: 由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和，根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是， 公比是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案( 解答: 解:?由题意知，本题需要先计算出其它的概率之和， ?根据表格可以看出9个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列， ?S==1,， ?S+m=1， ?m=， 故选C( 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的性质，在一个试验‎‎中所有的变量的概率之和是1，本题又考查等比数列 的和，是一个综合题( 2((2011•黄冈模拟)随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…)，其中a是常数， 的值为( ) 则 A( B( C( D( 考点: 离散型随机变量及其分布列;互斥事件的概率加法公式( 专题: 计算题( 分析: 估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出所有的变量的概率之和，使 它等于1，求出a的值，利用互斥事件的概率公式写出结果( 解答: 解:?随机变量ξ的概率分布规律为(n=1、2、3、4、…)， ?a=1， ?a=， ?=P(ξ=1)+P(ξ=2)== 故选C( 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要注意所有的变量的概率之和 的求法，注意应用分布列的性质( 3((2008•石景山区一模)已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是( ) A( B( C( D( 1 考点: 离散型随机变量及其分布列( 分析: 由题目中所给的变量的‎‎分布列得到变量ξ的期望，根据η=2ξ+1关系，得到两个变量的关系，代入ξ的期望， 求出结果( 解答: 解:由表格得到Eξ=,1×+1×=,， Eη=E(2ξ+1)=2Eξ+1=2×(,)+1=， 故选C( 点评: 本题考查有一定关系的两个变量之间的期望之间的关系，本题也可以这样来解，根据两个变量之间的关系 写出η的分布列，再由分布列求出期望( 4(设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)，则=( ) A( B( C( D( 考点: 离散型随机变量及其分布列( 专题: 概率与统计( 分析: 由题意可得P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1，求出m的值，再根据=P (X=2)+P(X=3)，进而求出答案( 解答: 解:因为所有事件发生的概率之和为1， 即P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1， 所以m(++++)=1，即m(1,)=1 所以m=( 所以P(X=k)=(k=1，2，3，4，5)， 则=P(X=2)+P(X=3)=+=( 故选A( 点评: 解决此类问题的关键是掌握所有事件发生的概率之和为1，进而求出随机变量的分布列即可得到答案( 5(电子手表厂生产某批电子手表正品，次品率为率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P(1?X?2013)等于( ) A( B( C( D( 考点: 超几何分布( 专题: 概率与统计( 分析: 先求出P(X=0)，即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论( 解答: 解:由题意，P(X=0)= ?P(1?X?2013)=1,P(X=0)= 故选B( 点评: 本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题( 6((2010•江西)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测(方法一:在10箱中各任意抽查一枚;方法二:在5箱中各任意抽查两枚(国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1(则(和P ) 2 A( B( P=P P,P 1212 C( D(以上三种情 况都有可能 P,P 12 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型;等可能事件的概率( 专题: 计算题;压轴题( 分析: 每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是 105“没有劣币”，概率好求(方法一概率为1,0.99;方法二概率为1,()，做差比较大小即可( 解答: 解:方案一:此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚 10劣币的总概率为1,0.99; 5方案二:此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1,()， 510作差得P1,P=(),0.99，由计算器算得P,P,0 212 ?P,P( 12 故选B 点评: 本题考查独立重复试验‎‎的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力( 7((2011•潍坊二模)设X为随机变量，X,B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P(X=2)等于( ) A( B( C( D( 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型( 专题: 概率与统计( 分析: 根据X为随机变量，X,B和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到n的值，再 根据二项分布概率公式得到结果( 解答: 解:?随机变量X为随机变量，X,B， ?其期望EX=np==2，?n=6， ?P(X=2)==( 故选D( 点评: 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的 过程，但是两者都要用到期望和方差的公式( 28((2012•衡阳模拟)已知随机变量ξ,N(0，)，且ap(ξ,1)=p(ξ,a,3)的值为( ) A( B( ,2 C( D( 2 0 1 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型( 专题: 计算题;概率与统计( 分析: 利用正态曲线的对称性，可得曲线的对称轴是直线x=0，由此可得结论( 2解答: 解:由题意，?ξ,N(0，a)，?曲线的对称轴是直线x=0， ?p(ξ,1)=p(ξ,a,3) ?a,3+1=0 ?a=2 故选A( 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题( 9(设随机变量ξ,N(0，1)，若P(ξ?1)=p，则P(,1,ξ,0)=( ) A( 1,p B( C( D( p +p ,P 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模‎‎型( 专题: 概率与统计( 分析: 随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)，知正态曲线关于x=0对称，根据P(ξ?1)=p，得到P(1,ξ,0) =,p，再根据对称性写出要求概率( 解答: 解:?随机变量ξ服从标准正态分布N(0，1)， ?