圆周运动与能量结合

几个重要圆周运动模型 ①轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动，最高点的最小速度。 mg 由于小球做的是圆周运动，则半径方向的合力提供向心力，图中半径方向的合力为F+mg，因为绳子的特点是只能产生拉力。在这样的向心力作用下，小球对应的圆周运动的速度应该是，由公式及图可知，半径方向提供的向心力的最小值是mg，所以以mg为向心力时的速度是最高点的最小速度。有： mg ②轻杆固定一小球在竖直平面内做圆周运动，最高点的最小速度。 因为杆对小于的作用力可以是拉力，也可以是支持力，半径方向的合力提供向心力。分析知半径方向的合力最小为0，所以此种情况下，做圆周运动时最高点的最小速度为0。 ③小球沿竖直平面内光滑圆环的内侧做圆周运动，最高点的最小速度。 分析后知情形与情形①相同，竖直方向提供的合力最小值为mg，所以最高点的最小速度为 ④小球在竖直平面内的光滑管内做圆周运动，最高点的最小速度。 分析后知情形与情形②相同，竖直方向提供的合力最小值为0，所以最高点的最小速度为0. 1. 如图所示，小球沿光滑的水平面冲上一光滑的半圆形轨道，轨道半公式为R，小球在轨道的最高点对轨道压力等于小球的重力， （第16题） （1）小球离开轨道落到距地面高为R/2处时，小球的水平位移是多少 （2） 小球落地时速度为多大？ （例6） 2.如图所示，质量为m的小球用长为l的细绳悬于光滑的斜面上的O点，小球在这个倾角为θ的斜面内做圆周运动。若小球在最高点和最低点的速度分别是v1和v2，则绳子在这两个位置时的张力大小分别是多大？ 3.如图所示，支架质量为M，始终静止在水平地面上，转轴Ｏ处用长为l的线悬挂一个质量为m的小球． (1)把线拉至水平静止释放小球．小球运动到最低点处时，水平面对支架的支持力N为多大? (2)若使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到最高点处时，支架  恰好对水平地面无压力，则小球在最高点处的速度v为多大? 4.如图13所示，位于竖直平面上的１／４圆弧光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A距地面高度为H，质量为ｍ的小球从A静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力。求： (1) 小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大? (2)小球落地点C与B的水平距离S为多少? (3)比值Ｒ／Ｈ为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远?该水平距离最大值是多少? 5.如图所示，质量为m的小球自由下落d后，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，圆弧AB是半径为d的1/4粗糙，圆弧BC是直径为d的光滑半（B是轨道的最低点）。小球运动到C点对轨道的压力恰为零。求小球在AB上运动过程中，摩擦力对小球做的功。（重力加速度为g） 6.质量为m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内作半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子所受拉力为7mg，此后小球继续作圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（  ） A. mgR/8    B. mgR/4    C. mgR/2      D. mgR 7.如图所示是一个“过山车”的试验装置的原理示意图，光滑斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，圆形轨道半径为R。一个质量为m的小车（可视为质点）从距地面h高处的A点由静止释放沿斜面滑下。已知重力加速度为g。 （1）求当小车进入圆形轨道第一次经过B点时对轨道的压力； （2）假设小车恰能通过最高点C完成圆周运动，求小车从B点运动到C克服摩擦阻力做的功。 8.（07年全国2）如图所示，位于竖直平面内的光滑有轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。     　 9.如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（    ）   A．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动 B．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力  C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg D．只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg 10.（06重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）。A球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求： 　（1）待定系数β；  （2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；   （3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。