正态曲线关于x=0对称， ?P(ξ?1)=p， ?P(1,ξ,0)=,p， ?P(,1,ξ,0)=,p， 故选D( 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲‎‎线所表示的意义，本题的主要依据是曲线的对称性，这种问题可以出现 在选择或填空中( 二(填空题(共5小题) 10((2010•上海模拟)在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是 ( 考点: 超几何分布;离散型随机变量的期望与方差( 专题: 计算题( 分析: 设抽到次品个数为ξ，则ξ,H(3，2，10)，利用公式Eξ=，即可求得抽到次品个数的数学期望的值( 解答: 解:设抽到次品个数为ξ，则ξ,H(3，2，10) ?Eξ= 故答案为: 点评: 本题考查离散型随机变量的数学期望，解题的关键是确定抽到次品个数服从超几何分布，从而利用相应的 期望公式求解( 11(有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率 ( 为 考点: 超几何分布( 专题: 概率与统计( 分析: 从10件产品任取3件的取法共有‎‎，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品，取 法分别为，(利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出( 解答: 解:从10件产品任取3件的取法共有‎‎，其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品， 取法分别为，( 因此所求的概率P==( 故答案为( 点评: 本题考查了互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式，属于基础题( 12((2010•枣庄模拟)设随机变量X,B(n，0.5)，且DX=2，则事件“X=1”的概率为 (作数字作答() 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型( 专题: 计算题( 分析: 由随机变量X,B(n，0.5)，且DX=2，知n×0.5×(1,0.5)=2，解得n=8(再由二项分布公式能够导出事 件“X=1”的概率( 解答: 解:?随机变量X,B(n，0.5)，且DX=2， ?n×0.5×(1,0.5)=2， ?n=8( ?p(x=1)=( 故答案为:( 点评: 本题考查二项分布的性质和应用，解题时要注意二项分布方差公式Dξ=np(1,p)的灵活运用( 13(若随机变量X服从二项分布，且X,B(10，0.8)，则EX、DX分别是， 81.6 ( 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型( 专题: 计算题( 分析: 根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关 于n和p的方程组，解方程组得到要求的两个未知量，做出概率( 解答: 解:?X服从二项分布X,B(n10，0.8) 由Eξ=10×0.8=8，? Dξ=1=np(1,p)10×0.8×0.2=1.6，? 故答案为8;1.6 点评: 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的 过程，但是两者都要用到期望和方差的公式( 14((2011•浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的(记X为该毕业生 得到面试的公司个数(若P(X=0)，则随机变量=X的数学期望E(X)= ( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机‎‎变量及其分布列( 专题: 计算题( 分析: 根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，做出得到乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取 值，结合变量对应的事件写出概率和做出期望( 解答: 解:由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3， ?P(X=0)=， ?， ?p=， P(X=1)=+= P(X=2)==， P(X=3)=1,=， ?E(X)==， 故答案为: 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望，考查生活中常见的一种题目背景，是一个基 础题目( 三(解答题(共3小题) 15((2009•朝阳区二模)在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n(2?n?5，且n?3)个，其余的球为红球( (?)若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率; (?)从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个‎‎数; (?)在(?)的条件下，从袋里任意取出2个球(若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分(用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ( 考点: 超几何分布;n次独立重复试验中恰好发生k次的概率;离散型随机变量的期望与方差( 专题: 综合题( 分析: (?)先求出从袋中任取1个球是红球的概率，再利用独立事件的概率公式可求三次取球中恰有2个红球的 概率; (?)根据从袋中一次任取2个球，如果这2个球颜色相同的概率是 建立等式关系，求出n的值，从而 求出红球的个数( (?)ξ的取值为2，3，4，5，6，然后分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之 即可; 解答: 解:(?)设“从袋中任取1个球是红球”为事件A，则( 所以，( 答:三次取球中恰有2个红球的概率为‎‎( …(4分) (?)设“从袋里任意取出2个球，球的颜色相同”为事件B，则 ， 2整理得:n,7n+12=0，解得n=3(舍)或n=4( 所以，红球的个数为3个( …(8分) (?)ξ的取值为2，3，4，5，6，且，， ，，( 所以ξ的分布列为 ξ 2 3 4 5 6 P 所以，(…(13分) 点评: 本题以摸球为素材，主要考查相互独立事件的概率的求法，考查了离散型随机变量的期望与分布列，解题 的关键是正确利用公式求概率( 16(某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2(若从该批产品中任意抽取3件， (1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率; (2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望( 考点: 超几何分布;离散型随机变量的期望与方差( 专题: 应用题( 分析: 设该批产品中次品有x件，由已知，可求次品的件数 (1)设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为; (2)取出的3件产品中次品的件数X可能为0，1，2，求出相应的概率，从而可得概率分布列与期望( 解答: 解:设该批产品中次品有x件，由已知， ?x=2…(2分) (1)设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为…(4 分) (2)?X可能为0，1，2 ?…(10分) ?X的分布为: X 0 1 2 P 则 …(13分) 点评: 本题以实际问题为载体，考查等可能事件的概率，考查随机变量的期望与分布列，难度不大( 17((2006•崇文区一模)某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术:顽强防守，0:0逼平甲队进入点球大战(假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均(现规定:为点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求: (I)乙队以4:3点球取胜的概率有多大, (II)设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望( 考点: 二项分布与n次独立重复试验的模型;离散型随机变量的期望与方差( 专题: 计算题( 分析: (I)根据相互独立事件的概率公式以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式进行求解即可; (II)点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5，然后根据n次独立重复试验中恰好发 生k次的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可( 解答: 解:(I)乙队以4:3点球取胜的概率为P==25×=0.1043 (II)点球中乙队得分为随机变量ξ的取值可能为0，1，2，3，4，5 P(ξ=0)==，P(ξ=1)==，P(ξ=2)== P(ξ=3)==，P(ξ=3)==，P(ξ=5) == ?ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P ?Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.75 点评: 本题主要考查了离散型随机变量的期望和分布列，以及二项分布与n次独立重复试验的模型，同时考查了计 算能力，属于中档题(